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11．3 简谐运动的回复力和能量
学习目标：
1．掌握简谐运动中回复力的特点。
2．对水平弹簧振子能定量的说明弹性势能与动能的转化。
重点：1．简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。
2．对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。
难点：1．物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结。
2．关于简谐运动中能量的转化。
知识点一、简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力
（1）定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
（2）方向：总是指向平衡位置。
（3）表达式：－kx。“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反。
（4）效果：总是要把物体拉回到平衡位置。
3．回复力的来源
（1）回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。分析物体的受力时，不分析回复力。
（2）回复力可以由某一个力提供（如弹力、摩擦力等），也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，归纳起来回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
4．简谐运动的回复力
（1）表达式：F＝－kx。
①由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。在平衡位置回复力为0。
②公式F＝－kx中k指的是回复力与位移间的比例系数（有单位，N/m），而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
③公式反映出了回复力F与位移量之间的正比关系，位移越大，回复力越大；位移增大为原来几倍，回复力也增大为原来几倍。
（2）因x＝Asin（ωt＋φ），故回复力F＝－kx＝－kAsin（ωt＋φ），可见回复力随时间按正弦规律变化。
5．简谐运动的运动学特征：由简谐运动的回复力F＝－kx和牛顿第二定律，可得简谐运动的加速度a＝＝－。此式表明加速度的大小与振动物体的位移成正比，方向始终与位移方向相反。
【题1】如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），则下列判断正确的是
A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx
【答案】AD
【解析】物体m离开平衡位置时所受的指向平衡位置的回复力F＝－（k1x＋k2x）＝－3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体m以O为平衡位置做简谐运动，所以OC＝OB，故A、D正确，B、C错误。
【题2】关于回复力，下列说法正确的是
A．回复力是指物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供
C．振动物体在平衡位置时，其所受回复力一定为零 D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零
【答案】ABC
【解析】回复力是物体受到的指向平衡位置的力，F＝－kx，A正确；回复力按效果命名，由物体受到的某种性质的力来提供，或者由物体所受合力提供，B正确；物体在平衡位置时，回复力为零，但合力不一定为零，C正确，D错误。
（3）加速度特点：根据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐振动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
【特别提醒】①回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动为简谐运动。
②k的单位：式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。
【题3】对于弹簧振子的回复力与位移的关系图象，下列图象中正确的是
【答案】C
【解析】根据公式F＝－kx，可判断回复力与位移的关系图线是一条直线，斜率为负值，故选项C正确。
知识点二、简谐运动的能量
1．振动系统的状态与能量的关系
（1）振子的速度与动能：速度不断变化，动能也在不断变化。
（2）弹簧形变量与势能：弹簧形变量在变化，因而势能也在变化。
2．简谐振动的能量：振动系统的能量一般指振动系统的机械能。如果不考虑阻力作用，振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
（1）在最大位移处，势能最大，动能为零；
（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小；
（3）在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．决定能量大小的因素：振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强。对于一个确定的简谐运动是等幅振动。
4．能量获得：开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
5．理想化模型
（1）从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。
（2）从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功能量损耗。
【特别提醒】因为动能和势能是标量，所以：①在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；
②振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
6．关于简谐运动能量的三点说明
（1）做简谐运动的物体能量的变化规律：只有动能和势能的相互转化，对弹簧振子而言，机械能守恒。
对简谐运动来说，一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动，简谐运动是一种理想化的振动。
振动过程是一个动能和势能不断转化的过程。如下图所示的水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。在一个周期内的能量转化过程是：
（2）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。
在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。
（3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时势能最大，动能最小。
【题4】如图，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
（1）简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和________能相互转化，总________守恒。
（2）关于振子的振动过程有以下说法，其中正确的是
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【答案】（1）振幅 动 弹性势 机械能（2）ABD
【解析】（1）简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
（2）振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误。
【题5】如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体轻放到M的上面，且m和M间无相对运动地一起振动，下列叙述正确的是
A．振幅不变　　　B．振幅减小 C．最大动能不变 D．最大动能减少
【答案】AC
【解析】m在最大位移处轻放在M上，说明m刚放上时动能为0，m放上前后振幅没改变，振动系统机械能总量不变。振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变。因此选项A正确，B错误。由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误。
【题6】如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小 B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大 D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
