资源简介

第2节 函数值不等式的解法
内容提要
题干给出函数的解析式或满足的一些性质，让我们去求解像这样的不等式，这是本节要研究的题型，这类题有两个常用解法：
1．画草图，由图解不等式；
2．利用函数的单调性，转化为自变量的不等式来解.
接下来我们通过一系列的例题及变式，逐步给同学们分析这类问题可能的演变方向是怎样的，解题时需要注意哪些方面.
典型例题
【例题】函数是定义在R上的增函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：本题没有任何陷阱，直接利用单调性将转化为自变量的不等式求解即可，
因为在R上，所以，解得：.
【变式1】定义在上的函数满足，且，则实数x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：和上一题相比，有了定义域的限制，则必须增加考虑x和满足定义域的要求，
由题意，在上，所以等价于，解得：.
【变式2】已知函数，若，则实数x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：本题没有直接给单调性，而是给的解析式，若将和代入解析式，则讨论的情况较多，所以先判断单调性，用单调性来解不等式是较好的做法，
易得在上，在上，和都，所以也，
在间断点处，左侧函数值，右侧极限值，
所以的大致图象如图，由图可知在R上，所以.
【反思】无论题干是否给出解析式，在求解与有关的函数值不等式时，都应首先考虑单调性，这是比较优越的解法.
【变式3】函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，则实数x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：x和不一定在上，可根据偶函数满足，将它们化到上来，
因为是偶函数，所以，（这个不等式也可以理解成立y轴越远的自变量，对应的函数值越大，如图）
又在上，所以，故，解得：.
【反思】偶函数有关的函数值不等式中，常根据，在自变量上加绝对值，将自变量全部化到上进行考虑.
【变式4】设，则使成立的x的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：是定义在R上的偶函数，（此处一定要看出是偶函数）
接下来判断y轴右侧的单调性，要求导吗？求导较为麻烦，此处拆分分析比较方便，
当时，，而和都，所以在上，
从而，故.
【变式5】已知函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：本题仍可先判断的单调性，但此处函数较为复杂，需求导判断，
由题意，，所以在R上，
从而等价于，解得：.
【变式6】已知函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：，右侧有个负号，怎么办呢？
观察发现为奇函数，所以负号可以拿到括号里面，下面先证明为奇函数，
由题意，，
所以是奇函数，从而，
因为，所以在R上，
故等价于，解得：.
【反思】当我们看到这种结构的函数值不等式时，一定要看看是否为奇函数，若是，则可以移项结合奇函数转化为这种结构，再借助单调性来求解.
强化训练
1．（2017·新课标Ⅰ卷·★★）奇函数在R上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：为了利用单调性解不等式，先把原不等式中的和1也化成的某个函数值，
因为为奇函数且，所以，从而即为，
结合在R上可得，故.
2．（2022·贵阳模拟·★★）定义在上的函数满足，，都有，且，则实数a的取值范围为 .
答案：
解析：由题意，是定义在上的减函数，所以，解得：.
3．（2022·湖北五校联考·★★★）已知函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：由题意，的大致图象如图所示，由图可知在R上，
所以，从而，将看成，移项分解因式，
故，因为，所以，解得：.
4．（2021·德阳期末·★★★）已知偶函数在上单调递减，则满足的x的取值范围是 .
答案：
解析：因为为偶函数，所以，
又在上，所以，解得：或.
5．（★★★）设函数，则使得成立的x的取值范围是 .
答案：
解析：此处给了一个较为复杂的解析式，应该从研究的性质入手，先求函数的定义域，
分子应满足，故，此时分母可化为，所以，
从而的定义域为，且，（研究出定义域，解析式也简化了）
，所以函数的草图如图，
显然为偶函数，且在上，所以，
从而或，解得：或.
6．（★★★）定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则的解集是 .
答案：
解析：是偶函数的图象关于y轴对称，
而的图象可由的图象向左平移2个单位得到，所以的图象关于直线对称，
因为在上，所以的草图如图所示，
由图可知的图象上离对称轴越远的点，其函数值越大，可将和的大小关系翻译成自变量和x离的远近，从而等价于，解得：.
7．（2022·广东模拟·★★★）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：不等式左侧是两项之积，可讨论x的正负，并将其约掉，化简后再解，
由题意，函数的大致图象如图所示，显然是不等式的解；
当时，或，解得：或，故；
当时，或，解得：或，故；
综上所述，满足的x的取值范围为.
8．（2021·烟台模拟·★★★）已知函数，若，则x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：为奇函数，在R上，
而，
所以即为，也即，从而，故.
9．（★★★）（多选）已知函数，实数m、n满足不等式，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：AC
解析：为奇函数，
是R上的增函数，
所以，
又是增函数，所以等价于，故，
A项，由知，所以，故A项正确；
B项，，由本题的条件可判断出，
但m和的符号无法判断，所以不一定成立，故B项错误；
C项，，故C项正确；
D项，取，，显然满足，此时，故D项错误.
10．（★★★★）已知函数，则不等式的解集是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：看到这种结构，猜想为奇函数，移项后才能将负号拿到括号里面，利用单调性求解，所给函数解析式较复杂，可拆成和分别研究奇偶性和单调性，
设，，则，
显然，所以为奇函数，在R上，
又，所以为奇函数，
在上，显然随着x的增大而增大，所以在上，
结合奇函数图象的对称性知在R上，从而是奇函数且在R上，
故，解得：.
