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第17讲 机械振动
知识精讲
振动类型：机械振动，交流电中电流和电压的振动，电磁学中电场和磁场的振动等。
这些振的物理本质不同，但遵守的基本规律相同。机械振动形象直观，最简单的机械振动是简谐运动。
1．简谐运动物体的受力特征：
质点离开平衡位置后所受合力是线性回复力 式中 x为质点相对于平衡位置的位移，k为力常数。
2．简谐运动的矢量图示分析法：
如图所示，矢量绕x轴上的坐标原点O沿逆时针方向匀速转动，则P做匀速圆周运动，P在x轴上的投影点Q的运动就是简谐运动，O为平衡位置，OP的长为振幅值。简谐运动的周期等于圆周运动的周期。这种用旋转矢量表示简谐运动的方法称为矢量图示法。P通过的圆为参考圆。
3．简谐运动的位移、速度和加速度方程
如图，令OP长为A，其旋转角速度为ω，在t=0时矢量OP与x夹角为φ0，则经过时间t，P在x轴上投影点Q的位移为，此方程即为简谐运动的位移方程。
参考圆上参考点P的线速度vP在x轴上的投影就等于Q点作简谐运动的速度，式中为速度的幅值。
参考圆上参考点P的向心加速度aP在x轴上的投影就等于Q点做简谐运动的加速度。其中为加速度的幅值。
简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式：
振动方程：x=Acos(ωt +φ).
速度表达式： v =-ωAsin(ωt +φ).
加速度表达式：a =-ω2Acos(ωt +φ).
4．简谐运动的图象
图象是从另一角度来描述物体的运动特征的，它与方程相比较具有形象直观的特点。如下图中的甲、乙、丙三图分别表示简谐运动物体的位移——时间，速度——时间，加速度——时间图象。
由图可知位移、速度和加速度变化的周期相同但相位不同，速度相位比位移相位超前（或者说落后），加速度相位比位移相位超前（或者说落后）。
5.平面简谐波的振动方程
设波沿 x轴正方向传播，波源在原点O处，其振动方程为y = Acos(ωt +φ).x轴上任何一点P（平衡位置坐标为x）的振动比O点滞后,因此P点的振动方程为
y = Acos〔ω(t –tˊ) +φ〕= Acos〔ω(t –) +φ〕.
6．简谐运动的固有周期和频率
由牛顿第二定律和简谐运动的受力特征有 ………………①
由位移方程和加速度方程可得 ……………②
联立①②两式可得，又代入可得其固有周期由系统本身的特性决定，与其他外部因素无关。
单摆的周期，要注意在实际问题中l和g的含义。在具体问题中要能准确地求出其等效摆长和等效重力加速度。
（1）等效摆长的确定：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。
（2）等效重力加速度的确定：通常情况下先确定摆球在系统中相对于悬点静止时的位置，再找出此状态下摆线的拉力F′，则等效重力加速度，特殊情况下，如所受其他外力始终沿绳所在直线方向，如带电粒子所受洛仑兹力，则该力不会改变其振动周期。
7．简谐运动的能量
动能：
势能：
总能量：
8．阻尼振动
振动系统在阻尼介质中振动时，由于阻力的作用，振幅逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，对于一定的振动物体，有阻尼比无阻尼时的周期要长些。且阻尼越大，其周期越长。
9．受迫振动与共振
振动系统在周期性外力（该外力可称为策动力或驱动力）作用下的振动叫受迫振动。受迫振动的频率等于驱动力频率，与物体的固有频率无关，但其振幅由固有频率和驱动力频率的关系来确定。驱动力频率与物体固有频率相差越大，振幅越小；两者越接近振幅越大；当外界驱动力频率与系统自身的固有频率相等时，受迫振动的振幅达最大值，这种现象称为共振。
典型例题
1.（华约自主招生）一质点沿直线做简谐运动，相继通过距离为16cm的两点A和B，历时1s，并且在A、B两点处具有相同的速率，再经过1s，质点第二次通过B点，该质点运动的周期和振幅分别为
