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专题03：实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7人 B．49人 C．121人 D．512人
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有[x+1+(x+1)x]人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：1+x+x(1+x)=64，
整理得，(x+1)2=64，
解得x=7或x= 9(舍去)，
故每轮传染中平均一个人传染了7人，
则经过三轮传染后患流感的人数为：(人)，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解．
2．某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．88（1＋x）2＝24 B．88（1－x）2＝24
C．24（1＋x）2＝88 D．24＋24（1＋x）＋24（1＋x）2＝88
【答案】D
【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，再表示出该口罩厂11月、12月份的口罩的产量，然后再根据等量关系“第四季度的总产量达到88万”列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，则11月份产量为24（1+x），12月份产量为：24（1+x）2，根据题意可列方程为：
24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找准等量关系是正确列出一元二次方程的关键．
3．把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（　　）
A．750cm3 B．1536cm3 C．2000cm3 D．2304cm3
【答案】A
【分析】先设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，列出方程，求出长方形盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算即可．
【详解】解：设剪掉的长方形盒子的高为xcm，根据题意得：
2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）＝550，
整理得：x2+20x﹣525＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣35（不合题意，舍去），
∴40﹣2x＝40﹣2×15＝10，20﹣x＝20﹣15＝5．
∴长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm，
此时长方体纸盒子的体积为：15×10×5＝750（cm3），
∴此时长方体纸盒子的体积为750cm3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积、长方体的体积公式；读懂题意，找到关键描述语，根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
4．某数的一半比这个数的平方的3倍少，设某数为x，某数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题首先用含的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的倍，最后按数量关系列方程即可．
【详解】由已知得：的一半为，的平方的倍为，
则有：．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可．
5．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别表示出涨a元与降b元所获得的利润，由题意即可得关于a、b的等式，化简即可确定．
【详解】涨a元时，每天的利润为元；降b元时，每天的利润为元，则由题意得：=，
即，
∵，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了利润问题的实际应用，根据题意弄懂涨降后的利润与销量是解题的关键．
6．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【答案】D
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
7．岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-1）=28 B．x（x+1）=28
C．2x（x-1）=28 D．x（x-1）=28
【答案】D
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x 1），由此可得出方程．
【详解】设邀请x个队，每个队都要赛（x 1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x 1）＝28，故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
8．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
【答案】A
【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设约用了x秒．
汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，
解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，
∴x=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．
9．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
2 3 4 5 6
5 13
A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5
【答案】D
【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断
【详解】时，，
时，，
则的解的范围为，
即一元二次方程的解大概是4.5．
故选D．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．
10．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x-1）场比赛，则共有 场比赛，可以列出一元二次方程．
【详解】解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．
二、填空题
11．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．
【答案】4
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，
由题意得
解得或（舍去）
所以，每轮传染中平均一个人传染了4人
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城4月份销售自行车100辆，6月份销售了121辆．若该商城2022年4－6月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为________．
【答案】10%
【分析】设商城自行车销量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1＋月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设商城自行车销量的月平均增长率为x，
依题意得：100（1＋x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（不合题意，舍去），
∴商城自行车销量的月平均增长率为10%，
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．
【答案】##
【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出解方程即可．
【详解】解：∵阴影部分的面积为50，
∴
即75=（x+5）2，
解得
∴x的正数解为：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．
14．《念奴娇 赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
【答案】
