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11．2 简谐运动的描述
学习目标
1．知道什么是振幅、周期、频率和相位。
2．理解并掌握周期和频率的关系。
3．了解简谐运动的表达式。
重点：1．全振动的概念。
2．描述简谐运动的物理量及其物理意义。
难点：1．简谐运动表达式与相位、相位差的理解。
2．简谐运动表达式与振动图象的关系。
知识点一、描述简谐运动的物理量
1．位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段。
（1）是矢量，其最大值等于振幅；
（2）始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；
（3）位移随时间的变化图线就是振动图象。
2．振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示，单位：m。
（2）物理意义：表示振动的强弱，是标量。振幅的两倍（2A）表示振动物体运动范围。
（3）振幅、位移和路程的关系
振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
矢、标性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间 做周期性变化 随时间增加
联系 （1）振幅等于位移最大值的数值；（2）振子在一个周期内 的路程等于4个振幅；而振子在一个周期内的位移等于零。
3．全振动
（1）振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，即一个完整的振动过程。
（2）不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相等的。
（3）对全振动的理解—正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征。
①振动特征：一个完整的振动过程。
②物理量特征：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。
③时间特征：历时一个周期。
④路程特征：振幅的4倍。简谐运动在一个周期内，振子通过的路程一定等于4个振幅，半个周期内振子通过的路程等于2个振幅；从平衡位置或从最大位移处开始计时，个周期内振子通过的路程等于一个振幅，从其它位置开始计时，个周期内振子通过的路程可能大于或小于一个振幅。
⑤相位特征：增加2π。
4．周期和频率
（1）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，单位：s。
（2）简谐运动的周期公式。
（3）频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz。
（4）物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快。
（5）两者关系：①二者互为倒数，；
②当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关。
③简谐运动的周期和频率由振动系统本身的因素决定，与振幅无关。
5．相位：用来描述周期性运动在各个时刻所处的__________。其单位是________（或度）。
【题1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20cm，某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求：（1）振子的振幅；
（2）振子的周期和频率；（3）振子在5s内通过的路程及位移大小。
【题2】如图是一个质点做简谐运动的振动图象，从图中可得
A．在t＝0时，质点位移为零，速度和加速度为零
B．在t＝4s时，质点的速度最大，方向沿负方向
C．在t＝3s时，质点振幅为－5cm，周期为4s
D．无论何时，质点的振幅都是5cm，周期都是4s
【题3】弹簧振子从距离平衡位置5 cm处由静止释放，4 s内完成5次全振动，则这个弹簧振子的振幅为______cm，振动周期为______s，频率为________Hz，4 s末振子的位移大小为_____cm，4 s内振子运动的路程为_____cm，若其他条件都不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，该振子的周期为_______s。
知识点二、简谐运动的表达式
1．简谐运动的一般表达式x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（），式中：A是振幅，T是周期，φ0是初相位。
（1）圆频率：表达式中的ω称做简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf。
（2）φ0表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。ωt＋φ0代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。
2．表达式的含义：振动方程是位移x随时间t变化的函数关系式（位移方程）。
（3）“ t+”这个量就是简谐运动的相位，它是随时t不断变化的物理量，代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。 叫初相位，简称初相，即t=0时的相位。因为||≤1，所以||≤A。
3．相位差：实际上经常用到的是两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差。常指两个具有相同频率的简谐运动的初相之差（ωt+φ1）－（ωt+φ2）=φ1－φ2。对频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
4．同相：频率相同、初相相同（即相差为0）的两个振子振动步调完全相同。相位差为零，一般地为=2n （n=0，1，2，……）；
反相：频率相同、相差为π的两个振子振动步调完全相反。相位差为 ，一般地为=（2n+1） （n=0，1，2，……）。
对两个简谐运动x1＝A1sin（ωt＋φ1）和x2＝A2sin（ωt＋φ2），Δφ＝φ2 φ1，即是两振动的相位差。
5．从运动方程中得到的物理量：振幅、周期和圆频率、初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。
【特别提醒】关于相位差Δφ＝φ2－φ1的说明：①取值范围：－π≤Δφ≤π。
②Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
③Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
【题4】一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则
A．弹簧振子的振幅为0.2m B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零 D．弹簧振子的振动初相位为2.5π
【题5】如图为A、B两个简谐运动的位移—时间图象。请根据图写出这两个简谐运动的表达式。
【题6】有两个简谐运动的振动方程分别是：x1＝3sin（100πt＋），x2＝5sin（100πt＋），下列说法正确的是
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相差恒定 D．它们的振动步调一致
