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专题九 电磁感应问题
【重点知识提醒】
【重点方法提示】
1.掌握电磁感应综合问题的解题步骤
(1)确定电源部分，即电源的电动势大小和极性，电源的内阻大小。
(2)确定外电路。
(3)综合运动闭合电路的欧姆定律、运动学公式、牛顿运动定律、能量和动量守恒等定律知识解答。
2.必须辨明的“3个易错易混点”
(1)发生电磁感应的电路中，产生感应电动势的部分为“电源”，其余部分为“外电路”。
(2)安培力做正功，电能转化为其他形式的能量，安培力做负功，其他形式的能量转化为电能。
【重点题型讲练】
【例1】如图甲所示，用一根横截面积为S、电阻率为ρ的硬质导线做成一个半径为r的圆环，ab为圆环的直径。在ab的右侧存在一个足够大的匀强磁场，t＝0时刻磁场方向垂直于竖直圆环平面向里，磁场磁感应强度B随时间t变化的关系图象如图乙所示，则0～t1时间内(　　)
A.圆环中产生感应电流的方向为逆时针
B.圆环中产生感应电流的方向先顺时针后逆时针
C.圆环一直具有扩张的趋势
D.圆环中感应电流的大小为
【解析】磁通量先向里减小再向外增加，由楞决定律“增反减同”可知，线圈中的感应电流方向一直为顺时针，故A、B错误；由楞决定律的“增缩减扩”可知，0～t0时间内为了阻碍磁通量的减小，线圈有扩张的趋势，t0～t1时间内为了阻碍磁通量的增大，线圈有缩小的趋势，故C错误；由法拉第电磁感应定律得E＝＝，感应电流I＝＝·＝，故D正确。答案：D
【练1】 电动汽车越来越被人们所喜爱，某一种无线充电方式的基本原理如图7所示，路面上依次铺设圆形线圈，相邻两个线圈由供电装置通以反向电流，车身底部固定感应线圈，通过充电装置与蓄电池相连，汽车在此路面上行驶时，就可以进行充电。若汽车正在匀速行驶，下列说法正确的是(　　)
图7
A.感应线圈中电流的磁场方向一定与路面线圈中电流的磁场方向相反
B.感应线圈中产生的是方向改变、大小不变的电流
C.感应线圈一定受到路面线圈磁场的安培力，会阻碍汽车运动
D.给路面上的线圈通以同向电流，不会影响充电效果
【自主解答】
【例2】如图所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距L，导轨上端连接着阻值为R的定值电阻，质量为m的金属杆ab与导轨垂直并接触良好，金属杆和导轨的电阻不计。整个装置处于与导轨平面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中。金属杆由静止释放，下落高度h后开始做匀速运动，已知重力加速度为g。求：
(1)金属杆做匀速运动的速度大小v；
(2)下落高度h的过程中，通过金属杆的电荷量q；
(3)下落高度h的过程中，电阻R上产生的热量Q。
【解析】(1)根据法拉第电磁感应定律E＝BLv
根据欧姆定律I＝
金属杆受到的安培力F安＝BIL，则F安＝
金属杆匀速运动，根据平衡条件F安＝mg
整理得v＝。
(2)下降高度h的过程中，通过金属杆的电荷量q＝Δt
根据欧姆定律有＝
根据法拉第电磁感应定律＝n，则q＝n
下降高度h的过程中的磁通量变化ΔΦ＝BLh，且n＝1，
代入得q＝。
(3)下落高度h的过程中，根据能量守恒定律得mgh＝mv2＋Q
整理得Q＝mgh－。
答案　(1)　(2)　(3)mgh－
【练2】如图所示，光滑导轨MN和PQ固定在竖直平面内，导轨间距为L，两端分别接有阻值均为R的定值电阻R1和R2.两导轨间有一边长为的正方形区域abcd，该区域内有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场．一质量为m的金属杆与导轨相互垂直且接触良好，从ab处由静止释放，若金属杆离开磁场前已做匀速运动，其余电阻均不计．重力加速度为g，求：
(1)金属杆离开磁场前的瞬间流过R1的电流大小和方向；
(2)金属杆离开磁场时速度的大小；
(3)金属杆穿过整个磁场过程中电阻R1上产生的电热．
【自主解答】
【例3】实验小组想要探究电磁刹车的效果，在遥控小车底面安装宽为L、长为2.5L的N匝矩形线框abcd，总电阻为R，面积可认为与小车底面相同，其平面与水平地面平行，小车总质量为m．如图是简化的俯视图，小车在磁场外以恒定的功率做直线运动，受到地面阻力恒为f，进入磁场前已达到最大速度v，车头（ab边）刚要进入磁场时立即撤去牵引力，车尾（cd边）刚出磁场时速度恰好为零．已知有界磁场宽度为2.5L，磁感应强度为B，方向竖直向下．求：
（1）进入磁场前小车所受牵引力的功率P；
（2）车头刚进入磁场时，感应电流的大小I；
（3）电磁刹车过程中产生的焦耳热Q.