A．3s，8cm B．3s，8cm
C．4s，8cm D．4s，8cm
2.（复旦大学）一个充满水的塑料桶用轻绳悬挂在固定点上摆动，若水桶是漏水的，则随着水的流失，其摆动周期将
A．总是变大 B．总是变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小
3.（卓越自主招生）如图，两段不可伸长细绳的一端分别系于两竖直杆上的A、B两点，另一端与质量为m的小球D相连。已知A、B两点高度相差h，∠CAB=∠BAD=37°，∠ADB=90°，重力加速度为g。现使小球发生微小摆动，则小球摆动的周期为（ ）
A．π B．
C．π D．2π
4.（清华大学）地球半径为R，单摆置于水平地面上，t时间内摆动N次；置于高为h的高山上，t时间内摆动N-1次。则h/R=________。
A.1/N B.1/(N-1) C.1/(N+1) D.(N-1)/(N+1)
5.（复旦）一个单摆在匀加速运动电梯内作做简谐振动，其周期是电梯静止时的两倍，则电梯的加速度为________。
A．大小为g/4，方向向下 B．大小为g/2，方向向上
C．大小为3g/4，方向向上 D．大小为3g/4，方向向下
6.（南京大学）如图所示，质量为m的物体静止在桌面上，上接一根劲度系数为k的轻质弹簧。现在轻弹簧上端施加一竖直向上的力，使其以速度v匀速上升。
（1）经过多长时间物体脱离地面？
（2）物体速度第一次达到最大值时，力F做的功多大？
7.（浙江大学）升降机里有一个单摆，原始周期为T。求当升降机以加速度a向上加速运动，向下加速运动，匀速运动时单摆的周期。
8.（同济大学）金字塔形（四棱锥形）的冰山漂浮在海水中，平衡时塔尖离水面高度为h，冰的密度记为ρ1，海水密度记为ρ2，且有ρ2>ρ1。忽略运动方向的所有阻力，试求：
（1）冰山自身的高度H。
（2）冰山在平衡位置附近做竖直方向小幅度振动的周期T。第17讲 机械振动
知识精讲
振动类型：机械振动，交流电中电流和电压的振动，电磁学中电场和磁场的振动等。
这些振的物理本质不同，但遵守的基本规律相同。机械振动形象直观，最简单的机械振动是简谐运动。
1．简谐运动物体的受力特征：
质点离开平衡位置后所受合力是线性回复力 式中 x为质点相对于平衡位置的位移，k为力常数。
2．简谐运动的矢量图示分析法：
如图所示，矢量绕x轴上的坐标原点O沿逆时针方向匀速转动，则P做匀速圆周运动，P在x轴上的投影点Q的运动就是简谐运动，O为平衡位置，OP的长为振幅值。简谐运动的周期等于圆周运动的周期。这种用旋转矢量表示简谐运动的方法称为矢量图示法。P通过的圆为参考圆。
3．简谐运动的位移、速度和加速度方程
如图，令OP长为A，其旋转角速度为ω，在t=0时矢量OP与x夹角为φ0，则经过时间t，P在x轴上投影点Q的位移为，此方程即为简谐运动的位移方程。
参考圆上参考点P的线速度vP在x轴上的投影就等于Q点作简谐运动的速度，式中为速度的幅值。
参考圆上参考点P的向心加速度aP在x轴上的投影就等于Q点做简谐运动的加速度。其中为加速度的幅值。
简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式：
振动方程：x=Acos(ωt +φ).
速度表达式： v =-ωAsin(ωt +φ).
加速度表达式：a =-ω2Acos(ωt +φ).
4．简谐运动的图象
图象是从另一角度来描述物体的运动特征的，它与方程相比较具有形象直观的特点。如下图中的甲、乙、丙三图分别表示简谐运动物体的位移——时间，速度——时间，加速度——时间图象。
由图可知位移、速度和加速度变化的周期相同但相位不同，速度相位比位移相位超前（或者说落后），加速度相位比位移相位超前（或者说落后）。
5.平面简谐波的振动方程
设波沿 x轴正方向传播，波源在原点O处，其振动方程为y = Acos(ωt +φ).x轴上任何一点P（平衡位置坐标为x）的振动比O点滞后,因此P点的振动方程为
y = Acos〔ω(t –tˊ) +φ〕= Acos〔ω(t –) +φ〕.
