资源简介

13.3.2 等边三角形
第1课时
一、学习目标：
1．探索含30°角的直角三角形的性质.
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
学习重、难点
重点：含30°角的直角三角形的性质．
难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
探究案
三、合作探究
探究点一
问题1：将两个含30°角的三角尺摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗
∠BAD=∠D=_______， ∠BAC=___________;
AB=BD, △ABE是__________三角形； 2BC=BD=________.
要点归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC=AB
问题2：已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC=AB.
方法一：倍长法
【提示：延长BC至D，使CD=BD，连接AD】
证明：
方法二：截半法
【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】
证明：
探究点二
问题1：下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
探究点三
问题1：已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为多少？
问题2：如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户。如果∠C=90°，∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来。
随堂检测
1．如图13-3-44所示是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝8 m，∠A＝3 0°，则立 柱BC的长度为(　 　)
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
2．将一个有45°角的三角板 的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为(　 　)
A．3 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
3．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是_____cm .
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．
求证：AB=4BD.
5．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处 测得∠ACB＝15°，他沿CB方向 走了20 m，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC 于点D，若C D＝3，则BD的长为_______．
7．已知在△ABC中，∠BAC ＝120°，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，AD＝2，求BC的长度．
8．如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC平分线上 的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10 cm，求 PD的长度．
课堂小结
30 直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
合作探究
探究点一
问题2：如图，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°. 延长BC至D，
使CD=BC，连接AD.
∵ ∠ACB=90°
∴ ∠ACD=90°
∵ AC=AC
∴ △ABC≌△ADC ( SAS )
∴ AB=AD (全等三角形的对应边相等)
∴ △ABD是等边三角形 (有一角等于60°的等
腰三角形是等边三角形)
∴ BC= BD=AB
方法2：如图，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°.在BA上截取BE=BC，连接EC.
∴ BCE是等边三角形.
∴BC=BE=CE
∴∠BEC=60°
又∵∠A=30°，∠BEC=∠A+∠ACE
∴∠ACE=30°
∴CE=AE
∴BC=BE=AE=AB
探究点二
问题1：解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
∴BC=AB，DE=AD
∴BC=×7.4=3.7(m)
又∵AD=AB
∴DE=AD=×3.7=1.85(m)
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m
问题2解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
∵在Rt△ACM中，∠CAM=30°
∴CM= AM=7.5cm
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
答：BC的长为22.5cm
探究点三
问题1如图，过C作CD⊥AB，角BA延长线于D，
∵∠B=15°，AB=AC，
∴∠DAC=30°，
∵CD为AB上的高，AC=8cm，
∴CD= AC= ×8=4（cm）
故则腰上的高为4cm．
问题2：解：作∠A的平分线AD交BC于D，过D作DE⊥AB于E，得到3个全等三角形.
随堂检测
1．A　
2.B　
3.　
4. ∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=30°，
∴BC=2BD．
∴AB=2BC=4BD．
5．∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20（m），
又∵∠ABD=90°，
∴AB= AD= ×20=10（m），
∴树的高度为10米．
6.6　
7. 在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD=4，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB=2，
∴BC=CD+BD=4+2=6．　
8. 解：作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PE∥AC，
∴∠EPA=∠PDA，
∴∠BAP=∠EPA，
∴AE=PE=10，
∵∠FEP=∠BAC=30°，
∴PF=PE=5，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PD⊥AC，
∴PD=PF，
∴PD=5．
PD的长度为5cm

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