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专题三 力与物体的运动（2）
【重点知识提醒】
【重点方法提示】
1.平抛运动
(1)对于平抛或类平抛运动的问题，应用“合成与分解的思想”，速度和位移的分解是解题的关键。
(2)瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
(3)设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则有tan α＝2tan θ。
2.解答匀速圆周运动问题的方法
3.竖直面内的圆周运动
竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度关系通常利用动能定理来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析。
(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v≥.
(2)杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0.
4.天体运动
(1)分析天体运动类问题的一条主线就是F万＝F向，抓住黄金代换公式GM＝gR2。
(2)确定天体表面重力加速度的方法有：测重力法、单摆法、平抛(或竖直上抛)物体法、近地卫星环绕法等。
5.注意天体运动的三个区别
(1)中心天体和环绕天体的区别。
(2)自转周期和公转周期的区别。
(3)星球半径和轨道半径的区别。
6.天体运动中的“三看”和“三想”
(1)看到“近地卫星”想到“最大环绕速度”“最小周期”。
(2)看到“忽略地球自转”想到“万有引力等于重力”。
(3)看到“同步卫星”想到“周期T＝24 h”。
【重点题型讲练】
【例1】 如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出。不计空气阻力，则(　　)
A.a和b的飞行时间相同
B.b的飞行时间比c的短
C.a的水平初速度比b的小
D.c的水平初速度比a的大
解析　由题图可知b下落的高度比a的大，根据t＝可知，b飞行的时间较长，根据v0＝，可知a、b的水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b下落的高度比c的大，则b飞行的时间比c的长，选项B错误；a下落的高度比c的大，则a飞行的时间比c的长，根据v0＝，可知a、c的水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确。
答案　D
【练1】 (多选)冬季滑雪是人们喜欢的一种运动。如图所示，某运动员从斜坡顶端A点沿水平方向以初速度v0滑出，恰好落在斜坡底端B点，已知斜坡倾角为θ，不计空气阻力，若运动员水平初速度的大小改为，方向不变，再次从A点滑出，下列说法正确的是(　　)
A.运动员前、后两次到达斜坡上的位移之比为∶1
B.运动员前、后两次到达斜坡上的时间之比为2∶1
C.运动员前、后两次到达斜坡上时速度方向与斜坡夹角之比为2∶1
D.运动员前、后两次到达斜坡上时的动能之比为4∶1
【例2】 如图所示，一小球由不可伸长的轻绳系于一竖直细杆的A点，当竖直杆以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。关于小球到A点的竖直距离h与角速度ω的关系图线，正确的是(　　)
解析　设轻绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为L，根据牛顿第二定律得
mgtan θ＝mLω2sin θ，解得ω2＝＝，可知h＝，即h与成正比，h与的图线是一条过原点的倾斜直线，D项正确。
答案　D
【练2】如图所示是磁盘的磁道，磁道是一些不同半径的同心圆．为了数据检索的方便，磁盘格式化要求所有磁道储存的字节与最内磁道的字节相同，最内磁道上每字节所占用磁道的弧长为L.已知磁盘的最外磁道半径为R，最内磁道的半径为r，相邻磁道之间的宽度为d，最外磁道不储存字节．电动机使磁盘以每秒n圈的转速匀速转动，磁头在读写数据时保持不动，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道，不计磁头转移磁道的时间．下列说法正确的是(　　)
A．相邻磁道的向心加速度的差值为
B．最内磁道的一个字节通过磁头的时间为
C．读完磁道上所有字节所需的时间为
D．若r可变，其他条件不变，当r＝时磁盘储存的字节最多
【例3】如图所示，用长为L的细线系着一个质量为m的小球(可以看作质点)，以细线端点O为圆心，在竖直平面内做圆周运动．P点和Q点分别为圆轨迹的最低点和最高点，不考虑空气阻力，小球经过P点和Q点所受细线拉力的差值为(　　)
A．2mg B．4mg C．6mg D．8mg
答案　C
解析　在Q点， F1＋mg＝m；
对从最高点到最低点过程， 有：mg(2L)＝mv－mv ；
在最低点， F2－mg＝m；
联立三式有：F2－F1＝6mg，故选C.