【反思】①函数是定义在R上的奇函数，熟悉这一结论对解题有帮助；②奇函数若在上，则它必定在R上.模块一 函数的概念与性质
基础知识回顾
一、函数的三要素
1．定义域：自变量x的取值集合，若不作特别规定，定义域是使得函数的解析式有意义的x的取值集合.
2．对应关系：将自变量x对应到函数值y的方法，对于有解析式的函数，解析式就是该函数的对应关系.
3．值域：函数值y的取值集合.
二、函数的单调性
1．函数的单调性：一般地，设函数的定义域是I，区间，如果，当时，都有，那么就称在区间D上单调递增；如果，当时，都有，那么就称在区间D上单调递减.
2．函数单调性的等价定义方法：且，若或，则在区间D上单调递增；若或，则在区间D上单调递减.
3．函数的最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1），都有；（2），使得；
那么，我们称M是函数的最大值.
4．函数的最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1），都有；（2），使得；
那么，我们称m是函数的最小值.
5．若函数和在区间D上具有单调性，则：
（1）若C为常数，则函数与函数有相同的单调性.
（2）在区间D上，若，则与单调性相同；若，则与单调性相反.
（3）若，则与单调性相同.
（4）若和单调性相同，则的单调性与它们也相同.
（5），，且和单调性相同，则的单调性与它们也相同.
6．复合函数的单调性：同增异减
三、函数的奇偶性
1．奇函数的性质
（1）定义域关于原点对称；（2）；（3）图象关于原点对称；若处有定义，则.
2．偶函数的性质
（1）定义域关于原点对称；（2）满足；（3）图象关于y轴对称.
3．常见的几个奇函数
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
4．加减法结论：奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数非奇非偶函数.
5．乘除法结论：
（1）奇函数奇函数偶函数；奇函数偶函数奇函数；偶函数偶函数偶函数.
（2）奇函数奇函数偶函数；奇函数偶函数奇函数；偶函数偶函数偶函数.
6．无论是什么函数，函数和都是偶函数.
7．若是奇函数或者偶函数，则函数是偶函数.
8．多项式函数的奇偶性：
（1）当且仅当时，为奇函数；（2）当且仅当时，为偶函数.
四、周期性
一般地，设函数的定义域为D，若存在，使得，都有，则称是以T为周期的周期函数.
五、对称性
对称性有关知识点，请参考本模块第4节，抽象函数问题.
第1节 函数概念
内容提要
这一节主要涉及求定义域、求解析式、求一些常见函数的值域这三类问题.
1．求定义域
（1）偶次方根：如，，，…，根号下的数非负，即；
（2）对数：，真数大于0，即；
（3）分式：如，分母不为0，即；
（4）零次方：中；
（5）正切：中；
（6）抽象函数求定义域：①定义域永远指自变量x的取值集合；②“括号范围恒不变”.
2．求解析式
（1）换元法：已知的解析式，求的解析式.
（2）待定系数法：已经给出函数类型，可用待定系数法求解析式.
（3）方程法：题干给出与，或与的关系式，可构造新方程，联立求解得出解析式.
3．求值域：图象法、同除法、换元法、判别式法等.
典型例题
【例1】函数的定义域为 .
答案：
解析：由解得：且，所以的定义域为.
【反思】函数的定义域一定要写成区间或集合的形式.
【变式1】函数的定义域为 .
答案：
解析：由解得：且，所以的定义域为.
【变式2】若的定义域为，则函数的定义域为 .
答案：
解析：定义域指的是自变量x的取值集合，的定义域为，
抽象函数定义域遵循括号范围恒不变原则，所以在中，有，解得：，
故的定义域为.
【反思】抽象函数的定义域问题抓住两点：①定义域永远指自变量x的取值集合；②“括号范围恒不变”.
【变式3】若的定义域为，则函数的定义域为 .
答案：
解析：定义域指的是自变量x的取值集合，的定义域为在中，，
所以，即的括号的范围是，括号范围恒不变，所以的定义域为.
【例2】已知，则 .
答案：
解析：先将括号里的整体换元，令，则，
所以，故.
【反思】已知函数的解析式求的解析式：①令，则可化为，②由反解出x，用t表示，代入所给函数的右侧，从而求得；③由研究t的取值范围，得到的定义域；④将的自变量t换回成x，得到.
【例3】已知是一次函数，且，则 .
答案：或
解析：已知了函数类型，用待定系数法求解析式，设，
则，即，
所以，解得：或，所以或.
【反思】若已知的函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）求的解析式，可直接设其解析式，运用待定系数法求解.
【例4】已知函数满足，则 .
答案：
解析：看到和在同一个式子中，将x换成，再构造一个函数方程，
在中将x换成可得，所以，
得：，整理得：.
【例5】函数的最小值为 .
答案：1
解析：由题意，，当且仅当时取等号，所以.
【变式1】函数的最大值为 .
答案：
解析：由题意，，当且仅当时取等号，所以.
【变式2】函数的最小值为 .
答案：3
解法1：像这种型的分式函数，可令一次函数部分为t，
令，则，，所以，
当且仅当，即时取等号，此时，故函数的最小值为3.
解法2：也可把函数的解析式看成关于x的方程，将方程变形，利用判别式研究y的最值，
将变形成，整理得： ①，
将式①看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：或，
我们要求的是y的最小值，所以先用x的范围把这一段舍掉，
因为，所以，，从而，故，接下来验证y可以等于3，
注意到当时，，所以函数的最小值为3.
【变式3】函数的最大值为 .
答案：
解法1：像这种型的分式函数，可令一次函数部分为t，再分子分母同除以t，
令，则，，所以，
当且仅当，即时取等号，此时，故函数的最大值为.
