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专题七 电磁场（2）
【重点知识提醒】
【重点方法提示】
1.必须领会的“三种方法”和“两种物理思想”
(1)对称法、合成法、分解法。
(2)等效思想、分解思想。
2.做好“两个区分”，谨防做题误入歧途
(1)正确区分重力、电场力、洛伦兹力的大小、方向特点及做功特点。
(2)正确区分“电偏转”和“磁偏转”的不同。
3.抓住“两个技巧”，做到解题快又准
(1)按照带电粒子运动的先后顺序，将整个运动过程划分成不同阶段的小过程。
(2)善于利用几何图形处理边角关系，要有运用数学知识处理物理问题的习惯。
【重点题型讲练】
【例1】如图所示的速度选择器水平放置，板长为L，两板间距离也为L，两板间分布着如图所示的匀强电场与匀强磁场。一带正电的粒子(不计重力)从两板左侧中点O处沿图中虚线水平向右射入速度选择器，恰好做匀速直线运动；若撤去磁场，保留电场，粒子以相同的速度从O点进入电场，恰好从上极板ab的右边缘b点离开场区；若撤去电场，保留磁场，粒子以相同的速度从O点进入磁场，经过一段匀速圆周运动后，打在下极板cd上，则粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为(　　)
A.L B.2L C.L D.
【解析】该带正电的粒子恰能沿图中虚线匀速通过速度选择器，电场力向上，洛伦兹力向下，根据平衡条件，有qvB＝qE，解得v＝。撤去磁场，保持电场不变，粒子在电场中做类平抛运动，则L＝vt，L＝·t2，解得粒子的比荷＝，撤去电场，保持磁场不变，粒子做匀速圆周运动，由qvB＝m，解得r＝＝L，故A正确。答案：A
【练1】如图所示，ABCDEF为一正六边形的六个端点，现有垂直于纸面向里的匀强磁场和平行于BA向右的匀强电场，一带电粒子从A点射入场中，恰好沿直线AE做匀速直线运动。现撤去磁场，粒子仍以原速度从A点射入场中，粒子恰好从F点射出；若撤去电场而保留磁场，粒子仍以原速度从A点射入，则粒子将从哪条边射出(不计粒子重力)(　　)
A.AB B.BC C.CD D.DE
【自主解答】
【例2】 (2018·全国卷Ⅲ，24)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
【点拨】
【答案】　(1)　(2)1∶4
【解析】　(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝m1v①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1eq \f(v,R1)②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得B＝。④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有q2U＝m2v⑤
q2v2B＝m2eq \f(v,R2)⑥ 由题给条件有2R2＝⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为∶＝1∶4。⑧
【练2】质谱仪是一种测定带电粒子比荷和分析同位素的重要工具。图3中的铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝R。则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)(　　)
A. B. C. D.
【自主解答】
【例3】 (2019·天津卷，4)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的(　　)
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压U与v无关
C.前、后表面间的电压U与c成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为
【解析】由左手定则判断，后表面带负电，电势低，A错误；电子受力平衡后，U稳定不变，由e＝evB得U＝Bav，与v成正比，与c无关，B、C错误；洛伦兹力F＝evB＝，D正确。答案：D
【练3】为了通过实验研究PM2.5的相关性质，让一带电的PM2.5颗粒(重力不计)，垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场区域，如图所示，其中M、N为正对的平行带电金属板，观察发现它恰好做直线运动，则下列判断正确的是(　　)
A.M板一定带正电
B.PM2.5颗粒一定带正电
C.若仅使PM2.5颗粒的电荷量增大，颗粒一定向M板偏移
D.若仅使PM2.5颗粒的速度增大，颗粒一定向N板偏移
【自主解答】
【例4】 “801所”设计的磁聚焦式霍尔推进器可作为太空飞船的发动机，其原理如下：系统捕获宇宙中大量存在的等离子体(由电荷量相同的正、负离子组成)经系统处理后，从下方以恒定速率v1向上射入磁感应强度大小为B1、垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅰ内。当栅极MN、PQ间形成稳定的电场后，自动关闭区域Ⅰ系统(关闭粒子进入通道、撤去磁场B1)。区域Ⅱ内有磁感应强度大小为B2、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场右边界是直径为D、与上下极板相切的半圆(圆与下板相切于极板中央A)。放在A处的放射源能够向纸面内SN上方各个方向均匀发射速度大小相等的氙原子核，氙原子核经过该区域后形成宽度为D的平行氙粒子束，经过栅极MN、PQ之间的电场加速后从PQ喷出，在加速氙原子核的过程中探测器获得反向推力(不计氙原子核、等离子体的重力，不计粒子之间的相互作用与相对论效应)。已知极板长RM＝2D，栅极MN和PQ间距为d，氙原子核的质量为m、电荷量为q。
