资源简介

12.2.4　三角形全等的判定（HL）
一、学习目标：
1．通过动手画图，探索直角三角形全等的条件；
2．学会用斜边直角边公理判定直角三角形全等；
3. 会综合运用所学全等三角形的判定来解决简单几何证明问题.
二、学习重难点：
重点：会用斜边直角边公理判定直角三角形全等
难点：会综合运用所学全等三角形的判定来解决简单几何证明问题
探究案
三、教学过程
（一）情境引入
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
(1)　你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗
（二）课堂探究
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等
你相信的结论吗？
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°. 再画一个Rt△A B C ，使得∠C = 90°， B C =BC，A B = AB
按照下面的步骤画Rt△A B C
⑴ 作∠MC N=90°;
⑵ 在射线C M上取B C =BC;
⑶ 以B 为圆心,AB为半径画弧，交射线C N于点A ;
⑷ 连接A B .
探索交流
(1) △A B C 就是所求作的三角形吗？
2）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
(3)交流之后，你发现了什么？
想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？
斜边、直角边公理
几何语言：
例题解析：
例1： 如图,AC ⊥BC,BD⊥ AD,AC=BD. 试说明：BC=AD
例2 已知△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，E⊥MN于E，请你添加一个条件使DE=AD+BE成立。
变式训练
如图，点B，E，F，C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB＝DC，BF＝CE，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
思考
到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
练一练
判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形；
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形；
3.两直角边对应相等的两个直角三角形；
4.有两边对应相等的两个直角三角形；
5.一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.
随堂检测
1.如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
2.如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O，则图中全等三角形共有____对．
3．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，欲证OB＝OC，可以先利用“HL”证明_________再利用“ ”证明△AOB≌ 得到OB＝OC.
4.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证： (1)△BED≌△CFD．(2)AE=AF
5.如图，AC＝AD， ∠C＝∠D＝90°，求证： BC＝BD
6. 如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF. 求证：AE=DF.
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
探究案
情境引入
利用卷尺测量每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,如果它们分别对应相等，则这两个直角三角形全等。
课堂探究
两个直角三角形能重合。
这两个三角形全等
归纳总结：
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
几何语言：
∵∠C=∠C′=90°
∴在Rt△ABC和Rt△A B C 中
∴Rt△ABC≌Rt△A B C (HL)
例题解析
例1解: 　∵AC⊥BC,BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴BC=AD　(全等三角形的对应边相等）
例2解：添加DC=BE. 理由如下：
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠BEC=90°
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
∴Rt△ADC≌ Rt△CEB(HL)
∴AD=CE
∵DE=DC+CE
∴DE=AD+BE
变式训练
解：AB∥CD，理由：
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB＝∠DEC＝90°.
在Rt△AFB和Rt△DEC中，
∴Rt△AFB≌Rt△DEC(HL)．
∴∠B＝∠C.
∴AB∥CD
思考
答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
练一练
1、全等 AAS
2、全等 ASA
3、全等 SAS
4、不一定全等
5、不一定全等
随堂检测
1、55°
2、3
3、Rt△ABC≌Rt△DCB AAS △DOC
4、(1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED与Rt△CFD中,
∴ △BED≌△CFD(HL)
（2） ∵ △BED≌△CFD(HL)
∴BE=CF，∠B=∠C
∴AB=AC
∴ AB-BE=AC-CF
∴ AE=AF
5、证明:∵ ∠C＝∠D＝90°
∴ △ABC与△ABD都是直角三角形
在Rt△ABC与Rt△ABD中
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）
∴BC=BD(全等三角形对应边相等）
6、证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴△ABE和△DCF都是直角三角形。
又∵CE=BF,
∴CE－EF=BF－EF,即CF=BE
在Ｒｔ△ABE和Ｒｔ△DCF中
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）
∴AE=DF

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