解法2：也可把函数的解析式看成关于x的方程，将方程变形，利用判别式研究y的最值，
将变形成，整理得： ①，
当时，把①看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：，
要得出y的最大值是，还需要验证等号能成立，
注意到当时，，所以函数的最大值为.
【变式4】函数的最小值为 .
答案：
解法1：型的分式函数，可以通过拆项把分子化为一次函数，将问题化归成变式1的类型，
由题意，，
令，则，，且，
当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.
解法2：将变形成，整理得：，
当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，
其判别式，解得：，
要得出y的最小值为，还需要验证等号能成立，
注意到当时，，所以函数的最小值为.
【变式5】函数的最大值为 .
答案：
解析：此处虽不是，但可以把分子的看成一次的，故将其换元成t，
设，则，，且，
当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.
强化训练
1．（2021·烟台期末·★）函数的定义域为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（2022·临潼一模·★）已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．（2021·遂宁期末·★★）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（2022·安徽四校联考·★★）已知的定义域为，且，则 .
5．（2021·德州模拟·★★）函数的值域是 .
6．（2022·湖北模拟·★★）函数在上的最小值为 .
7．（2022·辽宁模拟·★★★）函数的值域为 .
8．（2022·北京西城二模·★★★）若函数的定义域和值域的交集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．（2021·江苏模拟·★★★）函数的最大值为 .
10．（2021·广西三校联考·★★★）函数的最小值为 .第3节 基于奇函数的一个常考小结论
内容提要
我们知道，若为奇函数，则对定义域内的任意实数x恒成立，那么设，则，特别地，. 基于这一小结论命制的高考真题较为常见.
典型例题
【例题】已知为奇函数，，，则 .
答案：
解析：由题意，，所以，故，
即，所以.
【变式1】设函数，若，则 .
答案：
解析：设，则为奇函数，
因为，所以，故.
【变式2】（2018·新课标Ⅲ卷）已知函数，，则 .
答案：
解析：若能识别出这个部分是奇函数，那就好办了，下面先证明一下，
设，则为奇函数，
而，所以，故.
【反思】是高考比较常见的一个奇函数.
【变式3】已知函数，，则（ ）
（A） （B） （C）3 （D）4
答案：C
解析：只要发现为奇函数，以及和相反，剩下的就跟变式2一样了，
设，则
，所以是奇函数，
又，所以，因为，
所以，故.
【变式4】已知函数的最大值为M，最小值为m，则 .
答案：2
解析：观察可得的最值不好求，所以不去求最值，的分子分母有相同的部分，可以拆分，
化为，其中这个部分为奇函数，从而可以利用对称性来求，
，显然是奇函数，所以的图象关于点对称，
故的图象上的最大值和最小值的两个点A和B也关于对称，如图，由图可知.
【反思】若为奇函数，，且存在最大值M和最小值m，则.
强化训练
1．（★★）设为定义在R上的奇函数，，，则 .
答案：0
解析：为奇函数且.
2．（2022·乐山模拟·★★）设，若，则 .
答案：0
解析：为奇函数.
3．（2021·成都模拟·★★★）若函数的最大值为M，最小值为m，则 .
答案：2
解析：显然的最值不好求，所以将拆项，利用对称特性解题，
由题意，，其中为奇函数，
所以.
4．（★★★）若函数的最大值为M，最小值为m，且，则 .
答案：2
解析：将拆项，利用对称特性可求出，由题意，，
其中为奇函数，所以，故.模块一 函数的概念与性质
基础知识回顾
一、函数的三要素
1．定义域：自变量x的取值集合，若不作特别规定，定义域是使得函数的解析式有意义的x的取值集合.
2．对应关系：将自变量x对应到函数值y的方法，对于有解析式的函数，解析式就是该函数的对应关系.
3．值域：函数值y的取值集合.
二、函数的单调性
1．函数的单调性：一般地，设函数的定义域是I，区间，如果，当时，都有，那么就称在区间D上单调递增；如果，当时，都有，那么就称在区间D上单调递减.
2．函数单调性的等价定义方法：且，若或，则在区间D上单调递增；若或，则在区间D上单调递减.
3．函数的最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1），都有；（2），使得；
那么，我们称M是函数的最大值.
4．函数的最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1），都有；（2），使得；
那么，我们称m是函数的最小值.
5．若函数和在区间D上具有单调性，则：
（1）若C为常数，则函数与函数有相同的单调性.
（2）在区间D上，若，则与单调性相同；若，则与单调性相反.
（3）若，则与单调性相同.
（4）若和单调性相同，则的单调性与它们也相同.
（5），，且和单调性相同，则的单调性与它们也相同.
6．复合函数的单调性：同增异减
三、函数的奇偶性
1．奇函数的性质
（1）定义域关于原点对称；（2）；（3）图象关于原点对称；若处有定义，则.
2．偶函数的性质
（1）定义域关于原点对称；（2）满足；（3）图象关于y轴对称.
3．常见的几个奇函数
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
4．加减法结论：奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数非奇非偶函数.
5．乘除法结论：
（1）奇函数奇函数偶函数；奇函数偶函数奇函数；偶函数偶函数偶函数.
（2）奇函数奇函数偶函数；奇函数偶函数奇函数；偶函数偶函数偶函数.
6．无论是什么函数，函数和都是偶函数.
7．若是奇函数或者偶函数，则函数是偶函数.
8．多项式函数的奇偶性：
（1）当且仅当时，为奇函数；（2）当且仅当时，为偶函数.
