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专题五 功和能（2）
【重点知识提醒】
【重点方法提示】
1.机械能守恒的判断及应用技巧
(1)机械能守恒的判断
①利用机械能守恒的定义判断；
②利用做功判断；
③利用能量转化判断；
④对于绳突然绷紧和物体间非弹性碰撞问题，机械能往往不守恒。
(2)应用技巧
对于连接体的机械能守恒问题常常应用重力势能的减少量等于动能的增加量来分析和求解。
2.与能量有关的力学综合题的解决方法
(1)常见的与能量有关的力学综合题有单一物体多过程和多个物体多过程两大类型。
(2)联系前后两个过程的关键物理量是速度，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
(3)当涉及功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律，题目中出现相对位移时，应优先选择能量守恒定律。
【重点题型讲练】
【例1】(2018·高考全国卷Ⅰ，T18)如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为(　　)
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR
解析：小球从a运动到c，根据动能定理，得F·3R－mgR＝mv，又F＝mg，故v1＝2，小球离开c点在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，且水平方向与竖直方向的加速度大小相等，都为g，故小球从c点到最高点所用的时间t＝＝2，水平位移x＝gt2＝2R，根据功能关系，小球从a点到轨迹最高点机械能的增量为力F做的功，即ΔE＝F·(2R＋R＋x)＝5mgR.
【练1】如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B点的过程中(　　)
A．重力做功2mgR B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR D．克服摩擦力做功mgR
【自主解答】
【例2】 如图甲所示，以斜面底端为重力势能零势能面，一物体在平行于斜面的拉力作用下，由静止开始沿光滑斜面向下运动。运动过程中物体的机械能与物体位移关系的图象(E－x图象)如图乙所示，其中0～x1过程的图线为曲线，x1～x2过程的图线为直线。根据该图象，下列判断正确的是(　　)
A.0～x1过程中物体所受拉力可能沿斜面向下
B.0～x2过程中物体的动能先增大后减小
C.x1～x2过程中物体做匀加速直线运动
D.x1～x2过程中物体可能在做匀减速直线运动
【解析】物体下滑过程只有重力、拉力做功，由图可知，0～x1过程中物体的机械能减少，由功能关系得拉力做负功，所以物体所受拉力沿斜面向上，故A错误；由图可知，物体发生相同的位移，克服拉力做的功越来越少，重力做的功不变，故合外力做的功越来越多，由动能定理得，物体的动能越来越大，故B错误；物体沿斜面向下运动，合外力方向沿斜面向下，在x1～x2过程中，机械能和位移成线性关系，故拉力大小不变，物体受力恒定，物体做匀加速直线运动，故C正确，D错误。答案：C
【拓展】 (多选)在【例2】中，若斜面粗糙，撤去拉力，物体沿斜面由静止开始下滑，则下列说法正确的是(　　)
A.物体重力势能的减少量等于物体动能的增加量
B.物体重力做的功等于重力势能的减少量
C.物体克服摩擦力做的功等于物体机械能的减少量
D.物体重力和摩擦力做功之和等于物体机械能的减少量
解析　物体下滑过程中，重力做正功，摩擦力做负功，由功能关系可知，物体重力做的功等于物体重力势能的减少量，合外力做的功等于动能的增加量，克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，故A、D错误，B、C正确。答案　BC
【练2】在【例2】中，若撤去拉力，使物体带上电荷量为q的负电荷，并在其运动的空间加上场强为E的竖直向下的匀强电场，已知物体的质量为m，斜面倾角为30°，重力加速度为g，物体沿斜面由静止开始下滑距离x的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.物体的重力势能减少mgx
B.物体的机械能增加qEx
C.物体的动能增加(mg＋qE)x
D.物体的电势能增加qEx
【自主解答】
【例3】 半径为R、圆心为O的光滑圆环固定在竖直平面内,OC水平,D是圆环最低点.质量为2m的小球A与质量为m的小球B套在圆环上,两球之间用轻杆相连.两球初始位置如图所示,由静止释放,当小球A运动至D点时,小球B的动能为(重力加速度为g) (　　)
A. B.
C. D.
【点拨】 ①如何选取研究对象 ②当A运动到最低点D时,B的位置在哪儿
【解析】A、B组成的系统机械能守恒,当A运动到最低点D时,A下降的高度为hA=R+Rsin 45°,B上升的高度为hB=Rsin 45°,有2mghA-mghB=×2m+m,又vAcos 45°=vBsin 45°,故小球B的动能为EkB=m=,选项D正确.
答案：D
【以题说法】
1.对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒,其条件可理解为:(1)只有重力做功或只有弹力做功时,系统的机械能守恒.(2)系统内力、其他力做功代数和为零时,系统的机械能守恒;(3)系统内各物体间只有动能和势能转化,没有内能损耗或摩擦生热时,系统的机械能守恒.
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
3.若系统的机械能守恒,列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp或ΔEA=-ΔEB的形式;若系统的机械能不守恒,列能量方程时,一般选用W外=ΔE的形式.
