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第19讲 几何光学
知识精讲
【扩展知识】
一、光的独立传播规律
当光线从不同方向通过透明媒质中一点时互不影响，不改变频率仍按原方向传播的规律。
二、折射率
1．相对折射率：光从1媒质进入2媒质。
2．绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。
三、发生全反射的临界角：
四、成像公式
若u为物距，v为像距，而f为焦距，则有：
放大率： （线放大率）
（面放大率）
说明：（1）上述公式适用范围：面镜，薄透镜。
（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。
（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。
五、球面镜的焦距
可以证明，球面镜的焦距f等于球面半径R的一半。且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。
六、光具组成像
七、透镜成像的作图法
1．利用三条特殊光线
2．利用副光轴
典型例题
1.（北约自主招生）人在平面镜前看到站在自己身边朋友在镜中的像时，虽然上下不颠倒，左右却互换了。今将两块相互平行的平面反射镜如图放置，观察者 A 在图示右侧位置可看到站在图示左侧位置的朋友 B，则 A 看到的像必定是( )
A．上下不颠倒，左右不互换
B．上下不颠倒，左右互换
C．上下颠倒，左右不互换
D．上下颠倒，左右互换
2．（华约自主招生）若实心玻璃管长40cm，宽4cm，玻璃的折射率为2/ ，光从管的左端正中心射入，则光最多可以在管中反射几次（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（北约自主招生真题）OA、OB是两面镜子，成 36°夹角，观察者在两镜之间，则人从 A 镜中最多能看到 个像；从 B 镜中最多能看到 个像。
4.（同济大学）如图所示，一束平行单色光垂直照射到薄膜上，经过上下两表面反射的光束发生干涉，若薄膜的厚度为e，且n1A．·e B．·e+π
C．·e+π D．·e
5.（18届预赛）.一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12处，求最后所成象的位置。
参考解答
1．先求凸球面的曲率半径。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于点，如图预解18-3-1所示。点为球面的球心，，由正弦定理，可得
（1）
由折射定律知
（2）
当、很小时，，，，由以上两式得
（3）
所以
（4）
2. 凸面镀银后将成为半径为的凹面镜，如图预解18-3-2所示
令表示物所在位置，点经平面折射成像，根据折射定律可推出
（5）
由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像于，则由球面镜成像公式可得
（6）
由此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点。
（7）
所以 （8）
最后所成实像在透镜左方24 cm处。
一平凸透镜焦距为，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它处，垂直于主轴放置一高为的物，其下端在透镜的主轴上（如图预16-5）。
用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。
2. 用计算法求出此像的位置和大小。
6.（21届预赛）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。
把酒杯放平，分析成像问题。
1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为 ，由折射定律和几何关系可得
n1sini＝n0sinr （1）
＝i+ （2）
在△PAC中，由正弦定理，有
（3）
考虑近轴光线成像，、i、r 都是小角度，则有
（4）
（5）
由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及cm可得
＝1.31i （6）
r ＝1.56i （7）
由（6）、（7）式有
r＞ （8）
由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P，P 即为P点的实像．画面将成实像于P 处。
在△CAP 中，由正弦定理有
（9）
又有 r＝ + (10)
考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得
(11)
又有
（12）
由以上各式并代入数据，可得
cm （13）
由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。
2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有
（14）
代入n1和n2的值，可得
r＝1.16i （15）
与（6）式比较，可知
r＜ （16）
由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P，P 即为P点的虚像。画面将成虚像于P 处。计算可得
（17）
又有
（18）
由以上各式并代入数据得
cm （19）
由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm．即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。
7.（17届预赛）有一水平放置的平行平面玻璃板，厚3.0 cm，折射率。在其下表面下2.0 cm处有一小物；在玻璃扳上方有一薄凸透镜，其焦距，透镜的主轴与玻璃板面垂直；位于透镜的主轴上，如图预17-3所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到的像就在处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少
解答：
物体通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为和，作为物，通过玻璃板的下表面折射成像于点处，由图预解17-3，根据折射定律，有
式中是空气的折射率，对傍轴光线，、很小，，，则
式中为物距，为像距，有
（1）
将作为物，再通过玻璃板的上表面折射成像于点处，这时物距为．同样根据折射定律可得像距
（2）
将作为物，通过透镜成像，设透镜与上表面的距离为，则物距．根据题意知最后所成像的像距，代入透镜成像公式，有
（3）
由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得
（4）
即应置于距玻璃板上表面1.0 cm 处。
8.（19届预赛）图预19-5中，三棱镜的顶角为60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源，已知其像与对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．
参考解答
由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由射向光心的光线的光路图如图预解19-5所示。由对称性可知
①
②
由几何关系得 ③
由图可见
④
又从的边角关系得
⑤
代入数值得
⑥
由②、③、④与⑥式得，
根据折射定律，求得
⑦第19讲 几何光学
知识精讲
【扩展知识】
一、光的独立传播规律
当光线从不同方向通过透明媒质中一点时互不影响，不改变频率仍按原方向传播的规律。
二、折射率
1．相对折射率：光从1媒质进入2媒质。
2．绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。
三、发生全反射的临界角：
四、成像公式
若u为物距，v为像距，而f为焦距，则有：
放大率： （线放大率）
（面放大率）
说明：（1）上述公式适用范围：面镜，薄透镜。
（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。
（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。
五、球面镜的焦距
可以证明，球面镜的焦距f等于球面半径R的一半。且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。
六、光具组成像
七、透镜成像的作图法
1．利用三条特殊光线
2．利用副光轴
典型例题
1.（北约自主招生）人在平面镜前看到站在自己身边朋友在镜中的像时，虽然上下不颠倒，左右却互换了。今将两块相互平行的平面反射镜如图放置，观察者 A 在图示右侧位置可看到站在图示左侧位置的朋友 B，则 A 看到的像必定是( )
A．上下不颠倒，左右不互换
B．上下不颠倒，左右互换
C．上下颠倒，左右不互换
D．上下颠倒，左右互换
2．（华约自主招生）若实心玻璃管长40cm，宽4cm，玻璃的折射率为2/ ，光从管的左端正中心射入，则光最多可以在管中反射几次（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（北约自主招生真题）OA、OB是两面镜子，成 36°夹角，观察者在两镜之间，则人从 A 镜中最多能看到 个像；从 B 镜中最多能看到 个像。
4.（同济大学）如图所示，一束平行单色光垂直照射到薄膜上，经过上下两表面反射的光束发生干涉，若薄膜的厚度为e，且n1A．·e B．·e+π
C．·e+π D．·e
5.（18届预赛）.一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12处，求最后所成象的位置。
参考解答
6.（21届预赛）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。
（17届预赛）有一水平放置的平行平面玻璃板，厚3.0 cm，折射率。在其下表面下2.0 cm处有一小物；在玻璃扳上方有一薄凸透镜，其焦距，透镜的主轴与玻璃板面垂直；位于透镜的主轴上，如图预17-3所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到的像就在处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少
8.（19届预赛）图预19-5中，三棱镜的顶角为60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源，已知其像与对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．

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