6．简谐运动的固有周期和频率
由牛顿第二定律和简谐运动的受力特征有 ………………①
由位移方程和加速度方程可得 ……………②
联立①②两式可得，又代入可得其固有周期由系统本身的特性决定，与其他外部因素无关。
单摆的周期，要注意在实际问题中l和g的含义。在具体问题中要能准确地求出其等效摆长和等效重力加速度。
（1）等效摆长的确定：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。
（2）等效重力加速度的确定：通常情况下先确定摆球在系统中相对于悬点静止时的位置，再找出此状态下摆线的拉力F′，则等效重力加速度，特殊情况下，如所受其他外力始终沿绳所在直线方向，如带电粒子所受洛仑兹力，则该力不会改变其振动周期。
7．简谐运动的能量
动能：
势能：
总能量：
8．阻尼振动
振动系统在阻尼介质中振动时，由于阻力的作用，振幅逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，对于一定的振动物体，有阻尼比无阻尼时的周期要长些。且阻尼越大，其周期越长。
9．受迫振动与共振
振动系统在周期性外力（该外力可称为策动力或驱动力）作用下的振动叫受迫振动。受迫振动的频率等于驱动力频率，与物体的固有频率无关，但其振幅由固有频率和驱动力频率的关系来确定。驱动力频率与物体固有频率相差越大，振幅越小；两者越接近振幅越大；当外界驱动力频率与系统自身的固有频率相等时，受迫振动的振幅达最大值，这种现象称为共振。
典型例题
1.（华约自主招生）一质点沿直线做简谐运动，相继通过距离为16cm的两点A和B，历时1s，并且在A、B两点处具有相同的速率，再经过1s，质点第二次通过B点，该质点运动的周期和振幅分别为
A．3s，8cm B．3s，8cm
C．4s，8cm D．4s，8cm
2.（复旦大学）一个充满水的塑料桶用轻绳悬挂在固定点上摆动，若水桶是漏水的，则随着水的流失，其摆动周期将
A．总是变大 B．总是变小 C．先变小再变大 D．先变大再变小
3.（卓越自主招生）如图，两段不可伸长细绳的一端分别系于两竖直杆上的A、B两点，另一端与质量为m的小球D相连。已知A、B两点高度相差h，∠CAB=∠BAD=37°，∠ADB=90°，重力加速度为g。现使小球发生微小摆动，则小球摆动的周期为（ ）
A．π B．
C．π D．2π
4.（清华大学）地球半径为R，单摆置于水平地面上，t时间内摆动N次；置于高为h的高山上，t时间内摆动N-1次。则h/R=________。
A.1/N B.1/(N-1) C.1/(N+1) D.(N-1)/(N+1)
5.（复旦）一个单摆在匀加速运动电梯内作做简谐振动，其周期是电梯静止时的两倍，则电梯的加速度为________。
A．大小为g/4，方向向下 B．大小为g/2，方向向上
C．大小为3g/4，方向向上 D．大小为3g/4，方向向下
6.（南京大学）如图所示，质量为m的物体静止在桌面上，上接一根劲度系数为k的轻质弹簧。现在轻弹簧上端施加一竖直向上的力，使其以速度v匀速上升。
（1）经过多长时间物体脱离地面？
（2）物体速度第一次达到最大值时，力F做的功多大？
7.（浙江大学）升降机里有一个单摆，原始周期为T。求当升降机以加速度a向上加速运动，向下加速运动，匀速运动时单摆的周期。
8.（同济大学）金字塔形（四棱锥形）的冰山漂浮在海水中，平衡时塔尖离水面高度为h，冰的密度记为ρ1，海水密度记为ρ2，且有ρ2>ρ1。忽略运动方向的所有阻力，试求：
（1）冰山自身的高度H。
（2）冰山在平衡位置附近做竖直方向小幅度振动的周期T。

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