资源简介

12.3.1 角平分线的性质
一、学习目标：
1．掌握角平分线的做法和角平分线的性质；
2．掌握角平分线在实际生活中的应用；
3. 提高综合运用全等知识解决问题的能力.
二、学习重难点：
重点：掌握角平分线的做法和角平分线的性质
难点：掌握角平分线在实际生活中的应用
探究案
三、教学过程
（一）情境引入
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
（二）课堂探究
探究一：角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
观察领悟作法，探索思考证明方法：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；
②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C；
③作射线OC.
射线OC即为所求．
思考：
为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一写）
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
探究二：角平分线的性质
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
定理
文字语言：
用符号语言表示为：
图形语言：
练一练
判断：
1、∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴BD=CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) （ ）
2、∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴BD=CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) （ ）
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴BD=CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) （ ）
例题解析：
例1：在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.
例2 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3. 求BD的长。
变式训练
如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
（2）求△APB的面积.
（3）求 PDB的周长.
随堂检测
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
2. 2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm， 那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　．
3．△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB
5. .如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM＝CN
6. .如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C.
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
探究案
情境引入
证明： 在△ACD和△ACB中
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
课堂探究
思考：
证明：在△OMC和△ONC中，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC, 即：OC平分∠AOB
探究二：角平分线的性质
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
定理:
文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
练一练
1、×
2、×
3、√
例题解析
例1证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2解：∵AD为∠BAC的平分线，∠C=90°,DE⊥AB,
∴DC=DE=3.
∵BC=7
∴BD=BC-CD=7-3=4.
变式训练
（1）4
（2）由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
·AB·PD=28.
（3）
随堂检测
1、60 BF
2、角平分线 6cm
3、3
4、解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC，∠DEB=∠C=90°.
在△Rt△BED和Rt△FCD中
∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）
∴CF=BE
5、证明：连接EB，EC，
∵DE⊥BC
∴∠EDB=∠EDC=90°.
在△EDB和△EDC中，
∴△EDB≌△EDC（SAS）
∴EB=EC
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC
∴EM=EN
∴Rt△EBM≌Rt△ECN
∴BM=CN
6、证明：延长AD交BC于点F
∵AD⊥BE，∠ADB=∠FDB=90°.
∵BE是角平分线,∴∠ABD=∠FBD
∴△ABD≌△FBD(ASA)
∴∠BFD=∠2
∵∠BFD=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠C

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