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第18讲 机械波与多普勒定律
知识精讲
一．机械波：
振动的传播形成波，机械振动在弹性介质中传播形成机械波。如声波、水波等。交变的电场和磁场在空间的传播形成电磁波。如无线电波、光波等。这两类波虽然本质不同，但很多规律是相同的，本节主要研究机械波的一些基本特性和规律。
1、波的形成条件：（1）有振源；（2）有能传播振动的弹性介质。
2、波动的特点
（1）每一质点均在自已的平衡位置来回运动而不随波前进；
（2）每一质点的起振方向都和波源起振方向相同，且远离波源的点振动总要滞后于靠近波源的点。
（3）波传播的是运动形式和能量。
3、波的分类
（1）按波的性质分：机械波、电磁波、物质波。
（2）按介质中质点的振动方向与波的传播方向关系分：横波和纵波。若质点振动方向和波的传播方向垂直称为横波，若质点振动方向和波传播方向平行称为纵波。
横波和纵波的形成及传播情况与介质的弹性变化有关。弹性变化有三类：切变（只有形状变化）、长变（长度变化）、容变（体积变化）。若介质有切变弹性能传播横波，若介质有容变弹性能传播纵波。
4、描述波的物理量
（1）波长λ：两相邻波峰（或波谷）中央间的距离。
（2）周期T：波传播一个波长所需的时间。
（3）波速v：波在单位时间内传播的距离。这三者的关系为
5、波动方程
设一列波沿x轴方向传播。设位于原点O处的振源振动方程为y=Acosωt，则与原点的距离为x处的原点振动方程为，在某一时刻t，该方程就能描述波上各点相对平衡位置的位移，即波动方程。
若将和代入上式，波动方程可以表示为：或
6、波动图象：波动图象能直观地描述一群质点在某一时刻相对于各自平衡位置的位移，其形状为正余弦曲线，由图象可以直观地看出各质点的振幅A、位移x、波长λ、质点的速度方向和加速度方向、波的传播方向等。
7、波动图象：波动图象能直观地描述一群质点在某一时刻相对于各自平衡位置的位移，其形状为正余弦曲线，由图象可以直观地看出各质点的振幅A、位移x、波长λ、质点的速度方向和加速度方向、波的传播方向等。
8、波动图象与振动图象的比较（略）
9、波的干涉：
（1）波的叠加：几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都保持各自原有的特征独立传播而不互相干扰，波的这种特性叫独立性。在几列波叠加的区域内，每一质点都同时参与几列波引起的振动，每一质点的位移都是几列波各自分振动引起的位移矢量和。
（2）波的干涉：具有相同频率、相差恒定的两波源为相干波源。相干波在相遇区内出现稳定的、互相间隔的加强和减弱区，这种现象称之为干涉。
如图所示，两相干波相遇区域中任一点P到两相干波源O1和O2的距离分别为r1和r2，波源O1和O2的振动初相为φ1和φ2，则两相干波在P点引起的两分振动的相位差为：
在P点引起的合振动的振幅为：
当时，A=A1+A2，在该处发生相长干涉；当时，A=|A1-A2|，在该处发生相消干涉
10、波的衍射：
波在传播中遇到障碍物时改变传播方向，绕到障碍物后面去的现象叫波的衍射。发生明显衍射的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波和相差不多。
11、声波：
（1）空气中的声波是纵波
（2）能引起人耳感觉的频率范围是20~20000Hz。
（3）回声和原声在人耳中相隔至少0.1s以上，人耳才能分辨。
（4）声波能发生反射、干涉、衍射现象。
（5）乐音与噪声：由作周期性振动的声源发出的声音叫乐音。让人感觉好听、悦耳。由非周期性振动的声源发出的声音叫噪声，让人感觉嘈杂刺耳。
（6）乐音的三要素：音调、响度、音品。
音调：基音频率的高低。基音高则音调高。
响度：声音的强弱。与人、声强和声频有关。
音品：又称音色。不同声源发出的声音具有不同的特色。它由声音所包含的语音强弱和频率决定。由泛音的多少、泛音的频率和振幅的大小决定。
二．驻波和多普勒效应
【知识要点】
1、驻波
频率相同、振幅相等、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波互相叠加，便形成驻波。设坐标原点的振动方程为，则满足上述条件的两列简谐波的波动方程分别为：
叠加所得的合成波的方程为：
式中是此合成波的振幅，它与x有关。振幅最大处称为波腹，振幅最小处称为波节。波腹的位置为：
波节的位置为：
相邻两波腹（或波节）之间的间距为。
不同时刻驻波的波形图如图所示，其中实线表示t=0，T，2T，…时的波形，点线表示，，…时的波形；点画线表示，，…时的波形。
2、多普勒效应
由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者接受到的频率fR与波源的振动频率fs不同，这种现象称为多普勒效应。相互远离时，频率变低；相互接近时，频率变高。