四、周期性
一般地，设函数的定义域为D，若存在，使得，都有，则称是以T为周期的周期函数.
五、对称性
对称性有关知识点，请参考本模块第4节，抽象函数问题.
第1节 函数概念
内容提要
这一节主要涉及求定义域、求解析式、求一些常见函数的值域这三类问题.
1．求定义域
（1）偶次方根：如，，，…，根号下的数非负，即；
（2）对数：，真数大于0，即；
（3）分式：如，分母不为0，即；
（4）零次方：中；
（5）正切：中；
（6）抽象函数求定义域：①定义域永远指自变量x的取值集合；②“括号范围恒不变”.
2．求解析式
（1）换元法：已知的解析式，求的解析式.
（2）待定系数法：已经给出函数类型，可用待定系数法求解析式.
（3）方程法：题干给出与，或与的关系式，可构造新方程，联立求解得出解析式.
3．求值域：图象法、同除法、换元法、判别式法等.
典型例题
【例1】函数的定义域为 .
答案：
解析：由解得：且，所以的定义域为.
【反思】函数的定义域一定要写成区间或集合的形式.
【变式1】函数的定义域为 .
答案：
解析：由解得：且，所以的定义域为.
【变式2】若的定义域为，则函数的定义域为 .
答案：
解析：定义域指的是自变量x的取值集合，的定义域为，
抽象函数定义域遵循括号范围恒不变原则，所以在中，有，解得：，
故的定义域为.
【反思】抽象函数的定义域问题抓住两点：①定义域永远指自变量x的取值集合；②“括号范围恒不变”.
【变式3】若的定义域为，则函数的定义域为 .
答案：
解析：定义域指的是自变量x的取值集合，的定义域为在中，，
所以，即的括号的范围是，括号范围恒不变，所以的定义域为.
【例2】已知，则 .
答案：
解析：先将括号里的整体换元，令，则，
所以，故.
【反思】已知函数的解析式求的解析式：①令，则可化为，②由反解出x，用t表示，代入所给函数的右侧，从而求得；③由研究t的取值范围，得到的定义域；④将的自变量t换回成x，得到.
【例3】已知是一次函数，且，则 .
答案：或
解析：已知了函数类型，用待定系数法求解析式，设，
则，即，
所以，解得：或，所以或.
【反思】若已知的函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）求的解析式，可直接设其解析式，运用待定系数法求解.
【例4】已知函数满足，则 .
答案：
解析：看到和在同一个式子中，将x换成，再构造一个函数方程，
在中将x换成可得，所以，
得：，整理得：.
【例5】函数的最小值为 .
答案：1
解析：由题意，，当且仅当时取等号，所以.
【变式1】函数的最大值为 .
答案：
解析：由题意，，当且仅当时取等号，所以.
【变式2】函数的最小值为 .
答案：3
解法1：像这种型的分式函数，可令一次函数部分为t，
令，则，，所以，
当且仅当，即时取等号，此时，故函数的最小值为3.
解法2：也可把函数的解析式看成关于x的方程，将方程变形，利用判别式研究y的最值，
将变形成，整理得： ①，
将式①看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：或，
我们要求的是y的最小值，所以先用x的范围把这一段舍掉，
因为，所以，，从而，故，接下来验证y可以等于3，
注意到当时，，所以函数的最小值为3.
【变式3】函数的最大值为 .
答案：
解法1：像这种型的分式函数，可令一次函数部分为t，再分子分母同除以t，
令，则，，所以，
当且仅当，即时取等号，此时，故函数的最大值为.
解法2：也可把函数的解析式看成关于x的方程，将方程变形，利用判别式研究y的最值，
将变形成，整理得： ①，
当时，把①看成关于x的一元二次方程，其判别式，解得：，
要得出y的最大值是，还需要验证等号能成立，
注意到当时，，所以函数的最大值为.
【变式4】函数的最小值为 .
答案：
解法1：型的分式函数，可以通过拆项把分子化为一次函数，将问题化归成变式1的类型，
由题意，，
令，则，，且，
当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为.
解法2：将变形成，整理得：，
当时，将该方程看成关于x的一元二次方程，
其判别式，解得：，
要得出y的最小值为，还需要验证等号能成立，
注意到当时，，所以函数的最小值为.
【变式5】函数的最大值为 .
答案：
解析：此处虽不是，但可以把分子的看成一次的，故将其换元成t，
设，则，，且，
当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.
强化训练
1．（2021·烟台期末·★）函数的定义域为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：由题意，，解得：或.
2．（2022·临潼一模·★）已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：设，则，，所以.
3．（2021·遂宁期末·★★）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：的定义域为，
括号范围恒不变，所以，从而，故的定义域是.
4．（2022·安徽四校联考·★★）已知的定义域为，且，则 .
答案：
解析：在中将x换成可得，所以，
得：，整理得：.
5．（2021·德州模拟·★★）函数的值域是 .
答案：
解析：将指数部分换元成t，令，则，且，
因为，所以，从而，故的值域是.
6．（2022·湖北模拟·★★）函数在上的最小值为 .
答案：1
解法1：设，则，因为，所以，
且，
当且仅当，即时取等号，此时，所以函数在上的最小值为1.
解法2：将变形成，整理得： ①，
将式①看成关于x的一元二次方程，则其判别式，解得：或，
因为，所以，，从而，故，
注意到当时，，所以函数在上的最小值为1.
7．（2022·辽宁模拟·★★★）函数的值域为 .
