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13.4最短路径问题
一、学习目标：
1.了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理.
2.能将实际问题中的“地点”“河” “桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化.
3.能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用.
4.在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用.
学习重、难点
重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点： 如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。
二、预习检测
1.两点之间，_______最短。
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。
3． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______ 。
4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。(2)对应点连线______________。
我的疑惑
在预习过程中的存在哪些困惑与建议填写在下面,并与同学交流。
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探究案
三、合作探究
探究点一
问题1：两点在一条直线的异侧：
已知如图，A、B在直线L的两侧，在直线L上求一点P，使得这个点到AB的距离最短，即AP+PB最短。请说明AP+PB最短的理由。
问题2：两点在一条直线的同侧
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究点二
问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
问题2： 八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
随堂检测
1．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是(　 　)
A．40° B．100° C．140° D．50°
2．如图所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞 击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A
3．如图，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m 的对称点，AB′交m于点P.
(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？
(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．
4．如图，A和B两地在一 条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)(　 　)
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
6．如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是 (　 　 )
A．4 B．3 C．2 D．2＋
课堂小结
在解决最短路径问题时，我们常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
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参考答案
合作探究
探究点一
问题1
解：连接AB交直线l于点P，
这样PA+PB最小,
理由是两点之间，线段最短.
问题2
作出点B关于l的对称点B′，连接A,B′两点的线中,线段AB′最短。因此,线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求。
证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，
∴直线l是线段BB′的垂直平分线．
∵点C与C′在直线l上，
∴BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋C′B.
探究点二
问题1 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点,MN垂直于直线乙,交直线Ω于点M,这样,上面的问题可以转化为下面的问题:当点N在直线乙的什么位置时,AM+MN+NB最小
解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置．
问题2解：如图.
作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
随堂检测
1．B　
2. 先作出点A关于台球边EF的对称点A ，连接BA 交EF于点O．将球杆沿BOA 的方向撞击白球，可使白球先撞击台球边EF，然后反弹后又能击中黑球A .
3 ．解：(1) AB′＝AP＋BP
点B′是点B关于m 的对称点，
∴BP=B ′P
∴AP+BP=AP+B′P=AB′
(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN,
在 ANB ′中，AN＋BN ＞AB ′
故AN＋BN>AP＋BP 4．D　
5. 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵PN+PM+MN的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故答案为：30°．　
6.A

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