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11．5 外力作用下的振动
学习目标：
1．了解阻尼振动、受迫振动、共振的概念。
2．掌握发生共振的条件，了解共振的防止和利用。
重点：1．受迫振动概念的建立。
2．什么是共振及产生共振的条件。
难点：1．物体发生共振决定于驱动力的频率与物体固有频率的关系，与驱动力大小无关。
2．当f＝f＇时，物体做受迫振动的振幅最大。
知识点一、固有振动、阻尼振动
1．固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。
2．固有频率：固有振动的频率。
3．阻尼振动：实际的振动过程中，系统受到了摩擦力和其他阻力，机械能向内能转化是无法避免的，振动过程中机械能不断减小使振动逐渐减弱直至最终停止。这种振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动。
4．对阻尼振动的理解
（1）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼大小有关。阻尼越大，振幅减小得越快。
（2）阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当做简谐运动来处理。
（3）阻尼振动的x–t图象。
（4）振幅减小的快慢与阻力大小有关；当阻力过大时，振动不能发生。
（5）特点：阻尼振动的振幅尽管在减小，但其振动周期（频率）不变，它是由振动系统决定的。振动系统确定后，其振动的周期（频率）就不变，称为固有周期（频率）。例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
【题1】一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能 B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小 D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
【答案】AD
【解析】单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为内能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，不能确定两个时刻的动能与势能的大小关系，故选项A正确，选项B错误。做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确。
【题2】如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能 B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【答案】BD
【解析】本题考查对阻尼振动的综合认识和从图象中提取信息的能力。单摆做阻尼振动，因此其机械能不断减小，选项D正确，C错误；由图又看出A、B两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，故势能相同，选项B正确；因机械能越来越小，所以动能B处比A处小，选项A错误。
【题3】一单摆做阻尼振动，则在振动过程中
A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
【答案】BD
【解析】因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越来越小。而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身条件决定的，是不变的，故A项错误，B项正确；又因单摆做阻尼振动过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减少，即机械能在减少，所以C项错误，D项正确。选B、D。
知识点二、受迫振动
1．驱动力：作用于振动系统的周期性外力。
2．受迫振动：如果系统受到周期性外力（驱动力）的作用就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去，这样的振动称为受迫振动。
3．受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，振幅最大；驱动力的频率跟固有频率相差越大，振幅越小。
5．自由振动：像弹簧振子和单摆那样，物体偏离平衡位置后，它们就在自己的弹力或重力作用下振动起来，这种振动叫做自由振动。
①自由振动不受外界的驱动力作用。②自由振动的周期（频率)）系统的固有周期（频率）。
注意：物体的振动如按照能量是否存在损耗来分可分为阻尼振动（减幅振动）和无阻尼振动（等幅振动）；如按照振动的成因来分可分为自由振动或受迫振动。
4．简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
简谐运动 阻尼振动 受迫振动
条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动 图象 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单 摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来 越弱，是因振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
6．自由振动、受迫振动、共振的比较
自由振动 受迫振动 共振
受力情况 回复力 周期性驱动力作用 周期性驱动 力作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定， 即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或 f驱＝f固
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获 得能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆θ≤10° 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声 音的共鸣等
【题4】关于受迫振动，以下说法中正确的是
A．是在一恒力作用下的振动 B．振动频率可能大于或小于系统的固有频率
C．振动频率一定等于固有频率 D．振动频率一定等于驱动力的频率
【答案】BD
【解析】受迫振动是系统在外界周期性驱动力作用下的振动，驱动力是周期性的，不可能为恒力；系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，这个频率可能大于、等于或小于固有频率，故B、D正确。
【题5】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它们振动的周期为
A．0.5 s　　B．0.25 s C．2 s D．4 s
【答案】B
【解析】匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与原自由上下振动的频率无关。
摇把匀速转动的转速为240 r/min＝4 r/s，角速度ω＝8π rad/s，所以驱动力的周期T＝＝ s＝0.25 s。
知识点三、共振
1．共振的定义：物体做受迫振动时，当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振动的振幅最大，这种现象叫共振。
2．条件：f驱＝f固，即驱动力频率等于系统的固有频率。
3．特征：共振时受迫振动的振幅最大。
4．共振曲线：如图所示。共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响。由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
（1）横轴：表示驱动力的频率；纵轴：表示受迫振动的振幅。
（2）图象的意义：f驱= f固时，振幅有最大值；f驱与 f固差别越大时，振幅越小。
当f＝f0时，受迫振动的振幅最大，由此可知f等于做受迫振动物体的固有频率。