答案：
解法1：先将分子的平方项按分母的形式配凑，拆项化为的结构，
由题意，，下面将x除到分母上，先考虑的情形，
当时，；当时，，易求得或，
所以或，从而或，所以或，
综上所述，函数的值域为.
解法2：，整理得： ①，
当时，；当时，方程①可以看成关于x的一元二次方程，
其判别式，解得：，
综上所述，函数的值域为.
8．（2022·北京西城二模·★★★）若函数的定义域和值域的交集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解析：由题意，的定义域是，下面求的值域，在两段上分别考虑，
当时，，因为，所以在上的值域为；
此时要使的定义域和值域交集为空集，则，
下面再考虑第二段的值域，要讨论a和对称轴的位置关系，
当时，在上的值域为，
要使定义域与的交集为空集，应有，解得：或，故，
当时，在上的值域为，此时的定义域和值域交集不为空集，不合题意，
综上所述，实数a的取值范围是.
9．（2021·江苏模拟·★★★）函数的最大值为 .
答案：
解析：设，则，且，
当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为.
10．（2021·广西三校联考·★★★）函数的最小值为 .
答案：
解析：解析式中分母这部分最复杂，将其整体换元，设，则，，
所以，
当且仅当，即时取等号，从而函数的最小值为.第4节 抽象函数问题
内容提要
1．轴对称：如果函数满足若，就有，则的图象关于直线对称.
记法：自变量关于a对称，函数值相等，如图1.
2．中心对称：若函数满足若，就有，则关于点对称.
记法：自变量关于a对称，函数值关于b对称，如图2.
3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x系数相反是对称，x系数相同是周期）
或 关于直线对称（当时，即为偶函数，关于y轴对称）
关于直线对称
关于对称（当时，即为奇函数，关于原点对称）
关于点对称
4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：
（1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.
（2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.
（3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.
5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）
（1）若存在导函数，且有对称中心，则必有对称轴. 特别地，若为奇函数，则为偶函数.
（2）若存在导函数，且有对称轴，则必有对称中心. 特别地，若为偶函数，则为奇函数.
（3）若有对称中心，则不一定有对称轴；但若，则一定有对称轴. 特别地，若为奇函数，则必为偶函数.
（4）若有对称轴，则必有对称中心. 特别地，若是偶函数，则不一定是奇函数，只能关于对称，但b不一定是0.
典型例题
【例1】已知函数满足，且在上为增函数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：的图象关于直线对称，所以，
因为，且在上为增函数，所以，从而.
【反思】本题的关键是由识别出的对称性.
【变式1】已知函数满足，且在上为增函数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：关于点对称，又在上，所以的草图如图，
由图可知在R上，所以.
【反思】本题只需由识别出的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.
【变式2】已知函数满足，若函数有3个不同的零点、、，则 .
答案：3
解析：看到，马上想到的图象关于对称，
而要研究的零点，可以分离一下，再作图看交点，，
函数没给解析式，只能从对称的角度来看，
由于和的图象也都于对称，故它们的交点关于直线对称，如图，
设，则必有且，故.
【变式3】已知函数满足，若，则 .
答案：0
解析：，所以的图象关于点对称，
而，，，这几个函数值中，和3关于1对称，0和2关于1对称，
所以和有关系，和有关系，抓住这点就可以求了，
在中取可得，所以，
取可得，所以，故，
又，所以.
【例2】偶函数的图象关于直线对称，，则 .
答案：3
解析：由题意，有对称轴和，所以的周期为4，故.
【反思】对称轴对称轴周期，周期为对称轴之间距离的2倍.
【变式1】偶函数满足，且，则 .
答案：0
解析：由题意，关于点对称，
又为偶函数，所以关于y轴对称，从而的周期为4，故，
在取可求得，所以.
【反思】对称轴对称中心周期，周期为二者之间距离的4倍.
【变式2】（2018·新课标Ⅱ卷）若是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
（A） （B）0 （C）2 （D）50
答案：C
解法1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，
因为是奇函数，且，所以，故，
所以，即是以4为周期的周期函数，故，
接下来还需计算和，不能只由周期来求，要结合奇函数满足这个隐含条件，
在中取知，
又，所以，
故
.
解法2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，
为奇函数有对称中心坐标原点，有对称轴，
既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合，可取，
此时不难发现周期为4，，，，
所以
.
【变式3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解法1：先由题干的条件推导的对称性情况，是偶函数关于直线对称，
题干给出是奇函数，这个条件怎么翻译？
实际上，它和为奇函数效果一样，都能得出关于点对称，理由如下，
设，则是奇函数，所以，即，
从而，令，则，故，
所以关于点对称，从而周期为4，且，
又的图象关于对称，所以，故，选B.
解法2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，
由题意，是偶函数，所以 ①，
又是奇函数，所以 ②，
在②中取得，所以，
已经得到一个等于0的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，
为了在式①中构造出，取得，故，
选项中还是没有，所以又结合式②继续推理，为了构造出，
在②中取得，所以选B.
【反思】若的图象关于点对称，且在处有定义，则必有.
【变式4】定义在R上的奇函数满足，当时，，则 .
答案：
解析：由题意，有对称中心和，故其周期为2，所以.
【反思】若有位于同一水平线上的两个对称中心，则为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.
【例3】已知是函数的导函数，若为偶函数，且在点处的切线方程为，则 .
答案：1
解析：为偶函数的图象关于直线对称，
又在处的切线方程为，所以，，
因为的图象关于直线对称，所以，（关于对称的位置函数值相等）
且（关于对称的位置的切线也关于对称，斜率相反，如图），故.
【变式1】已知是函数的导函数，为奇函数，设，，且，则 .