利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多普勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声心动，多普勒血流仪等。
（1）三种情况：（波源频率为，波的频率为，观察者接受到的波频率为）
① 相对于媒质，波源不动，观察者以速度vR，向着或远离波源运动。如右图所示。（式中u为波速）；
因为此时波源的频率就是波的频率，所以
因此观察者向着波源运动时，接受到的频率大于波源的频率；当观察者远离静止波源运动时，接受到的频率小于波源的频率。
② 相对于媒质，观察者不动，波源以速度vs向着观察者运动。波源运动时，波的频率不再等于波源的频率。这是由于当波源运动时，它所发出的相邻的两个同相振动状态是在不同地点发出的，这两个地点相隔的距离为vsTs，Ts为波源的周期。如果波源是向着观察者运动的，这后一地点到前方的最近的同相点之间的距离是现在媒质中的波长。
若波源静止时，媒质中的波长为λ0（λ0=uTs），则现在媒质中的波长为：
现在波的频率（即观察者接收的频率）为：
因此波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率大于波源的频率；当波源远离观察者运动时，观察者接受到的频率小于波源小于波源的频率。
③ 相对于媒质，观察者和波源同时运动，综合上述两种情况，可得当波源和观察者相向运动时，观察者接受到的频率为：
当波源和观察者彼此离开时，观察者接受到的频率为：
典型例题
1.（北约自主招生）简谐机械波在同一种介质中传播时，下述结论中正确的是( )
A．频率不同时，波速不同，波长也不同
B．频率不同时，波速相同，波长则不同
C．频率不同时，波速相同，波长也相同
D．频率不同时，波速不同，波长则相同
2.（华约自主招生）如图，一简谐横波沿 x 轴正方向传播，图中实线为 t=0 时刻的波形图，虚线为 t=0.286s时刻的波形图。该波的周期 T和波长λ 可能正确的是（ ）
A．0.528s，2m
B．0.528s，4m
C．0.624s，2m
D．0.624s，4m
3．（华约自主招生）（多选）A、B为一列简谐横波上的两个质点，它们在传播方向上相距20m，当A在波峰时，B恰在平衡位置。经过2s再观察，A恰在波谷，B仍在平衡位置，则该波
A．最大波长是80m B．波长可能是
C．最小频率是0.25Hz D．最小波速是20m/s
4.（复旦自主招生）如右图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是这列波在t=0.2s时刻的波形图。已知该波的波速是0.8m/s，则________。
A．这列波的周期是0．2s
B．这列波向左传播了四分之一个波长
C．这列波的传播方向为x轴的正方向
D．这列波的传播方向一定为x轴的负方向
5.（复旦）如右图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是这列波在t=0.2s时刻的波形图。已知该波的波速是0.8m/s，则________。
A．这列波的周期是0.2s
B．这列波向左传播了四分之一个波长
C．这列波的传播方向为x轴的正方向
D．这列波的传播方向一定为x轴的负方向
6.（上海交通大学）如图所示，波源S1在绳的左端发出一个时间跨度为T1、振幅为A1的三角波a；同时，波源S2在绳的右端发出一个时间跨度为T2、振幅为A2的三角波b。已知T1> T2，左右两波沿绳的传播速度均为v，P点为两波源连线的中点。下列选项正确的是
A．两列波在P点叠加时，P点的位移最大可达A1+A2
B．a波的波峰到达S2时，b 波的波峰尚未到达S1
C．两列波波峰相遇的位置在P点的左侧
D．要使两列波的波峰在P点相遇，两列波发出的时间差为(T1-T2)
7.(16届预赛)将一根长为100多厘米的均匀弦线，沿水平的轴放置，拉紧并使两端固定。现对离固定的右端25cm处（取该处为原点，如图预16-7-1所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图预16-7-2所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）。已知该波在弦线中的传播速度为，且波在传播和反射过程中都没有能量损失。
试在图预16-7-1中准确地画出自点沿弦向右传播的波在时的波形图。
该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是固定不动的。这
可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发，试在图预16-7-1中准确地画出时的波形图。
在图预16-7-1中准确地画出时的波形图。
参考解答
和的波形如图预解16-7-1所示。