【题7】如图所示，某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次。鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次，将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近
A．50g　　 B．200g　　C．500g　　 D．550g
【题8】如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t=0.5 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是
A、0.5 s B、1.0 s C、2.0 s D、4.0 s
【题9】弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从O点开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s时间，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是
A、 s B、 s C、1.4 s D、1.6 s
【题10】如图，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为3.0s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是
A．0.5s B．0.75s C．1.0s D．1.5s11．2 简谐运动的描述
学习目标
1．知道什么是振幅、周期、频率和相位。
2．理解并掌握周期和频率的关系。
3．了解简谐运动的表达式。
重点：1．全振动的概念。
2．描述简谐运动的物理量及其物理意义。
难点：1．简谐运动表达式与相位、相位差的理解。
2．简谐运动表达式与振动图象的关系。
知识点一、描述简谐运动的物理量
1．位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段。
（1）是矢量，其最大值等于振幅；
（2）始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；
（3）位移随时间的变化图线就是振动图象。
2．振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示，单位：m。
（2）物理意义：表示振动的强弱，是标量。振幅的两倍（2A）表示振动物体运动范围。
（3）振幅、位移和路程的关系
振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
矢、标性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间 做周期性变化 随时间增加
联系 （1）振幅等于位移最大值的数值；（2）振子在一个周期内 的路程等于4个振幅；而振子在一个周期内的位移等于零。
3．全振动
（1）振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，即一个完整的振动过程。
（2）不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相等的。
（3）对全振动的理解—正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征。
①振动特征：一个完整的振动过程。
②物理量特征：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。
③时间特征：历时一个周期。
④路程特征：振幅的4倍。简谐运动在一个周期内，振子通过的路程一定等于4个振幅，半个周期内振子通过的路程等于2个振幅；从平衡位置或从最大位移处开始计时，个周期内振子通过的路程等于一个振幅，从其它位置开始计时，个周期内振子通过的路程可能大于或小于一个振幅。
⑤相位特征：增加2π。
4．周期和频率
（1）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，单位：s。
（2）简谐运动的周期公式。
（3）频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz。
（4）物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快。
（5）两者关系：①二者互为倒数，；
②当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关。
③简谐运动的周期和频率由振动系统本身的因素决定，与振幅无关。
5．相位：用来描述周期性运动在各个时刻所处的__________。其单位是________（或度）。
【题1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20cm，某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求：（1）振子的振幅；
（2）振子的周期和频率；
（3）振子在5s内通过的路程及位移大小。
【答案】（1）10cm（2）1Hz（3）200cm 10cm
【解析】（1）振幅设为A，则有2A＝20cm，所以A＝10cm。
（2）从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1s；再根据周期和频率的关系可得f＝＝1Hz。
（3）振子一个周期通过的路程为4A＝40cm s＝·4A＝5×40cm＝200cm
5s的时间为5个周期，又回到原始点B，位移大小为10cm。
【题2】如图是一个质点做简谐运动的振动图象，从图中可得
A．在t＝0时，质点位移为零，速度和加速度为零
B．在t＝4s时，质点的速度最大，方向沿负方向
C．在t＝3s时，质点振幅为－5cm，周期为4s
D．无论何时，质点的振幅都是5cm，周期都是4s
【答案】D
【解析】在t＝0时刻，质点的位移为零，质点经过平衡位置，速度最大，而加速度为零，故A错误。在t＝4s时，质点经过平衡位置沿正方向运动，此时质点的速度最大，故B错误。质点的振幅为A＝5cm，周期为T＝4s，保持不变，故C错误，D正确。
【题3】弹簧振子从距离平衡位置5 cm处由静止释放，4 s内完成5次全振动，则这个弹簧振子的振幅为______cm，振动周期为______s，频率为________Hz，4 s末振子的位移大小为_____cm，4 s内振子运动的路程为_____cm，若其他条件都不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，该振子的周期为_______s。
【答案】5 cm 0.8 s 1.25 Hz 5 cm 20 cm 0.8 s
【解析】根据题意，振子从距平衡位置5 cm处由静止开始释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm，即振幅为5 cm，由题设条件可知，振子在4 s内完成5次全振动，则完成一次全振动的时间为0.8 s，即T=0.8 s，又因为f=，可得频率为1.25 Hz。4 s内完成5次全振动，也就是说，振子又回原来的初始点，因而振子的位移大小为5 cm，振子一次全振动的路程为20 cm，所以5次全振动的路程为100 cm，由于弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子质量决定，其固有周期与振幅大小无关，所以从距平衡位置2.5 cm处由静止释放，不会改变周期的大小，周期仍为0.8 s。
知识点二、简谐运动的表达式
