资源简介

22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式
第2课时
一、学习目标：
1、会用待定系数法求二次函数的表达式；
2、会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题；
二、学习重难点：
重点：会用待定系数法求二次函数的表达式；
难点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题
探究案
三、教学过程
活动1：小组合作
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式.
例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
②选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式.
③选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.
例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
思考
确定二次函数的三点应满足什么条件？
活动2：探究归纳
（1）已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是：
（2）知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是：
（3）知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
思考
直接观察下面表格，你能猜想出当x=-6 时，该二次函数对应的函数值是多少？
归纳：
求二次函数解析式的一般方法：
随堂检测
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是 。
3. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．
求这个二次函数的表达式．
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
问题1
（1）3个 3个
①解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c
得
解得
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
②解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).（其中x1、x2为交点的横坐标.）因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
③解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得a=-1.
∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
例2 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
思考：
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行y轴.
活动2：探究归纳
（1）①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.
（2）①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
（3）①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
思考
利用二次函数图象的对称性.即由表格信息可知，抛物线的对称轴是直线x=-2,横坐标为2和-6的两点必定是该抛物线上的一对对称点，故可知x=-6与x=2的函数值必定相等.
随堂检测
1.
2. y=-2(x-1)2+6
3. 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
解得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
4. 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5. 解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝×8×7＝28.

展开更多......

收起↑