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1.1.2空间向量的数量积运算
【知识梳理】（课前完成）
知识点一 空间量向的夹角
空间向量的夹角的定义：已知两个非零向量，，在空间内作取一点，作_________，__________，则______________叫做向量，的夹角，记作__________.
范围：_________，特别地，当时，向量，方向________，当时，向量，方向________，所以若，则________或__________，当时，向量，互相_________，记作__________.
知识点二 空间向量的数量积及其性质
定 义 已知____________________，则____________________叫做_________的数量积，记作_________，即： __________________________________
特别地，
性 质 _____________；
_______________________________________.
运 算 律
交换律：
分配律：
知识点三 向量的投影
向量向向量的投影：在空间中，向量向向量的投影，先将___________________，利用平面上向量的投影，得到____________________的向量，______________________，向量称为__________________________.用同样的方式，也可以将向量向直线上______.
向量向平面的投影：向量向平面的投影，就是分别由向量的_______和____
______作_________________，垂足分别为_______，______，得到_____________，________称为________________________________.这时，向量，______的夹角就是______________
__________________.
请你将课本第7页图1.1-11画在下面的表格内
【例题精讲】（先做后讲，不做不讲）
题型一 空间向量的数量积的计算
【例1】如图，在正四面体中，，，分别是，的中点，计算：
；（2）;（3）.
【课堂记录】
题型二 利用数量积求距离
【例2】在长方体中，,，求对角线的长.
【课堂记录】
题型三 利用数量积证明空间的垂直关系
【例3】在正三棱锥中，求证
【课堂记录】
【课后作业】（全批全改）
1、在正三棱柱中，若，求与所成角的大小.
2、正方体的棱长为2，设，，，求：
； （2）； （3）
3、如图，在平行六面体中，，，，，.求：
； （2）； （3）.
（选做）正方体的棱长为.
求和的夹角;
求证：.
（选做）如图所示，已知和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，.
求证：平面.

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