资源简介

12.3.2 角平分线的性质
一、学习目标：
1.理解角平分线判定定理；
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题；
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
二、学习重难点：
重点：理解角平分线判定定理
难点：掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题
探究案
三、教学过程
（一）复习巩固
角平分线的性质定理：
几何语言描述：
思考
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
请你写出已知、求证，并证明出来.
归纳
角平分线的判定：
例题解析：
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
变式训练
如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和；
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
归纳总结
随堂检测
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
3.如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
4、如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
5.如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。求证：AM平分∠DAB
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
探究案
复习巩固
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述：
∵ OC 平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE
思考
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线 OP，
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO 和Rt△PEO 中
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
归纳
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
例题解析
例1 解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
例2证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
变式训练
（1）12
（2）连接OC
归纳总结
随堂检测
1、
2、解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵D 到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
3、证明：过点F 作FG⊥AE 于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F 在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F 在∠DAE的平分线上.　
4、
5、证明：过M作ME⊥AD于E.
∵DM平分∠ADC，∴∠B=∠C=90°
∴MC=ME
∵M为BC的中点，∴CM=BM
∴MB=ME
∵∠B=90°,∴MB⊥AB
∵ME⊥AD,ME=MB
∴AM平分∠DAB

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