资源简介

11.3.2 多边形的内角和
一、学习目标：
1、学会用三角形内角和定理证明多边形的内角和与外角和，能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；
2、掌握多边形内角和的证明方法，并运用内角和解决问题；
3、提高分析、观察能力.
二、学习重难点：
重点：能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式
难点：运用多边形的内角和解决有关问题
探究案
三、教学过程
（一）复习旧知
你还记得三角形内角和是多少度？
（二）问题导入
你知道长方形和正方形内角和是多少吗？
（三）课堂探究
探究一 四边形内角和
任意四边形的内角和是多少度？？
（1）四边形ABCD的内角和是多少？（2）你是怎样求的？
观察下图：可以看出四边形从一个顶点出发，
可以做______条对角线，它们将四边形分成________ 个三角形，所以四边形的内角和为____ 。
结论： 四边形的内角和为____________.
例题解析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
方法总结：
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角____________.
变式训练
如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
探究二 多边形内角和
那么如何求此五边形和六边形的内角和呢 说说你的探索思路？
探究规律：
最终结论___________________________________________________
总结：
1.n边形内角和_______________________
2.已知内角和求几边形___________________________
3.n边形从一个顶点出发的对角线有______________条(n≥3)
4.n边形共有对角线 _____________________ 条(n≥3)
对角线是解决多边形问题的常用辅助线把多边形问题转化为三角形问题
例题解析
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
例3已知n边形的内角和=（n-2）×180°
（1）甲同学说，能取360°；而乙同学说，也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
变式训练
一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
探究三 多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
结论：五边形的外角和等于_________.
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
思考：n边形的外角和又是多少呢？
探究四 正多边形的内角
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
小试牛刀
(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正_______边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是________边形.
随堂检测
1、求下列图形中x的值：
2、一个多边形的内角和是外角和的4倍,这是几边形
3、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,求它的四个内角.
4、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3倍多20度,求这个多边形的边数.
5、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数.
6. 八边形的内角和等于多少度？十边形呢？
7. 已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形的边数？
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
复习巩固
三角形内角和 180°
问题导入
长方形和正方形内角和都是360°
课堂探究
探究一 360°
（1）360° （2）略
1 两 360° 360°
例题解析
例1：解：如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C=180°.
因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °
所以∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
方法总结：
互补.
变式训练
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
探究二 多边形内角和
五边形的内角和180° ×3 = 540°.
六边形的内角和180° ×4 = 720°.
探究规律：
最终结论：n边形内角和等于(n-2)×180 °.
总结：
1. (n-2)×180 °
2.内角和
3. n -3
4. n -2
例题解析
例2 解：设这个多边形边数为n，则
（n-2） 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
例3
（1）解：∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4；
故甲同学说的边数n是4．
（2）解：依题意有
（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
变式训练
解：设此多边形的内角和为x，
则有1125°＜x＜1125°＋180°，
即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
例4解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180° (∠EAB+∠ABC)
=180° ×230°=65°．
探究三 多边形的外角和
问题1：互补
问题2：5×180°=900°
问题3：五边形外角和=5个平角－五边形内角和
=5×180°－(5－2) × 180°
=360 °
结论： 360°.
n边形的外角和360°
每个内角的度数是
每个外角的度数是
小试牛刀
（1）六
（2）正八
随堂检测
1、(1)115度 (2)60度 (3)95度 (4)75度
2、正十边形
3、分别为120o，90 o，45 o，105 o
4、解：设外角为x,则内角为3x+20
x+3x+20=180
x=40
则边数为3600÷400=9
5、解：设第一个多边形边数为x，则第二个多边形为2x
可列：（x-2）*180+(2x-2)*180=1440
解得：x=4
则这两个多边形的边数分别为4和8
6. 八边形：（8－2) ×180°= 1080°
十边形：(10－2) ×180°=1440°
7.解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5
答：这个多边形是五边形。

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