【分析】根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字+各位数字=个位数字的平方，据此列方程可得答案．
【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，
则根据题意：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元．
【答案】50
【分析】设商场对这种台灯的售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解．
【详解】解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【答案】2或4或
【分析】过点作于点，设时间，根据面积列方程即可求出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
，
，
设经过秒后的面积等于，
则，，，
当点在线段上运动时，，
根据题意：，
，，
当点在的延长线上运动时，，
根据题意：，
，（舍，
故经过2秒或4秒或秒后，的面积等于．
故答案为：2秒或4秒或秒．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是要对分类讨论．
17．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．
【答案】
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__．
【答案】
【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了45场，
，
故答案为．
【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
19．九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学．
【答案】12
【分析】根据题意，设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x 1）本图书，有x名学生，那么总互共送x（x 1）本，根据全组共互赠了132本图书列出方程，继而求解即可得出答案．
【详解】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x 1）本；
则总共送出的图书为x（x 1）；
又知实际互赠了132本图书，
∴x（x 1）＝132．
整理得，
解得（舍去），
∴全组共有12名同学．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x 1）本是解决本题的关键．
20．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．
【答案】4
【分析】设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为场，根据×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：
，
解得：，（舍去）
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
三、解答题
21．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81，再解方程求出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可．
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，得：
1+x+（1+x）x=81
即（1+x）2=81
解得x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去），
所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键．
22．为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业1月份生产9万套防护服，该企业不断加大生产力度，3月份生产达到12.96万套防护服．
(1)求该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率．
(2)若平均增长率保持不变，4月份该企业防护服的产量能否达到16万套？请说明理由．
【答案】(1)该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为
(2)不能达到，理由见解析
【分析】（1）设企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程即可求解；
（2）根据条件算出4月份该企业防护服的产量，即可判断．
（1）
解：设企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为，
由题意可得：，
解得： ，（舍去）
答：该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为；
（2）
解： （万套），
，
4月份该企业防护服的产量不能达到16万套．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据条件列出一元二次方程是解题的关键．
23．某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
【答案】(1)10米
(2)不正确，理由见解析
【分析】（1）设米，则米，根据矩形的面积为200平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）代入可求出的长，由，可求出的长，结合篱笆要全部用完，可求出的长，再利用矩形的面积计算公式，即可求出矩形的面积，将其与比较后即可得出结论．
（1）
解：设米，则米，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：为10米时，矩形的面积为200平方米．
（2）
由（1）可知：．
（米），
（米），
矩形的面积（平方米），，
小明的想法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．根据题意，列出方程：
（1）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
（2）三个连续数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设这个正方形的边长是，根据题意，得，化为一般式即可；
（2）设三个连续整数依次为，根据题意，得，化为一般式即可．
【详解】解：（1）设这个正方形的边长是，
根据题意，得
，
即；
（2）设三个连续整数依次为，
根据题意，得
，
即．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键．
25．某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套．
(1)当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服_________套．（用含x的代数式表示）：
(2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？
(3)商场每天的盈利能否达到3250元？若能，请求出此时每套运动服应降价多少元？若不能，请说明埋由．
【答案】(1)（30+x）
(2)每套运动服应降价30元
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）设每套运动服应降价x元，由每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售 出1套，可知每套运动服每降价1元，商场平均每天可多售出套，则每套运动服降价x元，商场平均每天可多售出套；根据总利润=销售数 量×每套的利润，列方程可求得；
（3）设每套运动服应降价x元，根据题意得到方程（100-x）（30+ ） =3250，整理得：x2-40x+500=0，由于 Δ=1600-2000＜0，于是得到商场每天的盈利不能达到3250元．
（1）
解：当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服（30+）套，
故答案为：（30+）；
（2）
解：设每套运动服应降价x元，由题意得
（100-x）（30+）=3150，
解得：x=10或x=30，
∵扩大销售，增加盈利，减少库存，
∴x=30，
答：每套运动服应降价30元；
（3）
解：设每套运动服应降价x元，根据题意得
（100-x）（30+）=3250，
整理得：x2-40x+500=0，
∵ Δ=1600－2000＜0，
故方程没有实数根，
∴商场每天的盈利不能达到3250元．
