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向量在基底下线性表示
向量的线性运算
向量的加法：；向量的减法：；
数乘向量：若点是线段上的点，并且，则。
如图1，点分别是中（靠近）边上的三等分点，已知，，用与表示；
解：利用向量的减法，有；
再利用数乘向量，有，；
所以。
在平行六面体中，已知，，，和表示向量。
解：利用向量的加法原理，有。
考虑，，因此。
当基底的向量是由共同起点的有向线段表示时，可将一个向量转化为这个共同起点的两个向量差向量，再进行运算。
平面分点定理
在教材中，有这么一个定理：三点共线的充要条件是：对于任意不同于点的一点，存在，使得。下面针对这样一个定理进行深入探讨。
结论1：若点是线段的点（不包括端点），为任意一点，则有，并且。
证明：如图3，设，。
，证毕。
特别的，当点是线段的中点时，则有，这个也是教材上较为常用的结论之一
如图4在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点，以为一组基底表示向量。
解：，由结论1可得，
所以。
结论1是定比分点定理的一部分，但是定比分分点定理不易于记忆，可以利用这个较为简洁的结论去替代定比分点定理。
已知向量，为任意一点，以为基底表示向。
显然点在线段上，且。
则由结论1可得，则有。
通过结论1，可以很容易得到
定比分点定理：已知，点为任意一点，则有。
将结论1与向量的线性运算相结合，可以简洁的将一些向量用一组基底表示出来。
如图6，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示。
解：连续应用结论1与向量的线性运算可得
奔驰定理及其推广
点是所在平面上一点，并且，连接并延长交于。求，。
解：由得，
设。
显然，，三点共线，所以在直线上。因为，则点在直线上。则即为点。
因为，所以；
因为，由结论1可得。
与例6的方法类似，并且结合定比分点定理，可以得到以下的结论
结论2：点是所在平面上一点，并且，，连接并延长交于，则有（1）；（2）；
由于等式两边可以同时乘以，因此只写了种情况，这里还不包含的情况，这种情况可以用定比分点定理轻易得出。
结论3（奔驰定理）：点是所在平面上一点，且，，且任意三点不共线，则有。
其中分别是的面积，下同。
证明：如图9，设直线，与直线相交于点，
由结论2可得；
则有，
则，显然；
同理可得；。所以。
若点点在内部，连接后，类似奔驰车标，故戏称为“奔驰定理”，但是结论3中的点可以是平面上任意一点，而结论3的逆命题也是成立的，但是要考虑参数的正负。
结论4：点是所在平面上一点，且任意三点不共线，则有，，并且，实数的正负由如下命题（设为命题1，下同）来判断。
若与的内部点构的的集合（不包含边界）的交集为空集，则，否则；
若与的内部点构的的集合（不包含边界）的交集为空集，则，否则；
若与的内部点构的的集合（不包含边界）的交集为空集，则否则。
证明：不妨令，，，下面分三种情况进行讨论。
如图10，若点在的内部，则设直线与相交于点。
则，所以。
由定比分点定理可得，
易得。所以，
因此，
即。
如图11，设设直线与相交于点。与（1）推导类似，有
；；
即。
易得；；
即。命题得证。
如图所示，向量，，，并且，，，，，
若，求实数的值。
解：；
；
；
由结论4，有，即。
因此，。
教材中有这么一个结论：已知，，是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，在平面内的充要条件是，存在满足的实数，使得。下面将对此结论深入探讨。
结论:5：已知，，，共面的四点，并且任意三点不共线，是空间中任意一点，则，
并且，，，实数的正负可由命题1来进行判断：
证明：由结论4，，并且，，，实数的正负可由命题1来进行判断。参考结论4中的证明，显然有。
则，即，
因此。
已知四棱锥的底面为梯形，，，，若，若点共面，求实数的值。
解：，，，
由结论5，有，
则。
由于四点共面，则，则。
关于交点问题
向量中的交点问题往往通常采用三点共线列方程组求解，或者引平行线进行求解，但是前者计算量太大，后者需要很强的技巧，这里采用了面积法和点工线的方法更为简洁明快。
如图15所示，在中，，，与相交于点，若，求实数和的值。
解：设与相交于点，由题意，
，即，同理，
所以，则由结论1，
而，则，所以，。
当然例9也可以用结论3（奔驰定理）得到。
例10、如图16，在平行四边形中，是边的中点，与交于点，用基底表示向量。
解：显然，，则存在，使得。
设，则。注意到在同一基底下，的相应的系数和为3，所以有，因此。考虑，所以。
例11、如图17，在中，为边的中线，，过点作直线分别交边，于点，，且，，其中，证明：为定值。
解：由题意，，则
由于三点共线，所以有，即。
三空间向量的共面问题
教材上关于三空间向量共面的问题有两个定理
对于向量，若存在实数，满足，则共面。
若向量共面，则当且仅当存在不全为零的实数，使得。
前一个是充分不必要条件，而后一个是充要条件。判断三空间向量是否共面的问题，可以根据以上两个定理，用待定系数法求解。
例12、已知是空间中的一组基底，如果，，，判断向量是否共面。
解：不妨先假定共面，考虑都是非零向量，则存在实数，使得，
即，由空间向量基本定理，可得。
得，带入得，。
但把，代入并不成立，因此假设不成立，不共面。
如果向量用的是坐标表示，则可以用以下结论判断三个向量是否共面。
结论6、对于非零向量，若存在向量，满足条件，，则共面的充要条件是。
证明：当共面时，由于是非零向量，则存在实数，使得。
则，因此。
当时，则假设不共面，则为空间中的一组基底，则存在实数，使得.