（3）意义：共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响。
5．对共振的理解
（1）从受力角度来看：振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（2）从功能关系来看：当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
【题6】如图所示，两个质量分别为M和m的小球，悬挂在同一根水平细线上，当M在垂直水平细线的平面内摆动时，下列说法正确的是
A．两摆的振动周期是相同的 B．当两摆的摆长相等时，m摆的振幅最大
C．悬挂M的竖直细线长度变化时，m的振幅不变 D．m摆振幅可能超过M摆的振幅
【答案】ABD
【解析】M摆动时，m摆做受迫振动，稳定后，m摆振动周期应等于驱动力的周期，即等于M摆的周期，故选项A正确；当m摆长与M摆长相等时，两者的固有周期相等，而M摆的固有周期就是使m做受迫振动的驱动力周期，可见m摆处于共振状态，选项B正确；M摆长发生变化，就是使m做受迫振动的驱动力周期发生变化，由于m的固有周期不变。这样两个周期差别就发生了变化，因而m的振幅也发生了变化，选项C错误；单摆振动的能量不仅与振幅有关，还跟振动系统的质量有关。
如果M的质量比m的大得多，从M向m传递的能量有可能使m的振幅大于M的振幅，选项D正确。综上所述，正确答案是A、B、D项。
【题7】一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是
①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大
②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小
③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率
④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
A．①　　B．③　　C．①④　D．②④
【答案】
【解析】洗衣机切断电源，波轮转动逐渐慢下来，在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明了此时波轮的频率与洗衣机固有频率相同，发生了共振。此后波轮转速减慢，则f驱【题8】如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B，而用手向下拉振子小球m，放开手后，让小球上下自由振动测得弹簧振子做30次全振动所用的时间是15s；如果匀速转动把手，也可使弹簧振子上下振动。若使把手以转速n＝30r/min匀速转动，当弹簧振子的振动达到稳定后，它的振动周期是_______ s。若要想使弹簧振子的振幅达到最大，则把手的转速应为________r/min。
【答案】2s 120r/min
【解析】受迫振动的特点：f受迫＝f驱，f受迫与固有频率无关，若发生共振则f驱＝f固
T固＝＝0.5s，转速n＝30r/min＝r/s＝0.5r/s
角速度ω＝2πn＝πrad/s，∴T受迫＝＝2s
若使振子振幅达到最大则有，T驱＝T固，即＝0.5则n′＝2r/s＝120r/min
【题9】如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是
A．摆长约为10cmB．发生共振时单摆的周期为1s
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
【答案】D
【解析】由图可知，若单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2s，由T＝2π，可得L≈1m，故A、B错误；若摆长增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C错误，D正确。
5．共振的应用与防止
（1）共振的应用
①采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。
②实例：转速计、共振筛。
（2）共振的防止
①采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。
②实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速。目的都是驱动力的频率远离物体的固有频率。
【特别提醒】①受迫振动的振幅与驱动力频率有关。
②受迫振动的振幅可以不变，但受迫振动的机械能是不守恒的。
③共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。 共振有利时尽量让f接近f0，有害时尽量让f远离f0。
【题10】把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示，筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15s，在某电压下，电动偏心轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的
A．提高输入电压　B．降低输入电压 C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
【答案】AC
【解析】在题设条件下，筛子振动固有周期T固＝s＝1.5s，电动偏心轮的转动周期（对筛子来说是驱动力的周期）T驱＝s＝1.67s，要使筛子振幅增大，就是使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大。
【题11】部队经过桥梁时，规定不许齐步走，登山运动员登雪山时，不许高声叫喊，主要原因是
A．减轻对桥的压力，避免产生回声
B．减少对桥、雪山的冲击力 C．避免使桥发生共振和使雪山发生共振
D．使桥受到的压力更不均匀，使登山运动员耗散能量
【答案】C
【解析】部队过桥时如齐步走，给桥梁施加周期性外力，容易使桥的振动幅度增加，即发生共振，造成桥梁倒塌；登山运动员登高山时高声叫喊，声波容易引发雪山共振而发生雪崩，故应选C。11．5 外力作用下的振动
学习目标：
1．了解阻尼振动、受迫振动、共振的概念。
2．掌握发生共振的条件，了解共振的防止和利用。
重点：1．受迫振动概念的建立。
2．什么是共振及产生共振的条件。
难点：1．物体发生共振决定于驱动力的频率与物体固有频率的关系，与驱动力大小无关。
2．当f＝f＇时，物体做受迫振动的振幅最大。
知识点一、固有振动、阻尼振动
1．固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。
2．固有频率：固有振动的频率。
3．阻尼振动：实际的振动过程中，系统受到了摩擦力和其他阻力，机械能向内能转化是无法避免的，振动过程中机械能不断减小使振动逐渐减弱直至最终停止。这种振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动。
4．对阻尼振动的理解
（1）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼大小有关。阻尼越大，振幅减小得越快。
（2）阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当做简谐运动来处理。
（3）阻尼振动的x–t图象。
（4）振幅减小的快慢与阻力大小有关；当阻力过大时，振动不能发生。
（5）特点：阻尼振动的振幅尽管在减小，但其振动周期（频率）不变，它是由振动系统决定的。振动系统确定后，其振动的周期（频率）就不变，称为固有周期（频率）。例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
【题1】一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能 B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小 D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