答案：2
解析：先利用已知条件推出的对称性、周期性，再画草图看函数值，
为奇函数关于点对称，所以，又，所以，如图，
关于对称关于直线对称，
所以周期为4，且，，从而，
故
.
【变式2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：BC
解析：先把已知的，均为偶函数翻译一下，可以翻译成和的对称性，
为偶函数的图象关于直线对称，
为偶函数的图象关于直线对称的图象关于点对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用的对称性反推的对称性，否则无法求解此题）
所以是以2为周期的周期函数（双对称周期结论），故也是以2为周期的周期函数，
A项，，而的值无法确定，故A项错误；
B项，周期为2，因为的图象关于直线对称，所以必是的极值，
从而，故，所以，故B项正确；
C项，的图象关于直线对称，故C项正确；
D项，周期为2，又的图象关于直线对称，所以的图象在和处的切线斜率互为相反数，从而，所以，故D项错误.
强化训练
1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数满足，且在上为减函数，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．（2022·甘肃模拟·★★★）定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
（A） （B） （C）2 （D）8
3．（2021·湖北模拟·★★★）（多选）设是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ）
（A）是周期函数，且周期为2
（B）的最大值是1，最小值是
（C）在上单调递减，在上单调递增
（D）当时，
4．（★★★）若是定义域为R的奇函数，，若，则 .
5．（★★★）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ）
（A）0 （B）5 （C）10 （D）15
6．（2022·四川模拟·★★★）奇函数满足，若当时，，则函数的零点个数为 .
7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数满足，当时，，则函数的所有零点之和为（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
8．（★★★）已知是函数的导函数，若为奇函数，且在点处的切线方程为，则 .
9．（★★★★）已知是函数的导函数，若和均为奇函数，且，则 .
10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，. 若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数，的定义域均为R，且，. 若的图象关于直线对称，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数的定义域为R，且，，则（ ）
（A） （B） （C）0 （D）1第2节 函数值不等式的解法
内容提要
题干给出函数的解析式或满足的一些性质，让我们去求解像这样的不等式，这是本节要研究的题型，这类题有两个常用解法：
1．画草图，由图解不等式；
2．利用函数的单调性，转化为自变量的不等式来解.
接下来我们通过一系列的例题及变式，逐步给同学们分析这类问题可能的演变方向是怎样的，解题时需要注意哪些方面.
典型例题
【例题】函数是定义在R上的增函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：本题没有任何陷阱，直接利用单调性将转化为自变量的不等式求解即可，
因为在R上，所以，解得：.
【变式1】定义在上的函数满足，且，则实数x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：和上一题相比，有了定义域的限制，则必须增加考虑x和满足定义域的要求，
由题意，在上，所以等价于，解得：.
【变式2】已知函数，若，则实数x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：本题没有直接给单调性，而是给的解析式，若将和代入解析式，则讨论的情况较多，所以先判断单调性，用单调性来解不等式是较好的做法，
易得在上，在上，和都，所以也，
在间断点处，左侧函数值，右侧极限值，
所以的大致图象如图，由图可知在R上，所以.
【反思】无论题干是否给出解析式，在求解与有关的函数值不等式时，都应首先考虑单调性，这是比较优越的解法.
【变式3】函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，则实数x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：x和不一定在上，可根据偶函数满足，将它们化到上来，
因为是偶函数，所以，（这个不等式也可以理解成立y轴越远的自变量，对应的函数值越大，如图）
又在上，所以，故，解得：.
【反思】偶函数有关的函数值不等式中，常根据，在自变量上加绝对值，将自变量全部化到上进行考虑.
【变式4】设，则使成立的x的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：A
解析：是定义在R上的偶函数，（此处一定要看出是偶函数）
接下来判断y轴右侧的单调性，要求导吗？求导较为麻烦，此处拆分分析比较方便，
当时，，而和都，所以在上，
从而，故.
【变式5】已知函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：本题仍可先判断的单调性，但此处函数较为复杂，需求导判断，
由题意，，所以在R上，
从而等价于，解得：.
【变式6】已知函数，若，则实数x的取值范围为 .
答案：
解析：，右侧有个负号，怎么办呢？
观察发现为奇函数，所以负号可以拿到括号里面，下面先证明为奇函数，
由题意，，
所以是奇函数，从而，
因为，所以在R上，
故等价于，解得：.
【反思】当我们看到这种结构的函数值不等式时，一定要看看是否为奇函数，若是，则可以移项结合奇函数转化为这种结构，再借助单调性来求解.
强化训练
1．（2017·新课标Ⅰ卷·★★）奇函数在R上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．（2022·贵阳模拟·★★）定义在上的函数满足，，都有，且，则实数a的取值范围为 .
3．（2022·湖北五校联考·★★★）已知函数，若，则实数x的取值范围为 .
4．（2021·德阳期末·★★★）已知偶函数在上单调递减，则满足的x的取值范围是 .
5．（★★★）设函数，则使得成立的x的取值范围是 .
6．（★★★）定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则的解集是 .
7．（2022·广东模拟·★★★）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围为（ ）
8．（2021·烟台模拟·★★★）已知函数，若，则x的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．（★★★）（多选）已知函数，实数m、n满足不等式，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．（★★★★）已知函数，则不等式的解集是（ ）
（A） （B） （C） （D）第4节 抽象函数问题
内容提要
1．轴对称：如果函数满足若，就有，则的图象关于直线对称.
记法：自变量关于a对称，函数值相等，如图1.
2．中心对称：若函数满足若，就有，则关于点对称.