1．简谐运动的一般表达式x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（），式中：A是振幅，T是周期，φ0是初相位。
（1）圆频率：表达式中的ω称做简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf。
（2）φ0表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。ωt＋φ0代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。
2．表达式的含义：振动方程是位移x随时间t变化的函数关系式（位移方程）。
（3）“ t+”这个量就是简谐运动的相位，它是随时t不断变化的物理量，代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。 叫初相位，简称初相，即t=0时的相位。因为||≤1，所以||≤A。
3．相位差：实际上经常用到的是两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差。常指两个具有相同频率的简谐运动的初相之差（ωt+φ1）－（ωt+φ2）=φ1－φ2。对频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
4．同相：频率相同、初相相同（即相差为0）的两个振子振动步调完全相同。相位差为零，一般地为=2n （n=0，1，2，……）；
反相：频率相同、相差为π的两个振子振动步调完全相反。相位差为 ，一般地为=（2n+1） （n=0，1，2，……）。
对两个简谐运动x1＝A1sin（ωt＋φ1）和x2＝A2sin（ωt＋φ2），Δφ＝φ2 φ1，即是两振动的相位差。
5．从运动方程中得到的物理量：振幅、周期和圆频率、初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。
【特别提醒】关于相位差Δφ＝φ2－φ1的说明：①取值范围：－π≤Δφ≤π。
②Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
③Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。
【题4】一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则
A．弹簧振子的振幅为0.2m B．弹簧振子的周期为1.25s
C．在t＝0.2s时，振子的运动速度为零 D．弹簧振子的振动初相位为2.5π
【答案】C
【解析】由表达式可知：A＝0.1m，T＝0.8s，φ＝0，所以A、B、D均错；t＝0.2s时，振子在最大位移处，速度为零，C正确。
【题5】如图为A、B两个简谐运动的位移—时间图象。请根据图写出这两个简谐运动的表达式。
【答案】见解析
【解析】依据图象确定A、B两物体各自振动的振幅、周期，再结合简谐运动的一般表达式即可求解。
由图象可知，对简谐运动A，初相位φ0＝π，振幅A＝0.5cm，周期T＝0.4s，ω＝＝5π，则A对应的简谐运动的表达式为xA＝0.5sin（5πt＋π）cm。
对简谐运动B，φ0＝，振幅A＝0.2cm，周期T＝0.8s，则ω＝＝2.5π，因此B对应的简谐运动的表达式为xB＝0.2sin（2.5πt＋）cm。
【题6】有两个简谐运动的振动方程分别是：x1＝3sin（100πt＋），x2＝5sin（100πt＋），下列说法正确的是
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同 C．它们的相差恒定 D．它们的振动步调一致
【答案】C
【解析】依据两个振动方程我们知道：
方程1代表的振子振动振幅为3；圆频率为ω＝2πf＝100π，则f＝50Hz；初相为。
方程2代表的振子振动振幅为5，圆频率为ω＝2πf＝100π，则f＝50Hz；初相为π/4。
所以，选项A错，B对；由于它们的振动周期相同所以它们的相位差为π/3－π/4有确定的值，故选项C正确。选项D不对，由于它们的相位差为π/3－π/4＝π/12，因此它们在振动时步调不一致。只有两个频率相同的振动，且相位差φ2－φ1＝2nπ（n＝0，±1，±2，…）时，它们的振动步调才会一致，这就是我们常说的同相；若φ2－φ1＝（2n＋1）π，说明这两个振动正好相反，我们叫它反相。
【题7】如图所示，某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次。鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次，将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近
A．50g　　 B．200g　　C．500g　　 D．550g
【答案】B
【解析】振动系统的频率是由振动系统的自身来决定的。鸟与树枝组成的系统频率f1＝＝0.6Hz,50g砝码与树枝组成的系统频率f2＝＝1.2Hz，500g砝码与树枝组成的系统频率为f3＝＝0.4Hz，而f3【题8】如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s，过B点后再经过t=0.5 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是
A、0.5 s B、1.0 s C、2.0 s D、4.0 s
【答案】C
【解析】根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧；质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=×0.5 s=0.25 s质点从B向右到达右方极端位置（设为D）的时间tBD=×0.5 s=0.25 s所以，质点从O到D的时间tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s，所以T=2 s。
【题9】弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从O点开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s时间，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是
A、 s B、 s C、1.4 s D、1.6 s
【答案】ABD
【解析】如图所示，t1=0.3 s，t2=0.2 s，第一种可能：=t1+ t2=（0.3+）s=0.4 s，即T=1.6 s。
第三次通过M还要经过的时间t3=+2t1=（0.8+2×0.4）s=1.4 s。
第二种可能：由图可知：t1–+=，即T=s。
第三次通过M点还要经过的时间t3=t1+（t1–）=（2×0.3–）s=s。
【题10】如图，一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为3.0s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是
A．0.5s B．0.75s C．1.0s D．1.5s
【答案】C
【解析】由题中所给条件写出游船做简谐运动的振动方程y＝20sint＝20sint（cm），画出y－t图象，如图所示，能舒服登船的时间Δt＝t2－t1，在一个周期内，当y＝10cm时，解得t1＝0.25s，t2＝1.25s，则Δt＝t2－t1＝1.25s－0.25s＝1.0s，正确答案C。

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