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全等三角形章末复习
一、知识框架：
二、专题讲解：
模块一：全等形
一.知识点：
1. 全等形的概念: 。
2. 判断全等形的方法： 。
讲练结合
1、下列四个图形中，全等的图形是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④
2、下面是5个全等的正六边形 A、B、C、D、E ，请你仔细观察 A、B、C、D 四个图案，其中与 E 图案完全相同的是( ) .
模块二、全等三角形的概念和表示方法
一、知识点
1、全等三角形的概念： 。
2、全等三角形的有关概念：重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。
3、全等三角形的表示方法：“全等”用≌表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
讲练结合
1、如下图所示，△ABC≌△BAD，且AC=BD.写出这两个三角形的其他对应边和对应角.
模块三、全等三角形的性质
一、知识点
1、性质：全等三角形的对应边 ，全等三角形的对应角 .
2、应用：运用全等三角形的性质可以证明两条线段相等、两个角相等．在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，准确地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字.
讲练结合
1.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A.72° B．60° C．58° D．50°
2.如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3.如下图，△EFG≌△NMH，在△EFG中，FG是最长边，在△NMH中，MH是最长边，∠F和∠M是对应角,EF=2.1cm ,EH=1.1cm ，HN=3.3cm .
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)求线段NM及线段HG的长度.
模块四、全等三角形的判定
一、知识点
(一)“边角边”(SAS)及其应用
1、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“_________”或“________”.
2、书写格式：在△ABC和△A’B’C’中，________________∴△ABC≌△A’B’C’(____)
3、“ SAS ”的应用：证明分别属于两个三角形中的角相等或线段相等等问题，常用到证明两个三角形全等来解决.
(二)“角边角”（ASA）及其应用
1、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“_________”或“________”
2、书写格式：在△ABC和△A’B’C’中，________________∴△ABC≌△A’B’C’(_____)
3、“ ASA ”的应用：在证明两个三角形中的角相等或线段相等常通过三角形全等来解决.
(三)“角角边”(AAS)及其应用
1、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“_______”或“_______”
2、书写格式：在△ABC和△A’B’C’中，________________∴△ABC≌△A’B’C’(_____)
3、“ SAS ”的应用：证明分别属于两个三角形中的角相等或线段相等等问题，常用到证明两个三角形全等来解决.
(四)“边边边” (SSS)及其应用
1、三边分别相等的两个三角形全等，简写成“_________”或“_________”.
2、书写格式：在△ABC和△A’B’C’中，________________∴△ABC≌△A’B’C’(_____)
3、“SSS”的应用：证明两个三角形中的角相等或线平行等，常通过证明两个三角形全等来解决.
(五)“斜边、直角边”（HL）及其应用
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“_______________”或“_______”
2、书写格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，___________∴Rt△ABC≌△RtA’B’C’(____)
3、“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
讲练结合
1.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A．BD=CD B．AB=AC
C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
2.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A．∠B=∠C，BD=DC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．BD=DC，AB=AC
3.如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BE=CD，则△　 ≌△　 ，理由是　 　．
4.如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　　　　　　，就得△ABC≌△DEF.
5.如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在AD上，且AE=DF．求证：△ABE≌△DCF．
6.已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．
模块五、角的平分线
一、知识点
(一)角平分线的性质
1.内容：__________________________________________________________．
2.书写格式：如图所示，
∵___________________________________________________________________________，
∴_______________________.
3.运用角平分线的性质时应注意以下3个问题：
①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直
(二)角平分线的判定
1.内容：__________________________________________________________.
2.书写格式：如图所示，
∵__________________________________________________________，
∴_______________________________．
讲练结合
1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，若BC=10，AD平分∠BAC，交BC于点D，且BD:CD=2:3，则D点到线段AC的距离为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
2.到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．不能确定
3.如图，已知AC⊥BC，DE⊥BE，BC平分∠ABE，∠BDE=58°，则∠A的度数为 .
4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD=　 　．
5.如图，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上．
综合运用
1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为　(　　)
A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE D.BE=CD
2.已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1= A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.
对于上述的两个判断，下列说法正确的是　(　　)
A.①正确②错误 B.①错误②正确　 C.①，②都错误 D.①，②都正确
3.如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段　　　　　　　.
4. 如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC. 求证：DE=AB.
5.如图所示，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
求证：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB＋CD.
6、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD.
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.
四、课堂小结
1. 全等形的概念:
能够完全重合的两个图形叫做全等形
2、全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
3、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
4、全等三角形的判定
SSS，SAS，ASA，AAS，HL
5.角平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用途：可以用来判断边相等
6.角平分线的判定
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
用途：可以用来判断角相等
课堂小结
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
模块一
1.能够完全重合的两个图形叫做全等形
2.两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置．看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可.
讲练结合
1.C
2. C
模块二
1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
2、对应顶点 对应边 对应角
讲练结合
解：其他的对应边有AB=BA,BC=AD;
其他的对应角有∠CAB=∠DBA,∠ABC=∠BAD,∠C=∠D.
模块三
1、相等 相等
讲练结合
1.D
2.A
3. 解： (1)∵△EFG≌△NMH,∴最长边FG和MH是对应边，
其他对应边是EF和NM、EG和NH；对应角是∠E和∠N、
∠EGF和∠NHM.
(2)由(1)知NM=EF=2.1 cm ,GE=HN=3.3 cm ,
∴HG=GE-EH=3.3-1.1=2.2( cm ).
模块四
(一)“边角边”(SAS)及其应用
1、边角边 SAS
2、 SAS
(二)“角边角”（ASA）及其应用
1、角边角 ASA
2、 ASA
(三)“角角边”(AAS)及其应用
1、角角边 AAS
2、 AAS
(四)“边边边” (SSS)及其应用
1、边边边 SSS
2、 SSS
(五)“斜边、直角边”（HL）及其应用
1、斜边、直角边 HL
2、 HL
讲练结合
1.B
2.A
3. BEC, CDB；HL
4. EF=BC
5. 证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
6. 证明：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
模块五、角的平分线
(一)角平分线的性质
1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F
CE= CF
(二)角平分线的判定
1、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2、PE⊥OA于点E， PF⊥OB于点F，且PE=PF
点P在∠AOB的平分线上
讲练结合
1.D
2. C
3. 58°
4.5
5. 证明： 过P作PE⊥BM于E，PF⊥AC于F，PG⊥BN于G，
∵P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点，
∴PE=PF，PE=PG，
∴PF=PG，
∴点P在∠ACN的平分线上
综合运用
1.B
2.D
3. AC=BD
4. 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠BCA=∠ECD.在△BCA与△ECD中，
，
∴△BCA≌△ECD(SAS).
∴DE=AB.
5. 证明：（1）过点M作ME⊥AD于点E.
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，
∴MC＝ME.
∵M是BC的中点，∴MC＝MB＝ME.
又AM＝AM，∠AEM＝∠ABM＝90°，
∴Rt△BAM≌Rt△EAM（HL），
∴∠EAM＝∠BAM，
即AM平分∠DAB.
（2）在Rt△DEM和Rt△DCM中，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM.
∴DE＝DC.
同理AE＝AB，
∴AD＝AE＋DE＝AB＋DC.
6. 证明：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，
∴∠ABE＝∠CBD．
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
（2）∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ECA＝45°．
∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠BEA＝45°＋30°＝75°．
由（1）知△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠BEA，
∴∠BDC＝75°．

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