【解析】
（1）小车达最大速度v后，小车做匀速直线运动，牵引力大小等于摩擦力，
F=f
小车功率与牵引力的关系
解得
（2）车头刚进磁场时，回路感应电动势
根据闭合电路欧姆定律，感应电流
（3）根据能量守恒
解得
【练3】 如图所示,两个有水平边界的匀强磁场的磁感应强度大小均为B,方向相反且均沿水平方向,两磁场高度均为L.一个框面与磁场方向垂直、质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属框abcd从某一高度处由静止释放,当ab边刚进入第一个磁场时,金属框恰好做匀速直线运动;当ab边下落到GH和JK之间的某位置时,又恰好开始做匀速直线运动.整个过程空气阻力不计,重力加速度为g.求:
(1)金属框的ab边刚进入第一个磁场时的速度;
(2)金属框的ab边通过第二个磁场的时间t;
(3)金属框的ab边从开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK过程中,金属棒产生的热量Q.
【自主解答】
【例4】如图甲所示,在水平面上固定有长L=3 m、宽d=1 m的U形金属导轨,在导轨右侧l=0.5 m范围内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示.在t=0时刻,质量为m=0.1 kg的导体棒以v0=2 m/s的初速度从导轨的左端开始向右运动,始终与导轨两长边垂直且接触良好,导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.1,导轨与导体棒单位长度的电阻均为λ=0.125 Ω/m.不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响,g取10 m/s2.
(1)通过计算分析0~4 s内导体棒的运动情况;
(2)求0~4 s内回路中电流的大小,并判断电流的方向;
(3)求0~4 s内回路产生的焦耳热.
【解答步骤规范】
(1)导体棒先在无磁场区域做匀减速直线运动,由牛顿第二定律有
　　　　　=ma (1分)
根据运动学公式,导体棒速度减为零所需要的时间t0=　　　　　=2 s(1分)
0~2 s内发生的位移x=v0t-at2=2 m(1分)
可见x(2)前2 s内穿过闭合回路的磁通量不变,回路电动势和电流均为0 (1分)
后2 s内回路产生的感应电动势E=　　　　　=0.1 V(1分)
回路的总长度为4 m,因此回路的总电阻R=　　　　　(1分)
电流I=　　　　　=0.2 A(1分)
根据楞次定律,回路中的电流方向　　　　　(1分)
(3)前2 s内电流为0,后2 s内有恒定电流,回路产生的焦耳热Q=　　　　　=0.04 J(3分)
【以题说法】
1.电磁感应图像问题
在电磁感应现象中,磁感应强度、磁通量、感应电动势、感应电流及磁场对导线的作用力等物理量随时间(或位移)的变化规律可用图像直观地表示.图像问题常见命题形式有两种:
(1)由给定的电磁感应过程判断相应物理量的函数图像;
(2)由给定的有关图像分析电磁感应过程,确定相关的物理量.