【练3】 如图是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点，N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点。在A处放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠(可视为质点)，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能。假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，g取10 m/s2。求：
(1)小钢珠在B点的速度大小；
(2)小钢珠从B点飞出后落到圆弧N上所用的时间；
(3)发射小钢珠前，弹簧的弹性势能Ep。
【例4】 如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t；
(2)小球从A点水平抛出的速度大小v0和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l；
(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；
(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。
解析　(1)从A到P过程中，小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，
有R＋Rcos 53°＝gt2，
解得t＝0.4 s。
(2)根据分运动公式，有vy＝gt，tan 53°＝，
解得v0＝3 m/s，
在水平方向上，有l＝v0t，解得l＝1.2 m。
(3)从A到圆弧轨道最低点，根据机械能守恒定律，有
mv＝2mgR＋mv，解得v1＝ m/s。
(4)小球从A到达Q时，根据机械能守恒定律可知
vQ＝v0＝3 m/s；
在Q点，根据牛顿第二定律，有
FN＋mg＝meq \f(v,R)，得FN＝6.4 N
根据牛顿第三定律可得
小球对外壁有弹力FN′＝FN＝6.4 N。
答案　(1)0.4 s　(2)3 m/s　1.2 m　(3) m/s (4)外壁　6.4 N
【练4】如图所示，将质量m＝1.0 kg的可视为质点的小物块放在长L＝3.0 m 的平板车左端，车的上表面粗糙，物块与车上表面间的动摩擦因数μ＝0.6，光滑半圆形固定轨道与光滑水平轨道在同一竖直平面内，半圆形轨道的半径r＝1.2 m，直径MON竖直，车的上表面和轨道最低点高度相同，开始时车和物块一起以v0＝10 m/s的初速度在水平轨道上向右运动，车碰到轨道后立即停止运动，g取
10 m/s2，求：
(1)物块刚进入半圆形轨道时速度大小；
(2)物块刚进入半圆形轨道时对轨道的压力大小；
(3)物块回落至车上时距右端的距离。
【例5】 (2019·全国卷Ⅲ，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A.a金＞a地＞a火 B.a火＞a地＞a金
C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金
解析　行星绕太阳做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和圆周运动知识可知
G＝ma，得向心加速度a＝
由G＝m，得速度v＝
由于R金＜R地＜R火
所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
答案　A
【练5】(多选)荷兰某研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。假设登陆火星需经历如图所示的变轨过程。已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ
B.飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C.飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D.若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【练后自评反思】
【练1】 题眼点拨
①“沿水平方向以初速度v0滑出”运动员做平抛运动
②“两次都落在该斜面上”
解析　由题意知，运动员从A点滑出后做平抛运动，设运动员前、后两次做平抛运动的水平、竖直位移分别是x1、x2和y1、y2，则tan θ＝＝，又
＝，可知运动员前、后两次到达斜坡上的时间之比t1∶t2＝2∶1，所以水平位移之比x1∶x2＝4∶1，竖直位移之比y1∶y2＝4∶1，则运动员前、后两次到达斜坡上的位移之比也为4∶1，选项A错误，B正确；运动员前、后两次落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角相同，则其与斜坡夹角也相同，选项C错误；根据动能定理得mgy1＝Ek1－mv，mgy2＝Ek2－m，则运动员前、后两次到达斜坡上时的动能之比为Ek1∶Ek2＝eq \f(gy1＋\f(1,2)v,gy2＋\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0,2)))\s\up12(2))＝4∶1，选项D正确。
答案　BD
【练2】
答案　D
解析　由电动机使磁盘每秒转n圈知T＝ s.
由a＝ω2r知相邻磁道加速度的差值Δa＝·Δr＝4π2n2d，故A项错误；最内磁道一个字节通过磁头的时间t1＝·T＝，故B项错误；读完所有磁道所需时间t＝()T＝，故C项错误；字节数n＝＝r(R－r)，故其他条件不变时，当r＝时，n有最大值，故D正确．
【练3】
解析　(1)在B处对小钢珠进行受力分析，由牛顿第二定律有
mg＝meq \f(v,R)，得vB＝＝4 m/s。
(2)小钢珠从B点飞出后做平抛运动，
由平抛运动的规律得x＝vBt，h＝gt2
x2＋h2＝r2联立解得t＝0.4 s。
(3)从发射钢珠到上升至B点过程，
由机械能守恒定律得Ep＝ΔEp＋ΔEk＝mg·2R＋mv解得Ep＝0.4 J。
答案　(1)4 m/s　(2)0.4 s　(3)0.4 J
【练4】
解析　(1)车停止运动后取小物块为研究对象，设其到达车右端时的速度为v1，由动能定理可得－μmgL＝mv－mv 解得v1＝8.0 m/s。
(2)刚进入半圆形轨道时，设物块受到的支持力为FN，由牛顿第二定律
FN－mg＝meq \f(v,r) 代入数据解得FN＝63.3 N
由牛顿第三定律可得FN＝－FN′
所以物块刚进入半圆形轨道时对轨道的压力为63.3 N，方向竖直向下。
(3)若物块能到达半圆形轨道的最高点，则由机械能守恒定律可得
mv＝mv＋mg·2r解得v2＝4 m/s
设恰能通过最高点的速度为v3，则mg＝meq \f(v,r) 代入数据解得v3＝2 m/s
因v2＞v3，故小物块从半圆形轨道最高点做平抛运动
设物块落点距车右端的水平距离为x，则在竖直方向2r＝gt2
水平方向x＝v2t 代入数据解得x＝ m≈2.8 m。
答案　(1)8.0 m/s　(2)63.3 N　(3)2.8 m
【练5】解析　根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ，选项A正确；飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速，则飞船在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，选项B错误，C正确；若轨道Ⅰ贴近火星表面，可认为轨道半径等于火星半径，根据万有引力提供向心力，G＝mRω2，以及密度公式ρ＝，火星体积V＝πR3，联立解得ρ＝，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确。
答案　ACD

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