其中10.5 s 时的波形，如果没有固定点应如所示，以固定点对称作出反射波，再和合成，形成了（图预解16-7-2）。12.5 s 的波形，如果没有固定点应如所示，以固定点对称作出反射波（图预解16-7-3）．第18讲 机械波与多普勒定律
知识精讲
一．机械波：
振动的传播形成波，机械振动在弹性介质中传播形成机械波。如声波、水波等。交变的电场和磁场在空间的传播形成电磁波。如无线电波、光波等。这两类波虽然本质不同，但很多规律是相同的，本节主要研究机械波的一些基本特性和规律。
1、波的形成条件：（1）有振源；（2）有能传播振动的弹性介质。
2、波动的特点
（1）每一质点均在自已的平衡位置来回运动而不随波前进；
（2）每一质点的起振方向都和波源起振方向相同，且远离波源的点振动总要滞后于靠近波源的点。
（3）波传播的是运动形式和能量。
3、波的分类
（1）按波的性质分：机械波、电磁波、物质波。
（2）按介质中质点的振动方向与波的传播方向关系分：横波和纵波。若质点振动方向和波的传播方向垂直称为横波，若质点振动方向和波传播方向平行称为纵波。
横波和纵波的形成及传播情况与介质的弹性变化有关。弹性变化有三类：切变（只有形状变化）、长变（长度变化）、容变（体积变化）。若介质有切变弹性能传播横波，若介质有容变弹性能传播纵波。
4、描述波的物理量
（1）波长λ：两相邻波峰（或波谷）中央间的距离。
（2）周期T：波传播一个波长所需的时间。
（3）波速v：波在单位时间内传播的距离。这三者的关系为
5、波动方程
设一列波沿x轴方向传播。设位于原点O处的振源振动方程为y=Acosωt，则与原点的距离为x处的原点振动方程为，在某一时刻t，该方程就能描述波上各点相对平衡位置的位移，即波动方程。
若将和代入上式，波动方程可以表示为：或
6、波动图象：波动图象能直观地描述一群质点在某一时刻相对于各自平衡位置的位移，其形状为正余弦曲线，由图象可以直观地看出各质点的振幅A、位移x、波长λ、质点的速度方向和加速度方向、波的传播方向等。
7、波动图象：波动图象能直观地描述一群质点在某一时刻相对于各自平衡位置的位移，其形状为正余弦曲线，由图象可以直观地看出各质点的振幅A、位移x、波长λ、质点的速度方向和加速度方向、波的传播方向等。
8、波动图象与振动图象的比较（略）
9、波的干涉：
（1）波的叠加：几列波在同一介质中传播时，在它们相遇的区域内，每列波都保持各自原有的特征独立传播而不互相干扰，波的这种特性叫独立性。在几列波叠加的区域内，每一质点都同时参与几列波引起的振动，每一质点的位移都是几列波各自分振动引起的位移矢量和。
（2）波的干涉：具有相同频率、相差恒定的两波源为相干波源。相干波在相遇区内出现稳定的、互相间隔的加强和减弱区，这种现象称之为干涉。
如图所示，两相干波相遇区域中任一点P到两相干波源O1和O2的距离分别为r1和r2，波源O1和O2的振动初相为φ1和φ2，则两相干波在P点引起的两分振动的相位差为：
在P点引起的合振动的振幅为：
当时，A=A1+A2，在该处发生相长干涉；当时，A=|A1-A2|，在该处发生相消干涉
10、波的衍射：
波在传播中遇到障碍物时改变传播方向，绕到障碍物后面去的现象叫波的衍射。发生明显衍射的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小或跟波和相差不多。
11、声波：
（1）空气中的声波是纵波
（2）能引起人耳感觉的频率范围是20~20000Hz。
（3）回声和原声在人耳中相隔至少0.1s以上，人耳才能分辨。
（4）声波能发生反射、干涉、衍射现象。
（5）乐音与噪声：由作周期性振动的声源发出的声音叫乐音。让人感觉好听、悦耳。由非周期性振动的声源发出的声音叫噪声，让人感觉嘈杂刺耳。
（6）乐音的三要素：音调、响度、音品。
音调：基音频率的高低。基音高则音调高。
响度：声音的强弱。与人、声强和声频有关。
音品：又称音色。不同声源发出的声音具有不同的特色。它由声音所包含的语音强弱和频率决定。由泛音的多少、泛音的频率和振幅的大小决定。
二．驻波和多普勒效应
【知识要点】
1、驻波
频率相同、振幅相等、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波互相叠加，便形成驻波。设坐标原点的振动方程为，则满足上述条件的两列简谐波的波动方程分别为：
叠加所得的合成波的方程为：
式中是此合成波的振幅，它与x有关。振幅最大处称为波腹，振幅最小处称为波节。波腹的位置为：
波节的位置为：
相邻两波腹（或波节）之间的间距为。
不同时刻驻波的波形图如图所示，其中实线表示t=0，T，2T，…时的波形，点线表示，，…时的波形；点画线表示，，…时的波形。
2、多普勒效应
由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者接受到的频率fR与波源的振动频率fs不同，这种现象称为多普勒效应。相互远离时，频率变低；相互接近时，频率变高。
