资源简介

22.2 二次函数与一元二次方程
一、学习目标：
1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；
2、能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解；
3、了解用图象法求一元二次方程的近似根.
二、学习重难点：
重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解；
难点：理解二次函数与一元二次方程之间的联系
探究案
三、教学过程
（一）情境导入
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
（二）问题探究
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：
思考：
二次函数与一元二次方程的关系：
活动内容2：合作探究
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
思考：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例题解析
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
例3 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
归纳：
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
随堂检测
1.根据下列表格的对应值:
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程
-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数
y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
4.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
5.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围_________.
6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，则△ADE与△BCE的面积和为 ．
7.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
问题1 解析：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
问题2 解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
问题3 解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
问题4 0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
思考：
当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程
活动内容2：合作探究
思考：
例题解析
例1：(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
例2解 （1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
（3）由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
例3解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
归纳：
随堂检测
1.C
2.-1
3. (-2，0) (，0)
4.A
5.
6.4
7.（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）2

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