【题2】如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能 B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
【题3】一单摆做阻尼振动，则在振动过程中
A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
知识点二、受迫振动
1．驱动力：作用于振动系统的周期性外力。
2．受迫振动：如果系统受到周期性外力（驱动力）的作用就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去，这样的振动称为受迫振动。
3．受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，振幅最大；驱动力的频率跟固有频率相差越大，振幅越小。
5．自由振动：像弹簧振子和单摆那样，物体偏离平衡位置后，它们就在自己的弹力或重力作用下振动起来，这种振动叫做自由振动。
①自由振动不受外界的驱动力作用。②自由振动的周期（频率)）系统的固有周期（频率）。
注意：物体的振动如按照能量是否存在损耗来分可分为阻尼振动（减幅振动）和无阻尼振动（等幅振动）；如按照振动的成因来分可分为自由振动或受迫振动。
4．简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
简谐运动 阻尼振动 受迫振动
条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动 图象 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单 摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来 越弱，是因振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
6．自由振动、受迫振动、共振的比较
自由振动 受迫振动 共振
受力情况 回复力 周期性驱动力作用 周期性驱动 力作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定， 即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或 f驱＝f固
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获 得能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆θ≤10° 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声 音的共鸣等
【题4】关于受迫振动，以下说法中正确的是
A．是在一恒力作用下的振动 B．振动频率可能大于或小于系统的固有频率
C．振动频率一定等于固有频率 D．振动频率一定等于驱动力的频率
【题5】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它们振动的周期为
A．0.5 s　　B．0.25 s C．2 s D．4 s
知识点三、共振
1．共振的定义：物体做受迫振动时，当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振动的振幅最大，这种现象叫共振。
2．条件：f驱＝f固，即驱动力频率等于系统的固有频率。
3．特征：共振时受迫振动的振幅最大。
4．共振曲线：如图所示。共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响。由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
（1）横轴：表示驱动力的频率；纵轴：表示受迫振动的振幅。
（2）图象的意义：f驱= f固时，振幅有最大值；f驱与 f固差别越大时，振幅越小。
当f＝f0时，受迫振动的振幅最大，由此可知f等于做受迫振动物体的固有频率。
（3）意义：共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响。
5．对共振的理解
（1）从受力角度来看：振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（2）从功能关系来看：当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
【题6】如图所示，两个质量分别为M和m的小球，悬挂在同一根水平细线上，当M在垂直水平细线的平面内摆动时，下列说法正确的是
A．两摆的振动周期是相同的 B．当两摆的摆长相等时，m摆的振幅最大
C．悬挂M的竖直细线长度变化时，m的振幅不变 D．m摆振幅可能超过M摆的振幅
【题7】一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是
①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大
②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小
③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率
④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
A．①　　B．③　　C．①④　D．②④
【题8】如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B，而用手向下拉振子小球m，放开手后，让小球上下自由振动测得弹簧振子做30次全振动所用的时间是15s；如果匀速转动把手，也可使弹簧振子上下振动。若使把手以转速n＝30r/min匀速转动，当弹簧振子的振动达到稳定后，它的振动周期是_______ s。若要想使弹簧振子的振幅达到最大，则把手的转速应为________r/min。
【题9】如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是
A．摆长约为10cm B．发生共振时单摆的周期为1s
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
5．共振的应用与防止
（1）共振的应用
①采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。
②实例：转速计、共振筛。
（2）共振的防止
①采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。
②实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变航向或航速。目的都是驱动力的频率远离物体的固有频率。
【特别提醒】①受迫振动的振幅与驱动力频率有关。
②受迫振动的振幅可以不变，但受迫振动的机械能是不守恒的。
③共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。 共振有利时尽量让f接近f0，有害时尽量让f远离f0。
【题10】把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示，筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15s，在某电压下，电动偏心轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的
A．提高输入电压　B．降低输入电压 C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
【题11】部队经过桥梁时，规定不许齐步走，登山运动员登雪山时，不许高声叫喊，主要原因是
A．减轻对桥的压力，避免产生回声
B．减少对桥、雪山的冲击力 C．避免使桥发生共振和使雪山发生共振
D．使桥受到的压力更不均匀，使登山运动员耗散能量

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