利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、潜艇的速度，还可以用来报警和监测车速。在医学上，利用超声波的多普勒效应对心脏跳动情况进行诊断，如做超声心动，多普勒血流仪等。
（1）三种情况：（波源频率为，波的频率为，观察者接受到的波频率为）
① 相对于媒质，波源不动，观察者以速度vR，向着或远离波源运动。如右图所示。（式中u为波速）；
因为此时波源的频率就是波的频率，所以
因此观察者向着波源运动时，接受到的频率大于波源的频率；当观察者远离静止波源运动时，接受到的频率小于波源的频率。
② 相对于媒质，观察者不动，波源以速度vs向着观察者运动。波源运动时，波的频率不再等于波源的频率。这是由于当波源运动时，它所发出的相邻的两个同相振动状态是在不同地点发出的，这两个地点相隔的距离为vsTs，Ts为波源的周期。如果波源是向着观察者运动的，这后一地点到前方的最近的同相点之间的距离是现在媒质中的波长。
若波源静止时，媒质中的波长为λ0（λ0=uTs），则现在媒质中的波长为：
现在波的频率（即观察者接收的频率）为：
因此波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率大于波源的频率；当波源远离观察者运动时，观察者接受到的频率小于波源小于波源的频率。
③ 相对于媒质，观察者和波源同时运动，综合上述两种情况，可得当波源和观察者相向运动时，观察者接受到的频率为：
当波源和观察者彼此离开时，观察者接受到的频率为：
典型例题
1.（北约自主招生）简谐机械波在同一种介质中传播时，下述结论中正确的是( )
A．频率不同时，波速不同，波长也不同
B．频率不同时，波速相同，波长则不同
C．频率不同时，波速相同，波长也相同
D．频率不同时，波速不同，波长则相同
2.（华约自主招生）如图，一简谐横波沿 x 轴正方向传播，图中实线为 t=0 时刻的波形图，虚线为 t=0.286s时刻的波形图。该波的周期 T和波长λ 可能正确的是（ ）
A．0.528s，2m
B．0.528s，4m
C．0.624s，2m
D．0.624s，4m
3．（华约自主招生）（多选）A、B为一列简谐横波上的两个质点，它们在传播方向上相距20m，当A在波峰时，B恰在平衡位置。经过2s再观察，A恰在波谷，B仍在平衡位置，则该波
A．最大波长是80m B．波长可能是
C．最小频率是0.25Hz D．最小波速是20m/s
4.（复旦自主招生）如右图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是这列波在t=0.2s时刻的波形图。已知该波的波速是0.8m/s，则________。
A．这列波的周期是0．2s
B．这列波向左传播了四分之一个波长
C．这列波的传播方向为x轴的正方向
D．这列波的传播方向一定为x轴的负方向
5.（复旦）如右图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图，虚线是这列波在t=0.2s时刻的波形图。已知该波的波速是0.8m/s，则________。
A．这列波的周期是0.2s
B．这列波向左传播了四分之一个波长
C．这列波的传播方向为x轴的正方向
D．这列波的传播方向一定为x轴的负方向
6.（上海交通大学）如图所示，波源S1在绳的左端发出一个时间跨度为T1、振幅为A1的三角波a；同时，波源S2在绳的右端发出一个时间跨度为T2、振幅为A2的三角波b。已知T1> T2，左右两波沿绳的传播速度均为v，P点为两波源连线的中点。下列选项正确的是
A．两列波在P点叠加时，P点的位移最大可达A1+A2
B．a波的波峰到达S2时，b 波的波峰尚未到达S1
C．两列波波峰相遇的位置在P点的左侧
D．要使两列波的波峰在P点相遇，两列波发出的时间差为(T1-T2)
7.(16届预赛)将一根长为100多厘米的均匀弦线，沿水平的轴放置，拉紧并使两端固定。现对离固定的右端25cm处（取该处为原点，如图预16-7-1所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图预16-7-2所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）。已知该波在弦线中的传播速度为，且波在传播和反射过程中都没有能量损失。
试在图预16-7-1中准确地画出自点沿弦向右传播的波在时的波形图。
该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是固定不动的。这
可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发，试在图预16-7-1中准确地画出时的波形图。
在图预16-7-1中准确地画出时的波形图。

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