【练3】(多选)如图所示,水平长直轨道上紧靠放置n个质量为m的可看作质点的物块, 物块间用长为l的细线连接,开始处于静止状态,物块与轨道间的动摩擦因数均为μ.用水平恒力F拉动第1个物块开始运动,每次细线绷直瞬间存在机械能损失,到连接第n个物块的细线刚好拉直时整体的速度正好为零,则(重力加速度为g) (　　)
A.拉力F做功为nFl
B.系统克服摩擦力做功为
C.F>
D.μnmg>F>μ(n-1)mg
【自主解答】
【例4】如图所示，倾角为θ的斜面底端固定一个挡板P，质量为m的小物块A与质量不计的木板B叠放在斜面上，A位于B的最上端且与挡板P相距L.已知A与B、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1>tan θ>μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A与挡板P相撞的过程中没有机械能损失．将A、B同时由静止释放．
(1)求A、B释放瞬间小物块A的加速度大小a1；
(2)若A与挡板P不相撞，求木板B的最小长度l0；
(3)若木板B的长度为l，求整个过程中木板B运动的总路程．
【点拨】　(1)A、B释放瞬间受哪些力的作用？
(2)B与挡板相撞后，B如何运动？
(3)A与挡板P恰好不相碰的条件是什么？
【解析】　(1)释放A、B，它们一起匀加速下滑．以A、B为研究对象，
由牛顿第二定律有mgsin θ－μ2mgcos θ＝ma1，
解得a1＝gsin θ－μ2gcos θ.
(2)在B与挡板P相撞前，A和B相对静止，以相同的加速度一起向下做匀加速运动．B与挡板P相撞后立即静止，A开始匀减速下滑．若A到达挡板P处时的速度恰好为零，此时B的长度即为最小长度l0.
从A释放至到达挡板P处的过程中，B与斜面间由于摩擦产生的热量
Q1＝μ2mgcos θ·(L－l0)，
A与B间由于摩擦产生的热量Q2＝μ1mgcos θ·l0
根据能量守恒定律有mgLsin θ＝Q1＋Q2，得l0＝ L.
(3)分两种情况：
①若l≥l0，B与挡板P相撞后不反弹，A一直减速直到静止在木板B上
木板B通过的路程x＝L－l
②若l在此过程中，A与B间由于摩擦产生的热量Q1′＝μ1mgcos θ·l，
B与斜面间由于摩擦产生的热量Q2′＝μ2mgcos θ·x，
根据能量守恒定律有mgLsin θ＝Q1′＋Q2′，
解得x＝.
[答案]　(1)gsin θ－μ2gcos θ　(2) L(3)L－l或
【以题说法】解答与能量有关的综合题的“三点技巧”：
(1)过程分析：将复杂的物理过程分解为几个简单的物理过程，挖掘出题中的隐含条件(如例题中“质量不计的木板B”“μ1>tan θ>μ2”)，找出联系不同阶段的“桥梁”．
(2)受力及功能分析：分析物体所经历的各个运动过程的受力情况以及做功情况的变化，选择适合的规律求解，如例题中第(3)问，若l(3)规律应用：对滑块和滑板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所示，要注意区分三个位移．
【练4】如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表面与固定的光滑弧面相切。一质量m＝1 kg的小滑块自弧面上高h处由静止自由滑下，在木板上滑行t＝1 s后，滑块和木板以共同速度v＝1 m/s匀速运动，g取10 m/s2。求：
(1)滑块与木板间的摩擦力大小Ff；
(2)滑块下滑的高度h；
(3)滑块与木板相对滑动过程中产生的热量Q。
【自主解答】
【练后自评反思】
【练1】解析：小球从P点运动到B点的过程中，重力做功WG＝mg(2R－R)＝mgR，故A错误；小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，解得vB＝，则此过程中机械能的减少量为ΔE＝mgR－mv＝mgR，故B错误；根据动能定理可知，合外力做功W合＝mv＝mgR，故C错误；根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，为mgR，故D正确．
【练2】解析　物体沿斜面下滑的过程，重力做正功，电场力做负功，由功能关系得，物体的重力势能减少量等于物体重力做的功，WG＝mgxsin 30°＝mgx，故A错误；物体机械能的变化量等于除重力以外其他力做的功，电场力做负功，机械能减少，即ΔE＝－W电＝qExsin 30°＝qEx，故B错误；物体动能的增加量等于合外力做的功，即W合＝(mg－qE)xsin 30°＝(mg－qE)x，故C错误；物体克服电场力做功qEx，电势能增加qEx，故D正确。答案：D
【练3】【解析】 拉力F做功为(n-1)Fl,选项A错误;系统克服摩擦力做功W=μmg(n-1)l+μmg(n-2)l+…+μmgl=,选项B正确;因绳子绷直瞬间有机械能损失,则拉力F做的功(n-1)Fl 大于系统克服摩擦力做的功,即F>,选项C正确，选项D错误.答案：BC
【练4】【解析】(1)对木板：Ff＝Ma1 由运动学公式，有v＝a1t，解得Ff＝2 N。
(2)对滑块：－Ff＝ma2
设滑块滑上木板时的速度为v0则v－v0＝a2t，可得v0＝3 m/s
由机械能守恒定律有mgh＝mv h＝eq \f(v,2g)＝ m＝0.45 m。
(3)根据功能关系有Q＝mv－(M＋m)v2
＝×1×32 J－×(2＋1)×12 J＝3 J。
答案　(1)2 N　(2)0.45 m　(3)3 J

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