资源简介

11.3.2 多边形的内角和
导学案
学习目标：
1．整理你所学过多边形的有关知识；
2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；
3、学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
学习重难点：
重难点：多边形的内角和以及外角和、用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和。
新知探究：
探究点1：多边形的内角和
问题：（1）从四边形的一个顶点出发可以引_____条对角线,它们将四边形分成____个三角形,那么四边形的内角和等于_______度.你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
已知：四边形ABCD .
求证：四边形ABCD的内角和为180°.
证法1：如图，连接AC, 所以四边形被分为两个三角形，
证法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，
证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形，
证法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
（2）从五边形的一个顶点出发可以引______条对角线,它们将五边形分成_______个三角形,那么五边形的内角和等于多少度？
多边形的 边数 图形 分割出的三 角形个数 多边形的内角和
4
5
6
…… …… …… ……
n
（3）从n边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？那么n边形的内角和等于多少度？
要点归纳：n边形的内角和等于____________________.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
要点归纳：如果四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也____________.
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
探究点2：多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
解：五边形外角和=5个平角－五边形内角和
问题4：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？
要点归纳：n边形的外角和等于360°.与边数无关.
问题5：回想正多边形的性质，正多边形的每个内角是_______度,每个外角是______.
典例精析
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
例5已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
例6如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数.
我的收获
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