记法：自变量关于a对称，函数值关于b对称，如图2.
3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x系数相反是对称，x系数相同是周期）
或 关于直线对称（当时，即为偶函数，关于y轴对称）
关于直线对称
关于对称（当时，即为奇函数，关于原点对称）
关于点对称
4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：
（1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.
（2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.
（3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.
5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）
（1）若存在导函数，且有对称中心，则必有对称轴. 特别地，若为奇函数，则为偶函数.
（2）若存在导函数，且有对称轴，则必有对称中心. 特别地，若为偶函数，则为奇函数.
（3）若有对称中心，则不一定有对称轴；但若，则一定有对称轴. 特别地，若为奇函数，则必为偶函数.
（4）若有对称轴，则必有对称中心. 特别地，若是偶函数，则不一定是奇函数，只能关于对称，但b不一定是0.
典型例题
【例1】已知函数满足，且在上为增函数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C
解析：的图象关于直线对称，所以，
因为，且在上为增函数，所以，从而.
【反思】本题的关键是由识别出的对称性.
【变式1】已知函数满足，且在上为增函数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：关于点对称，又在上，所以的草图如图，
由图可知在R上，所以.
【反思】本题只需由识别出的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.
【变式2】已知函数满足，若函数有3个不同的零点、、，则 .
答案：3
解析：看到，马上想到的图象关于对称，
而要研究的零点，可以分离一下，再作图看交点，，
函数没给解析式，只能从对称的角度来看，
由于和的图象也都于对称，故它们的交点关于直线对称，如图，
设，则必有且，故.
【变式3】已知函数满足，若，则 .
答案：0
解析：，所以的图象关于点对称，
而，，，这几个函数值中，和3关于1对称，0和2关于1对称，
所以和有关系，和有关系，抓住这点就可以求了，
在中取可得，所以，
取可得，所以，故，
又，所以.
【例2】偶函数的图象关于直线对称，，则 .
答案：3
解析：由题意，有对称轴和，所以的周期为4，故.
【反思】对称轴对称轴周期，周期为对称轴之间距离的2倍.
【变式1】偶函数满足，且，则 .
答案：0
解析：由题意，关于点对称，
又为偶函数，所以关于y轴对称，从而的周期为4，故，
在取可求得，所以.
【反思】对称轴对称中心周期，周期为二者之间距离的4倍.
【变式2】（2018·新课标Ⅱ卷）若是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
（A） （B）0 （C）2 （D）50
答案：C
解法1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，
因为是奇函数，且，所以，故，
所以，即是以4为周期的周期函数，故，
接下来还需计算和，不能只由周期来求，要结合奇函数满足这个隐含条件，
在中取知，
又，所以，
故
.
解法2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，
为奇函数有对称中心坐标原点，有对称轴，
既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合，可取，
此时不难发现周期为4，，，，
所以
.
【变式3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B
解法1：先由题干的条件推导的对称性情况，是偶函数关于直线对称，
题干给出是奇函数，这个条件怎么翻译？
实际上，它和为奇函数效果一样，都能得出关于点对称，理由如下，
设，则是奇函数，所以，即，
从而，令，则，故，
所以关于点对称，从而周期为4，且，
又的图象关于对称，所以，故，选B.
解法2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，
由题意，是偶函数，所以 ①，
又是奇函数，所以 ②，
在②中取得，所以，
已经得到一个等于0的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，
为了在式①中构造出，取得，故，
选项中还是没有，所以又结合式②继续推理，为了构造出，
在②中取得，所以选B.
【反思】若的图象关于点对称，且在处有定义，则必有.
【变式4】定义在R上的奇函数满足，当时，，则 .
答案：
解析：由题意，有对称中心和，故其周期为2，所以.
【反思】若有位于同一水平线上的两个对称中心，则为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.
【例3】已知是函数的导函数，若为偶函数，且在点处的切线方程为，则 .
答案：1
解析：为偶函数的图象关于直线对称，
又在处的切线方程为，所以，，
因为的图象关于直线对称，所以，（关于对称的位置函数值相等）
且（关于对称的位置的切线也关于对称，斜率相反，如图），故.
【变式1】已知是函数的导函数，为奇函数，设，，且，则 .
答案：2
解析：先利用已知条件推出的对称性、周期性，再画草图看函数值，
为奇函数关于点对称，所以，又，所以，如图，
关于对称关于直线对称，
所以周期为4，且，，从而，
故
.
【变式2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：BC
解析：先把已知的，均为偶函数翻译一下，可以翻译成和的对称性，
为偶函数的图象关于直线对称，
为偶函数的图象关于直线对称的图象关于点对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用的对称性反推的对称性，否则无法求解此题）
所以是以2为周期的周期函数（双对称周期结论），故也是以2为周期的周期函数，
A项，，而的值无法确定，故A项错误；
B项，周期为2，因为的图象关于直线对称，所以必是的极值，
从而，故，所以，故B项正确；
C项，的图象关于直线对称，故C项正确；
D项，周期为2，又的图象关于直线对称，所以的图象在和处的切线斜率互为相反数，从而，所以，故D项错误.
强化训练
1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数满足，且在上为减函数，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：B
解析：的图象关于直线对称，
结合在上为减函数可得当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，
而，，，
所以，故.
2．（2022·甘肃模拟·★★★）定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
（A） （B） （C）2 （D）8
答案：D
解析：关于对称，为奇函数关于原点对称，所以周期为8，
故.
