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轴对称章末复习
一、知识框架：
二、专题讲解：
模块一：轴对称与轴对称图形
1、轴对称:把—个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称
讲练结合
1.下列图案中不是轴对称图形的是 （ ）
2.如图所示的标志中是轴对称图形的有 （ ）
A. 1个　 B. 2个 　C. 3个 　 D. 4个
模块二、轴对称和轴对称图形的性质
1、轴对称的性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2、轴对称图形的性质
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②轴对称图形或关于某条直线对称的两个图形的对应角相等，对应线段相等.
讲练结合
1.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B=40゜，∠CAD=60゜，则∠BCD=（　　）
A．160゜　B．120゜　C．80゜　D．100゜
2.如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α=　　．
模块三、线段的垂直平分线
1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(也叫线段的中垂线).
2、性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3、判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
讲练结合
1.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　）　　
　A．7　　B．8　　C．10　　D．12
2.如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）
　A．AB中点 B．BC中点
　C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3.如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=　　　cm．
4.如图，△ABC中，∠CAB=120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=　　　　．
5. 如下图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF.
模块四、作轴对称图形
1、作法：
①几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.
②对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2、对称点的坐标特征
(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y)，如图.
(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y)，如图.
3、规律总结
关于某坐标轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.简记为：“横轴横不变，纵轴纵不变”.
讲练结合
1. 点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（　　）
A.（﹣2，5）　　　　　B.（2，5）
C.（﹣2，﹣5）　　　　D.（5，﹣2）
2. 在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1，2）重合，那么A、B两点之间的距离等于　　　　．
3. 2010年上海上海成功举办了世博会，当时黄浦江边大幅宣传画上的“2010”，如下图所示.从对岸看，它在水中倒影所显示的数是 .
4.如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l的对称图形△A′B′C′．
5.如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于y轴的对称点C1的坐标；
（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写出点C关于直线m的对称点C2的坐标．
模块五、等腰三角形
1、等腰三角形
(1)概念：有两边相等的三角形是等腰三角形．
(2)在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角
(3)性质:
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
2、等腰三角形的判定
①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
讲练结合
1.若等腰三角形的两内角度数比为1：4，则它的顶角为（　　）度．
　A．36或144　　　B．20或120 C．120　　　　D．20
2.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3，则这个三角形是 （ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 任意三角形
3.若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的另两边长分别是　　　　　　．
4.如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于　　 °．
5. 如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．
6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．
模块六、等边三角形
1、定义：三边都相等的三角形是等边三角形.
2、性质：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
3、判定
①三条边都相等
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
讲练结合
1.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（　　）
　A．7　　B．8　　C．9　　D．10
2.下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形　 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
3.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，则∠EDC的度数为　　．
4.如右图，在等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD,AB=10.
(1)求BE的长；
(2)求∠DBE与∠DEB的度数.
5.如下图，△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3,判断△DEF的形状，并简要说明理由.
模块七：含30°角的直角三角形
1、性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2、符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°,若∠B=30°，则AC=AB.
讲练结合
1.如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A．3cm　B．4cm　C．5cm　D．6cm
2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=　　cm．
3.如图△ABC中，已知AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求：
（1）∠DAC的度数．
（2）BC的长．
综合运用
1.下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为　(　　)
A.13　　　　B.11　　　　C.10　　　　D.8
2.在平面直角坐标系中，点A(-1，2)关于x轴对称的点B的坐标为(　　)
A.(-1，2)　　　　B.(1，2) C.(1，-2)　　　　D.(-1，-2)
3.如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF，QE.若AB=6，PB=1，则QE=　　　　.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数。
5.已知：如图，AB＝AE，BC＝ED，AF是CD的垂直平分线，
求证：∠B＝∠E．
6、如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。
求证：BE=BD。
四、课堂小结
1.轴对称:把—个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
2.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称
3、轴对称的性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
4、轴对称图形的性质
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
②轴对称图形或关于某条直线对称的两个图形的对应角相等，对应线段相等.
5、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(也叫线段的中垂线).
6、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
7、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
8、对称点的坐标特征
(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y)，如图.
(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y)，如图.
9、等腰三角形
(1)概念：有两边相等的三角形是等腰三角形．
(2)在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角
(3)性质:
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
(4)等腰三角形的判定
①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
10、等边三角形
(1)定义：三边都相等的三角形是等边三角形.
(2)性质：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
(3)判定
①三条边都相等
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
11、含30°角的直角三角形
(1)性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(2)符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°,若∠B=30°，则AC=AB.
通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：
我的收获
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
模块一、
1.D
2.C
模块二、
1.A
2.30°
模块三、
1.C
2.A
3.6
4.60
5.证明： AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
又AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF.
∴点A在EF的垂直平分线上，同理，点D也在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF（两点确定一直线）.
模块四、
1.B
2.4
3、5010
4.解：如图所示：△A’B’C’即为所求
5.解：(1)所作图形如图所示：的坐标为(-4,3)
(2)所作图形如图所示：的坐标为(4,-5)
模块五：
1.B
2.A
3.6cm 6cm
4.140
5.证明：∵CD=CA，E是AD的中点，
∴∠ACE=∠DCE．
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF．
∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，
∴∠ACE+∠ACF=90°．
即∠ECF=90°．
∴CE⊥CF
6.解：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠EAB+∠B=∠CFE，∠CAE+∠DCA=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形．
模块六：
1.C
2.D
3.15°
4.解：(1)∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC=10
又∵D是AC的中点，∴CD=AC=5
又∵CD=CE
∴CE=5
∴BE=BC+CE=10+5=15
(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.
又∵D是AC的中点，∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE=∠ABC=30°.
又∵CD=CE,∴∠CED=∠CED.
而∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,
∴∠CED=∠CDE=30°,即∠DEB=30°.
5.解： △DEF是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.
∵∠1=∠2=∠3,∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°.
同理∠DEF=∠EDF=60°.
∴△DEF是等边三角形.
模块七：
1.C
2.9
3.解：（1）∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC=120°﹣90°=30°，
（2）∵AD=4cm，∠B=30°，∠BAD=90°
∴BD=8cm，
∵∠DAC=30°=∠C，
∴DC=AD=4cm，
∴BC=BD+DC=12cm．
综合应用
1.B
2.D
3.2
4.解：∵∠B＝90°,AB＝BD
∴∠ADB＝∠BAD＝×90°＝45°
∵AD＝CD
∴∠C＝∠CAD
∵∠ADB＝∠C＋∠CAD
∴∠CAD＝×45°＝22.5°
5.证明：连结AC、AD
∵AF是CD的垂直平分线
∴AC＝AD
在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED(SSS)
∴∠B＝∠E
6.证明：∵△ABC是等边三角形
AD是BC边上的中线
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°
又∵△ADE是等边三角形
∴∠DAE＝60°，AD＝AE
∴∠BAE＝∠BAD＝30°
∵AD＝AE， ∠BAE＝∠BAD
∴AB⊥DE， AB是DE的中线
即AB是DE的垂直平分线
∴BE＝BD

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