【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，属于销售利润问题，理解题意，明确总利润=销售数量×每套的利润是解答的关键．
26．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点同时从点开始沿边向点以的速度移动．
(1)几秒后，的面积等于？
(2)几秒后，的长度等于？
(3)的面积能否等于？
【答案】(1)1秒
(2)2秒
(3)不能，理由见解析
【分析】对于（1），先表示出PB，QB，再根据面积公式，解一元二次方程求出解即可；
对于（2），根据（1）PB，QB的长，再根据勾股定理，解一元二次方程求出解；
对于（3），根据（1）PB，QB的长，结合面积公式，判断方程的根即可得出答案．
（1）
设运动是t秒，可知AP=tcm，BQ=2tcm，得BP=（5-t）cm，根据题意，得
，
即，
解得t=1或t=4（不符合题意，舍去）．
所以1秒时，△PBQ的面积是4cm2；
（2）
由（1）知BQ=2tcm，BP=（5-t）cm，根据勾股定理，得
，
即，
解得t=0（舍去）或t=2．
所以2秒时PQ的长度是5cm；
（3）
由（1）知BQ=2tcm，BP=（5-t）cm，根据题意，得
，
即，
则，
∴，
则原方程无解．
所以△PBQ的面积不能等于8cm2．
【点睛】这是一道关于动点的综合问题，解答此类问题的常用方法是先表示出相应线段的长，再结合公式解答．
27．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
(1)
解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
(2)
依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
28．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟．
(1)
解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70，
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
(2)
解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70，
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．
29．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．
【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．
30．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
(1)求前三季度销售量的平均增长率．
(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①4条；②不能，理由见解析
【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为，根据在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆建立一元二次方程，解方程即可得；
（2）①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆建立方程，解方程即可得；
②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据每季度生产电动汽车达到6万辆建立方程，利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得．
（1）
解：设前三季度销售量的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：前三季度销售量的平均增长率为．
（2）
解：①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，
，
答：应该再增加4条生产线；
②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
此方程根的判别式为，
所以此方程没有实数根，
答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，正确建立方程是解题关键．
31．在平行四边形中，，已知，将沿翻折至，连接交边于点O．
(1)如图，若，求的度数；
(2)若，
①当的长为多少时，四边形是矩形．
②设，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)∠ACB=45°；
(2)①当BC=4时，四边形是矩形；②．
【分析】（1）由题意及平行四边形的性质可得∠ACB=∠ACB'=∠CB'D=∠AB'D ∠AB'C=∠AB'D ∠B=75° 30°=45°；
（2）①由四边形是矩形可得∠BAC=90°或∠BCA=90°，再根据直角三角形的性质和勾股定理可以得到BC的值；
②分别过A、O作BC的垂线，垂足为E和F，然后根据勾股定理和矩形的性质可以得到y与x的关系式．
(1)
∵△ABC沿AC翻折至△AB'C，
∴△ABC≌△AB'C，∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴B'C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB'=∠CAD=，
∴AO=CO．
∴B'O=DO．
∴∠CB'D=∠B'DA=（180°-B'OD），
∵∠AOC=∠B'OD，
∴∠ACB'=∠CB'D，
∴∠ACB=∠CB'D=∠AB'D ∠AB'C=∠AB'D ∠B=75° 30°=45°；
(2)
①若四边形是矩形，如图①，∠BAC=∠B'AC=90°，
在RT△ABC中，设BC=x，则AC=，由勾股定理可得：
即，
解之可得x=4或-4（不符题意，舍去），即BC=4；
②如图②，分别过A、O作BC的垂线，垂足为E和F，
∴四边形OAEF是矩形，
∴OA=EF，
则在RT△OFC中，OC=y，OF=AE=，
由折叠得∠ACB=∠ACO，
由平行四边形得AD∥BC，
则∠OAC=∠ACB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC=y，
∴FC=BC-BE-EF=x-3-y，
由勾股定理可得：，
整理可得：，
∵连接交边于点O，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用、矩形的性质和平行四边形的性质是解题关键．
32．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．
【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
(2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元．
【分析】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
（1）
设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意，
得200（1+x）2=288，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%，
∴200（1+20%）=240（人），
∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
（2）
∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍，
∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人），
设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件，
根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456，
∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，
∴432-a≤3a，
解得：a≥108，
∵-3＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=108时，W最大，最大值为3132，
∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
33．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200；
(2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.