2.解题思路
(1)明确图像的种类;(2)分析电磁感应的具体过程;(3)结合相关规律写出函数表达式;(4)根据函数关系进行图像分析.
3.图像问题应关注以下三点
(1)初始时刻电动势、电流等是否为零,方向是正方向还是负方向;
(2)电磁感应现象分为几个阶段,各阶段是否与图像变化对应;
(3)判定图像的斜率大小、图像曲直与物理过程是否对应,分析斜率对应的物理量的大小和方向的变化趋势.
【练4】如图甲所示，N匝线圈b与阻值为R的电阻构成闭合回路，已知线圈b的半径为2r，总电阻为R0．半径为r的圆形区域a内存在周期性变化的磁场，磁场与线圈b垂直，规定图中所示磁场方向为正方向．磁感应强度变化规律如图乙所示，最大值为B0，周期为T．
（1）求时刻回路中感应电动势的大小；
（2）通过计算在图丙中画出i-t图象（规定回路中逆时针方向为电流正方向）；
（3）求一个周期T内电阻R产生的热量Q．
【自主解答】
【练后自评反思】
【练1】【解析】由安培定则知路面上相邻圆形线圈内部的磁场方向相反，分析可知汽车在行驶过程中，感应线圈中感应电流产生的磁场方向与地面线圈产生的磁场方向时而相同，时而相反，故A错误；由于路面线圈中的电流不知如何变化，产生的磁场也无法确定，所以感应线圈中的电流大小不能确定，故B错误；感应线圈随汽车一起运动过程中会产生感应电流，在路面线圈的磁场中受到安培力，根据“来拒去留”可知，此安培力一定阻碍相对运动，即阻碍汽车运动，故C正确；给路面线圈通以同向电流，多个路面线圈内部产生相同方向的磁场，感应线圈中的磁通量的变化率与路面线圈通以反向电流时相比变小，所以会影响充电效果，故D错误。答案：C
【练2】【解析】(1)设流过金属杆中的电流为I，由平衡条件得mg＝BI，
解得I＝
所以R1中的电流大小I1＝＝，方向从P到M.
(2)设杆匀速运动时的速度为v
由E＝Bv，E＝I 得v＝
(3)mg＝Q＋mv2
得Q＝－
R1上产生的焦耳热为QR1＝Q＝－
【答案】　(1)　方向从P到M (2)　(3)－
【练3】【解析】(1) 设ab边刚进入第一个磁场时,金属框的速度为v1,所受安培力为F1,因金属框做匀速运动,有
mg=F1=BI1L
其中I1=,E1=BLv1
联立解得 v1=
(2)设ab边到达GH和JK之间的某位置时,金属框的速度为v2,ab边受到的安培力为F2,cd边受到的安培力为F3,有
F2=F3
mg=2F2=2BI2L
其中I2=,E2==2BLv2
联立解得v2=v1=
金属框的ab边从第一个磁场下边界GH至第二个磁场下边界JK的过程,由动量定理得mgt-2B　L·t=mv2-mv1
而t=q=
解得t=-
(3)金属框的ab边从开始进入第一个磁场至刚刚到达第二个磁场下边界JK的过程,由能量守恒定律得
m+2mgL=Q+m
联立解得 Q=+2mgL
【答案】(1)　(2)-　(3)+2mgL
【练4】【解析】（1） (3分)
（2）0~T/6内，，顺时针方向；(2分)
T/6~5T/6内，，
，逆时针方向；(2分)
5T/6~T内，，
顺时针方向；(2分) 如图所示 (2分)
（3）(4分)
P
N
M
Q
B
2.5L
a
b
c
d
2.5L
L
i
t
O
T
图丙
图甲
a
b
r
2r
B
R
图乙
i
t
O
T

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