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21.2.2 公式法解一元二次方程
导学案
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
重难点：经历求根公式的推导过程，会用公式法解简单系数的一元二次方程.。
一、复习回顾
1用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）用直接开平方法求出方程的根.
2.用配方法解下列一元二次方程.
二、情境思考
问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
三、知识讲解
你能用配方法求解ax2+bx+c=0(a≠0)吗
推导求根公式:ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0),师生共同规范步骤(见课件):
解:移项,得ax2+bx=　　
二次项系数化为1,得x2+x=　　
配方,得x2+x+(　　)2=-+(　　)2
即=　　
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方,得x+=±　　
即x=　　
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
归纳:一般地,对于ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程有两个根,为　　　.
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
用公式法解一元二次方程的前提:
（1）必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).　
（2）b2-4ac≥0.
2、用公式法解方程
x2-4x-7=0；
★公式法解方程的步骤
（1）变形: 化已知方程为一般形式;
（2）确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3、计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
5、一元二次方程的根有三种情况(根的判别式Δ=b2-4ac):
Δ=b2-4ac，Δ>0时，有两个不相等的实数根；
Δ=0时，有两个相等实数根；Δ<0时，没有实数根.
6、按要求完成下列表格
△的值
根的情况
总结：
★根的判别式使用方法
（1）化为一般式，确定a、b、c的值.
（2）计算△的值，确定△的符号.
（4）判别根的情况，得出结论.
四、例题精讲
例1 解下列方程.
解：
解:
因此方程无实数根.
变式练习：
解方程：
解:
例2：已知关于x的方程x2－2（m＋1）x＋m2＝0.
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根？
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根.
［解析］ 当Δ<0时，原方程没有实根，从而求出m的取值范围.
解：由题意，得a＝1，b＝－2(m＋1)，c＝m2.
Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(m2＋2m＋1)－4m2＝4(2m＋1)．
(1)要使方程没有实数根，则Δ＜0，即4(2m＋1)＜0，解得m<.故当m<时，原方程没有实数根．
（2）要使方程有两个实数根，则Δ≥0，
即4（2m＋1）≥0，解得m≥.
如m＝1时，原方程为x2－4x＋1＝0，
Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×1＝16－4＝12，
∴，即，.
变式练习：
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个实数 D.没有实数根
2.当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
深入探究：
已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵没有实数根
对于方程x2＋mx＝1－2m，即
，∵m<0,∴△>0，
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
我的收获
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