显然，，，则，从而，这与矛盾，因此假设命题不成立，共面。
例13、已知向量，，，判断向量是否共面。
解：设向量，其中，并且不全为零，满足，。
则，令，则，，因此。
而，即，由结论6，共面。
对于三空间向量共面的问题，以上是常规方法，当然也可以用如下方法进行判断。
结论7、是空间中的一组基底，向量，，，其中，则向量共面的充要条件是共线。
证明：若共线，则存在不全为零的实数，使得，
而不全为零的实数，使得，则共面。
反之，若共面，则存在不全为零的实数，使得。
即，显然，由于，则。
那么有，由于不全为零，而，则不全为零，因此共线。
结论8、向量均不为零向量，向量，，，
如果向量不共面，则向量也不共面。
如果共面，则一定共面。
证明：（1）（2）互为逆否命题，因此只需证明一个即可，证明（2）。
共面且都不是非零向量。则存在实数，有。
则，，，
显然向量都可以用向量线性表示，则都在所张成的平面上。
结论8是一个充分不必要条件，即如果向量共面，则向量也有可能共面。例如，，，显然共面，但是未必不共面。
例14、是空间中的一组基底，向量，，，若向量共面，求实数的值。
解：，。
若向量不共面，由结论8，则也不共面，则不合题意。
因此共面，由结论7，共线，则，解得。
而当时，有，即，显然共面。因此。
例15、如图18所示，正方体棱长为，，，点是线段上的点，如果四点共面，求长。
解：以点为原点，以、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系。设
则，，，设，。
，，，。
显然，，共面。
由结论8，，，一定共面。
由结论7，，共线，则，解得，所以。
三角形的“五心”
由结论4，很容易得到有关于五心的线性表示。
设的重心为，考虑，且在内部，由结论4：。
设的内心为，考虑，，，为内切圆半径，
所以。由于在内部，由结论4：；
根据正弦定理，也可以写成。
设的旁心为、、，其中为的角分线，、的外角分线的交点，为的角分线，、的外角分线的交点，为的角分线，、的外角分线的交点。
考虑，，，为相应的旁切圆半径，
而且与交集的面积为零，由结论4：；
同理可得：，。
根据正弦定理，有;；
。
设的外心为。
当为锐角三角形时，在内部，而，，。
所以。由结论4：。
当为钝角三角形时，不妨令为钝角，则与的交集的面积为零。
，，。
所以。由结论4：。
当为直角三角形时，不妨令，为中点，则有。
由于，，
显然成立。
综上，。
设非直角三角形的垂心为。
当为锐角三角形时，在内部。
，所以。
同理，，。
所以，由结论4，。
当为钝角三角形时，不妨令为钝角，
，，
，
。
所以。
同理可得。
。
所以。
所以，考虑、与的交集的面积为零。
由结论4，。
综上，。
通过以上的推导，可知总结为以下结论：
结论9、在中，
若是的重心，则有；
若是的内心，则有；
若、、是的旁心，其中为的角分线，、的外角分线的交点，为的角分线，、的外角分线的交点，为的角分线，、的外角分线的交点。则有：
；；。
设的外心为，则有。
的垂心为，且为非直角三角形，则有。

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