资源简介

13.3.2 等边三角形
第1课时
一、学习目标：
1.了解等边三角形的概念；
2.掌握等边三角形的性质与判定方法；
3.通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究数学问题.
二、学习重、难点
重点：等边三角形的概念、性质和判定。
难点： 等边三角形判定定理的探究与证明;灵活的运用等边三角形的性质与判定方法解决相关问题。
探究案
三、合作探究
探究点一
问题：1、把等腰三角形的性质（等边对等角）用到等边三角形，能得什么结论？请证明.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C.
证明：
结论:
等边三角形的性质：等边三角形的三个________都相等，并且每一个角都等于_____。
几何语言：∵AB＝AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
问题2：一个三角形的三个角满足什么条件就是等边三角形？请证明.
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等腰三角形．
由此得出，等边三角形的判定： 三个角都______的三角形是等边三角形；
重合的角 重合的线段
几何语言：∵∠A＝∠B＝∠C ∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）
探究点二
问题1：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？请证明.
已知：如图在△ABC中，AB=AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
求证：△ABC是等边三角形.
由此得出，等边三角形的判定：有一个角是_____的_______三角形是等边三角形。
几何语言：
∵AB＝AC,∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
问题2：等腰三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
等边三角形有等腰三角形以上的性质吗？
探究点三
问题1：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：△ADE是等边三角形
问题2：如图，等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，试判断△BDE的形状，为什么？
随堂检测
1．给出下列命题：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确命题的个数是(　 　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__ __．
3．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD.
求证：DB＝DE.
4．已知：如图，在等边△ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF.
求证：△DEF是等边三角形．
5．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
6．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD交CE于点G，连接BE交AC于点H，连接GH.
(1)请说出AD＝BE的理由．
(2)试说出△BCH≌△ACG的理由．
(3)试猜想△CGH是什么特殊的三角形？并加以说明．
课堂小结
1. 等边三角形的概念：三个角都相等的三角形叫等边三角形.
2. 等边三角形性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
3. 等边三角形的判定：
判定⑴：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定⑵：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
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参考答案
合作探究
探究点一
问题1：
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
同理∴∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
问题2：
证明：∵∠A=∠B
∴AB=AC
同理：AB=BC
∴AB=AC=BC
即△ABC是等边三角形
探究点二：
问题1：证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
当∠A=60°时，又∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=∠C= （180°-60°）=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形
当∠B＝60°时，∠C=∠B＝60°
∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形.
当∠C=60°时，同理可得△ABC是等边三角形
∴有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
问题2：答：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴就是各边的垂直平分线.
等边三角形的各边上的中线、高与它对角的平分线相互重合.
探究点三
问题1：解：△ADE是等边三角形.
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=60°
又∵AD=AE
∴△ADE是等边三角形.
问题2：解：△BDE是等腰三角形.
∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠DBC= ∠ABC=30°，
又∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠CED= ∠ACB=30°
∴∠DBC=∠CED，∴BD=DE
故△BDE是等腰三角形
随堂检测
1．C
2. 20°
3. 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
4. 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD，
在△ADF和△BED中，
AD＝BE
∠A＝∠B
AF＝BD，
∴△ADF≌△BED(SAS)，
∴DF=DE，
同理DE=EF，
∴DE=DF=EF．
∴△DEF是等边三角形．
5. 解：（1）△ABC为等边三角形
∴A=B=ACB=60，
DEAB
∴EDF= B =60, DEC=A =60,
∴DEF= 90,
∴F=90 EDF = 30．
（2）DEC= 60, DEF= 90,
∴CEF=30=F，
∴CE=CF
CED= ACB =60,
∴位等边三角形
∴CD=CE= 2
∴=2CE = 4．
6. 解：（1）△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC=BC , EC=DC
ACB=ECD=60，
∴ACD= ECB =60,
∴ACD △BCE
∴AD=BE．
（2）
∴ CBH= CAG
ACB=ECD=60，点B、C、D在同一条直线上
∴ACB= ECD=ACG=60,
又AC=BC
∴ACG △BCH．
（3） CGH是等边三角形，
理由如下：
∴
又ACG=60
∴是等边三角形．

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