3．（2021·湖北模拟·★★★）（多选）设是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则（ ）
（A）是周期函数，且周期为2
（B）的最大值是1，最小值是
（C）在上单调递减，在上单调递增
（D）当时，
答案：BC
解析：A项，是偶函数关于对称，关于对称，所以是以4为周期的周期函数，故A项错误；
B项，当时，，结合是周期为4的偶函数可作出的大致图象如图，由图可知，，故B项正确；
C项，由图可知C项正确；
D项，由图可知在上，而在上，故D项错误.
4．（★★★）若是定义域为R的奇函数，，若，则 .
答案：1
解析：有对称中心和对称轴周期为4，
在中取知，
又，，所以，
故.
5．（★★★）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ）
（A）0 （B）5 （C）10 （D）15
答案：B
解析：没给解析式，给的是，只能得出对称性，所以也要研究的对称性，
注意到为奇函数，其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，
又，所以的图象也关于点对称，故与的交点关于点对称，
如图，由图可知，，，所以.
6．（2022·四川模拟·★★★）奇函数满足，若当时，，则函数的零点个数为 .
答案：9
解析：的图象关于点对称，
又为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以的周期为2，
如图，与的图象共有9个交点，所以函数有9个零点.
7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数满足，当时，，则函数的所有零点之和为（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
答案：B
解析：的图象关于对称，为偶函数的图象关于y轴对称，
所以的周期为2，，作出图象如图，由图可知两图象有6个交点，
且它们两两关于直线对称，故的零点之和为6.
8．（★★★）已知是函数的导函数，若为奇函数，且在点处的切线方程为，则 .
答案：1
解析：为奇函数的图象关于点对称，
又在处的切线方程为，所以，，
因为的图象关于点对称，所以，（点和关于对称）
且（关于对称的位置的切线斜率相等，如图），故.
9．（★★★★）已知是函数的导函数，若和均为奇函数，且，则 .
答案：
解析：先把已知条件翻译成的对称性，再利用对称性求函数值，最好画个图比较容易理解，
为奇函数的图象关于点对称，所以，
为奇函数为偶函数的图象关于y轴对称，所以的周期为8，
因为，且关于对称，所以，
又为偶函数，且周期为8，所以，，
从而，
故
.
10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，. 若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：为奇函数的图象关于点对称，所以，
为偶函数的图象关于直线对称，所以，
从而是以4为周期的周期函数，所以，
在中取可得，所以，
还得把a和b求出来才能得出答案，
在中取可得，
在中取得，所以，故，
在中取得，而，所以，故，
所以.
11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数，的定义域均为R，且，. 若的图象关于直线对称，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
解析：要求，得研究的性质，先用已知的把有关的消掉，
在中将x换成可得，所以，
代入可得，所以，故关于对称，
题干给出了关于对称，而和显然是有关系的，可以由此条件再推导的对称性，
由可得，将x换成可得，
从而可由左移4个单位，下移7个单位得到，故关于直线对称，
所以是以4为周期的周期函数，接下来求一个周期的整点函数值，就可以算出，
首先，关于对称，所以，故，
又关于对称，所以，结合周期为4可得，
只要求出和，就大功告成，条件中还没用，先在题干给的等式中将构造出来，
因为，在中取可得，所以，故，
由以及关于对称可得，结合周期为4可得，
所以.
12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数的定义域为R，且，，则（ ）
（A） （B） （C）0 （D）1
答案：A
解法1：本题要，应该要先求的周期，可以在中对y赋值，
在中令可得 ①，
在①中将x换成可得，结合式①可得，
所以，从而，故，所以的周期为6；
求出了周期，接下来需要计算一个周期内的整点函数值，问题就解决了，
因为已知，所以可以在通过赋值构造出和其它的函数值，
在中令，可得，
又，所以，结合周期为6可得，
令可得，所以，
令，可得，所以，
在中令可得，令可得，
所以，故.
解法2：设，不难验证满足题干所有条件，进一步可求得.第3节 基于奇函数的一个常考小结论
内容提要
我们知道，若为奇函数，则对定义域内的任意实数x恒成立，那么设，则，特别地，. 基于这一小结论命制的高考真题较为常见.
典型例题
【例题】已知为奇函数，，，则 .
答案：
解析：由题意，，所以，故，
即，所以.
【变式1】设函数，若，则 .
答案：
解析：设，则为奇函数，
因为，所以，故.
【变式2】（2018·新课标Ⅲ卷）已知函数，，则 .
答案：
解析：若能识别出这个部分是奇函数，那就好办了，下面先证明一下，
设，则为奇函数，
而，所以，故.
【反思】是高考比较常见的一个奇函数.
【变式3】已知函数，，则（ ）
（A） （B） （C）3 （D）4
答案：C
解析：只要发现为奇函数，以及和相反，剩下的就跟变式2一样了，
设，则
，所以是奇函数，
又，所以，因为，
所以，故.
【变式4】已知函数的最大值为M，最小值为m，则 .
答案：2
解析：观察可得的最值不好求，所以不去求最值，的分子分母有相同的部分，可以拆分，
化为，其中这个部分为奇函数，从而可以利用对称性来求，
，显然是奇函数，所以的图象关于点对称，
故的图象上的最大值和最小值的两个点A和B也关于对称，如图，由图可知.
【反思】若为奇函数，，且存在最大值M和最小值m，则.
强化训练
1．（★★）设为定义在R上的奇函数，，，则 .
2．（2022·乐山模拟·★★）设，若，则 .
3．（2021·成都模拟·★★★）若函数的最大值为M，最小值为m，则 .
4．（★★★）若函数的最大值为M，最小值为m，且，则 .

展开更多......

收起↑