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13.3.1等腰三角形
第1课时
一、学习目标：
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力.
二、学习重、难点
重点： 理解并掌握等腰三角形的性质.
难点： 等腰三角形的性质的验证.
探究案
三、合作探究
探究点一
问题1：如下图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么特点？
操作结论：剪刀剪过的两条边_______，即△ABC中的边____=_____，所以得到的三角形是_______三角形。
等腰三角形的定义：有_________相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形中相等的两边叫做________，另一边叫做_________，两腰所夹的角叫做_________，底边与腰的夹角叫__________。
问题2：如上图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？

重合的角 重合的线段
1、通过操作可以得到等腰三角形的以下性质：
性质1 等腰三角形的两个_______相等（简写“等边对等_____”）
数学符号表示：
在△ABC中，∵AB=AC
∴∠_____=∠_____
性质2 等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合（简写成“三线合一”）
（1）等腰三角形底边上的高AD，既是底边上的 ，又是顶角 ；
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD⊥BC，∴____= ____，∠_____ = ∠_____ ；
（2）等腰三角形的底边上中线AD，既是底边上的 ，又是顶角
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____；
（3）等腰三角形的顶角的平分线AD，既是底边上的 ，又是底边上的 ，
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是角平分线，∴_____ =_____，____ ⊥____ 。
探究点二
问题1：你能利用三角形全等来证明性质1（等边对等角）吗？（你有几种方法？）
如右图△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C
问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗 请证之。
例题解析
例1： 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。
例2：如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF 请给出证明.
(2)过C点作AB边上的高CG,请问DE,DF,CG的长度之间存在怎样的关系 并加以证明.
随堂检测
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(　 　)
A．80° B．80°或20°
C．80°或50° D．20°
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(　 　)
A．36° B．54° C．18° D．64°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于(　 　)
　　　　
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(　 　)
A．50° B．100° C．120° D．130°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(　 　)
A．BD＝CE B．AD＝AE
C．DA＝DE D．BE＝CD
6．如图，直线 m∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，则∠1 ＝_________．
7．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48°，则∠D＝__ _．
　　
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D是BC边上一点，CD＝AC，求∠1与∠2的度数．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中所有全等的三角形，并选择其中的一对全等三角形加以证明．
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
合作探究
探究点一
问题1：重合 AB AC等腰
两边
腰 底边 顶角 底角
问题2：∠B、∠C 角
B C
角平分线 中线 高线
（1）中线 角平分线
BD CD B C
（2）高线 角平分线
AD BC B C
（3）中线 高线
BD CD AD BC
探究点二：
问题1：方法一：
取BC中点为D，连接AD，
因为AB=AC，BD=CD，AD=DA，
所以△ABD≌△ACD（SSS）
所以∠B=∠C
方法二：
作BC的垂线AM，垂足为M，则△AMB与△AMC是直角三角形
因为AB=AC，AM=MA
所以△AMB≌△AMC全等（HL）
所以∠B＝∠C
方法三：
作∠A的平分线AN
因为AB＝AC，AN＝NA，∠BAN＝∠CAN，
所以△ABN≌△CAN
问题2：方法1.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．
求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD．
证明因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°，
因为AB=AC，AD=AD，
所以直角△ABD全等直角△ACD,
所以BD=CD，∠BAD=∠CAD．
方法2.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．
方法3：已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD．
因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，BD=CD，
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．
例题解析
例1 解:设∠C=x
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠C=x,∠A=180°-2x
∵ BD=BC=AD
∴ ∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=x
∵ ∠BDC是△ABD的外角, ∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
即x=360°-4x
∴ x=72°
则∠ABC=∠C=72°,∠A=36°
例2 解:(1)当D为BC的中点时,DE=DF.
∵D为BC的中点,∴BD=CD,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF.
连接AD,∵S△ABC=S△ADB+S△ADC,
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,
又AB=AC,∴CG=DE+DF.
随堂检测
1．B
2.B
3.A
4.B
5.C
6.45°
7.66°
8．∵AB=AC
∴∠B=∠C=36°
∵CD=AC
∴∠1=∠CDA= (180°-∠C) = (180°-36°) =72°
∴∠2=∠CDA-∠B=72°-36°=36°　
9. 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
10．△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD，
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵ AB=AC
∵AD为角平分线，
∴ ∠ BAE= ∠ CAE，
∵ AE=AE ，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．

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