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13.4 课题学习 最短路径问题
导学案
学习目标：
1．整理你所学过轴对称的有关知识。并写出来；
2、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；
3、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
学习重难点：
重难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题、利用轴对称解决简单的最短路径问题。
合作探究
探究点1：牧人饮马问题（实际问题）:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
想一想：
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
要点归纳：（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗？
证明：
要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
典例精析
例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
探究点2：造桥选址问题
实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
数学问题：
如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
画一画：
（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连. （4）把桥平移到和B相连.
比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？
要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
我的收获
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