【答案】AC
【解析】t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；振幅是离开平衡位置的最大位移，从t2到t3，变化的是位移而不是振幅，B错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C正确；t1、t4时刻位移相同，即处于同一位置，速度等大反向，动能相同，D错误。
【题7】 一个质量为m，侧面积为S的正方形木块放在水面上静止（平衡），如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
【答案】见解析
【解析】以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块再被压入水中x后所受力如图所示，则F回＝mg－F浮，又F浮＝ρgS（Δx＋x）。由以上两式，得F回＝mg－ρgS（Δx＋x）＝mg－ρgSΔx－ρgSx。
∵mg＝ρgSΔx，∴F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，（ k＝ρgS）。即木块做简谐运动。11．3 简谐运动的回复力和能量
学习目标：
1．掌握简谐运动中回复力的特点。
2．对水平弹簧振子能定量的说明弹性势能与动能的转化。
重点：1．简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。
2．对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。
难点：1．物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结。
2．关于简谐运动中能量的转化。
知识点一、简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力
（1）定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
（2）方向：总是指向平衡位置。
（3）表达式：－kx。“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反。
（4）效果：总是要把物体拉回到平衡位置。
3．回复力的来源
（1）回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。分析物体的受力时，不分析回复力。
（2）回复力可以由某一个力提供（如弹力、摩擦力等），也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，归纳起来回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
4．简谐运动的回复力
（1）表达式：F＝－kx。
①由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。在平衡位置回复力为0。
②公式F＝－kx中k指的是回复力与位移间的比例系数（有单位，N/m），而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
③公式反映出了回复力F与位移量之间的正比关系，位移越大，回复力越大；位移增大为原来几倍，回复力也增大为原来几倍。
（2）因x＝Asin（ωt＋φ），故回复力F＝－kx＝－kAsin（ωt＋φ），可见回复力随时间按正弦规律变化。
5．简谐运动的运动学特征：由简谐运动的回复力F＝－kx和牛顿第二定律，可得简谐运动的加速度a＝＝－。此式表明加速度的大小与振动物体的位移成正比，方向始终与位移方向相反。
【题1】如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力），则下列判断正确的是
A．m做简谐运动，OC＝OB B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx D．回复力F＝－3kx
【题2】关于回复力，下列说法正确的是
A．回复力是指物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供
C．振动物体在平衡位置时，其所受回复力一定为零
D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零
（3）加速度特点：根据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐振动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
【特别提醒】①回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动为简谐运动。
②k的单位：式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。
【题3】对于弹簧振子的回复力与位移的关系图象，下列图象中正确的是
知识点二、简谐运动的能量
1．振动系统的状态与能量的关系
（1）振子的速度与动能：速度不断变化，动能也在不断变化。
（2）弹簧形变量与势能：弹簧形变量在变化，因而势能也在变化。
2．简谐振动的能量：振动系统的能量一般指振动系统的机械能。如果不考虑阻力作用，振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
（1）在最大位移处，势能最大，动能为零；
（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小；
（3）在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．决定能量大小的因素：振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强。对于一个确定的简谐运动是等幅振动。
4．能量获得：开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
5．理想化模型
（1）从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。
（2）从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功能量损耗。
【特别提醒】因为动能和势能是标量，所以：①在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；
②振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
6．关于简谐运动能量的三点说明
（1）做简谐运动的物体能量的变化规律：只有动能和势能的相互转化，对弹簧振子而言，机械能守恒。
对简谐运动来说，一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动，简谐运动是一种理想化的振动。
振动过程是一个动能和势能不断转化的过程。如下图所示的水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。在一个周期内的能量转化过程是：
（2）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。
在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。
（3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时势能最大，动能最小。
【题4】如图，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
（1）简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和________能相互转化，总________守恒。
（2）关于振子的振动过程有以下说法，其中正确的是
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
【题5】如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体轻放到M的上面，且m和M间无相对运动地一起振动，下列叙述正确的是
A．振幅不变　　　B．振幅减小 C．最大动能不变 D．最大动能减少
【题6】如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小 B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大 D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
【题7】 一个质量为m，侧面积为S的正方形木块放在水面上静止（平衡），如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。

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