(1)求氙原子核在A处的速度大小v2；
(2)求氙原子核从PQ喷出时的速度大小v3；
(3)因区域Ⅱ内磁场发生器发生故障，导致区域Ⅱ中磁感应强度减半并分布在整个区域Ⅱ中，求能进入区域Ⅰ的氙原子核占A处发射粒子总数的比例。
【解析】(1)氙原子核在磁场中做匀速圆周运动时有qv2B2＝meq \f(v,r)
根据题意，在A处发射速度大小相等，方向不同的氙原子核后，形成宽度为D的平行氙粒子束，即r＝ 解得v2＝。
(2)等离子体由下方进入区域Ⅰ后，在洛伦兹力的作用下发生偏转，当等离子体受到的电场力大小等于洛伦兹力时，形成稳定的匀强电场，设等离子体的电荷量为q′，则q′E＝q′v1B1 即E＝B1v1
对氙原子核经过区域Ⅰ加速的过程，根据动能定理有qU＝mv－mv
其中U＝Ed＝B1v1d
联立可得v3＝eq \r(\f(8B1v1qdm＋BD2q2,4m2))。
(3)根据题意，当区域Ⅱ中的磁场变为B2′＝之后，
根据r′＝可知，r′＝2r＝D
①根据示意图可知，垂直极板SN，即沿着AF方向射入的氙原子核，恰好能够从M点沿着轨迹1进入区域Ⅰ，而沿着AF左侧射入的粒子将被上极板RM挡住而无法进入区域Ⅰ。
该轨迹的圆心O1正好在N点，即AO1＝MO1＝D。
②根据示意图可知，沿着AG方向射入的氙原子核，恰好从下极板N点沿着轨迹2进入区域Ⅰ，而沿着AG右侧射入的粒子将被下极板SN挡住而无法进入区域Ⅰ。
则有AO2＝AN＝NO2＝D，所以此时入射角∠GAN＝30°
根据上述分析可知，只有∠FAG＝60°这个范围内射入的粒子才能进入区域Ⅰ。该部分粒子占A处发射粒子总数的比例为η＝＝。
答案　(1)　(2)eq \r(\f(8B1v1qdm＋BD2q2,4m2))　(3)
【练4】如图甲所示，长度为l、垂直纸面的两平行板CD、MN间存在匀强磁场，磁场随时间变化的规律如图乙所示，板间距离为2l，平行板右侧有一水平方向的匀强电场。t＝0时，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由MN板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区，以垂直于DN边的方向进入电场区域，之后又回到磁场中，最后从平行板左端靠近板面的位置离开磁场，速度方向与初速度方向相反。上述m、q、l、v0为已知量。
(1)若粒子在TB时刻进入电场，求B0的最大值；
(2)若粒子在TB时刻进入电场，且B0取最大值，求电场强度E及粒子在电场中向右运动的最大距离；
(3)若B0＝，求TB满足的条件。
【自主解答】
【练后自评反思】
【练1】答案：B
【解析】　只有电场时带电粒子向右偏转，则粒子带正电；只有磁场时，根据左手定则可知，粒子受到的洛伦兹力的方向向左，粒子将向左偏转；在电场和磁场同时存在时，粒子在复合场中做匀速直线运动，则有qE＝qvB①
设六边形的边长为L，只有电场时，竖直向上的方向上有vt＝Lcos 30°＝L②
水平方向上有··t2＝Lsin 30°＝L③
当只有磁场时，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝④联立可得r＝L⑤
由几何关系可知||＝L，而L＜2r＜L，所以粒子将从BC边射出磁场，B正确。
【练2】【解析】设粒子被加速后获得的速度为v，由动能定理有qU＝mv2，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，在直角△FGO中，∠GOF＝60°，轨道半径r＝Rtan 30°＝，又qvB＝m，可求＝，选项C正确。答案：C
【练3】答案：A
【解析】由于颗粒做直线运动，故无论颗粒带何种电荷，电场力与洛伦兹力都是方向相反、大小相等的。根据左手定则，带正电颗粒受到的洛伦兹力向上，所以它受到的电场力向下，电场力与电场强度同向(带负电颗粒受到的洛伦兹力向下，所以它受到的电场力向上，电场力与电场强度反向)，所以M板一定带正电，A正确；PM2.5颗粒的电性不确定，B错误；根据电场力和洛伦兹力平衡，即qvB＝qE，得v＝，与颗粒的电荷量q无关，C错误；若使PM2.5颗粒的速度增大，则洛伦兹力增大，则电场力与洛伦兹力不平衡，出现偏转现象，因洛伦兹力方向不确定，则不一定向N板偏移，D错误。
【练4】【答案】　(1)　(2)eq \f(8mv,nπql)(n＝1、2、3、…)　(n＝1、2、3、…)　(3)TB＝，且sin θ＝(n＝1、2、3、…)
【解析】(1)若粒子在TB时刻进入电场，画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
临界情况是经过速度偏转角为90°，此时粒子运动半径具有最小值R0＝
根据qv0B0max＝eq \f(mv,R0)得B0max＝。
(2)粒子做匀速圆周运动的周期T0＝＝可知TB＝＝
粒子在电场中运动的时间为t＝(n＝1、2、3、…)
由运动学规律得t＝由牛顿第二定律得qE＝ma
解得E＝eq \f(8mv,nπql)(n＝1、2、3、…) d＝×＝(n＝1、2、3、…)。
(3) 由B0＝可知R＝2l 则T＝＝
设θ为粒子在0～内的速度偏转角，由分析可知2nRsin θ＝l(n＝1、2、3、…) ＝T
联立可得TB＝，且sin θ＝(n＝1、2、3、…)。

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