(3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
（1）
解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得
解得
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）
解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x1＝7, x2＝13；
当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）
解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
34．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每干克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
【答案】(1)
(2)元
(3)9元
【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式将x=3代入求出销售量，再根据每千克利润×销售量=总利润列式求解即可；
（3）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．
（1）解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，把（2，120）和（4，140）代入得，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y=10x+100（0＜x＜20）；
（2）解：根据题意得，x=3时销售量，（元），答：当每千克干果降价元时，超市获利元；
（3）解：根据题意得，(60-x-40)(10x+100)=2090；解得：x1=1，x2=9；整理得：x2-10x+9=0为了让顾客获得更大实惠，x=9答：这种干果每千克应降价9元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．
35．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
(2)从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即判别式大于0且二次项系数不为0，求解即可；
（2）方程有实数根，即判别式大于等于0且二次项系数不为0，求解即可．
（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且，即，且，∴且．
（2）若要方程有实数根，则，且；即且，∴给定的5个数字中，－4，－2，0能令方程有实数根，故选取的数字能令方程有实数根的概率为．
【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握两者间的判定条件即可，注意不要遗漏二次项系数不为0这个要素．
36．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．
(1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少；
(2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？
【答案】(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；
(2)4900
【分析】（1）设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据“用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．”列出方程组，即可求解；
（2）设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意，列出方程，即可求解
（1）解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得：，解得：，答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；
（2）解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得：，整理得：，解得：，∵规定每辆车月租金不能超过5000元，∴m=4900，答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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专题03：实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（ ）
A．7人 B．49人 C．121人 D．512人
2．某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．88（1＋x）2＝24 B．88（1－x）2＝24
C．24（1＋x）2＝88 D．24＋24（1＋x）＋24（1＋x）2＝88
3．把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（　　）
A．750cm3 B．1536cm3 C．2000cm3 D．2304cm3
4．某数的一半比这个数的平方的3倍少，设某数为x，某数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨a元与降b元所获得的利润相同，则a与b满足（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
7．岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-1）=28 B．x（x+1）=28
C．2x（x-1）=28 D．x（x-1）=28
8．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
9．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（ ）
2 3 4 5 6
5 13
A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5
10．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．
12．在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城4月份销售自行车100辆，6月份销售了121辆．若该商城2022年4－6月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为________．
13．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．
14．《念奴娇 赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为____．
15．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元．
16．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．
17．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．
18．有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__．
19．九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学．
20．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．
三、解答题
21．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？
22．为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业1月份生产9万套防护服，该企业不断加大生产力度，3月份生产达到12.96万套防护服．
(1)求该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率．
(2)若平均增长率保持不变，4月份该企业防护服的产量能否达到16万套？请说明理由．
23．某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）．
(1)如图1，问为多少米时，矩形的面积为200平方米？
(2)如图2，矩形的面积比（1）中的矩形面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长比图①中矩形的长少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
24．根据题意，列出方程：
（1）有一面积为的长方形，将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
（2）三个连续数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
25．某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套．
(1)当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服_________套．（用含x的代数式表示）：
(2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？
(3)商场每天的盈利能否达到3250元？若能，请求出此时每套运动服应降价多少元？若不能，请说明埋由．
26．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点同时从点开始沿边向点以的速度移动．
(1)几秒后，的面积等于？
(2)几秒后，的长度等于？
(3)的面积能否等于？
27．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
28．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
29．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
30．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
(1)求前三季度销售量的平均增长率．
(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
31．在平行四边形中，，已知，将沿翻折至，连接交边于点O．
(1)如图，若，求的度数；
(2)若，
①当的长为多少时，四边形是矩形．
②设，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围．
32．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．
33．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
34．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每干克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
35．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
(2)从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率．
36．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．
(1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少；
(2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？
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