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22.1.3 二次函数y＝a（x－h） ＋k的图象和性质
导学案
学习目标：
1.会用描点法画出y=a(x-h) +k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h) +k (a ≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h) +k (a ≠0)与y=ax (a ≠0)之间的联系.
学习重难点：
重点：会画二次函数y=a(x-h) +k 的图象.
难点：掌握二次函数y=a(x-h) +k的性质并会应用.
一、复习回顾
1.抛物线y=ax +k、抛物线y=a(x-h) 和抛物线y=ax 的形状完全相同，开口方向一致；当a>0时，开口向上；当a<0 时，开口向下.
2.抛物线y=ax +k可以由抛物线y=ax 向上或向下平移|k|个单位得到(k>0，向上平移；k<0，向下平移)；抛物线y= a(x-h) 可以由抛物线y=ax 向左或向右平移|h|个单位得 到(h>0，向右平移；h<0向左平移).
3.抛物线y=ax +k有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；(2)对称轴是y轴；(3)顶点是(0，k).
抛物线y=a(x-h)2有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x=h；(3)顶点是(h，0).
二、情境导入
你能画出二次函数y=- (x+1) -1的图像吗？知道它们的开口方向、对称轴和顶点吗？
三、知识讲解
1.画函数y=- (x+1) -1的图象
可以发现，抛物线y= - (x+1) -1的的开口方向_______、对称轴_________和顶点是________.
抛物线y= - (x+1) -1和抛物线y=- x 形状完全相同，开口方向一致.
把抛物线y=- x 向左平移____个单位，就得到抛物线y=- x -1 ，把抛物线y=- x -1向左下平移_________个单位，就得到抛物线y=- （x+1） -1.
2.二次函数y=a(x-h) +1的图象与性质
一般地， 批物线y=a(x-h) +k与y=ax 形状相同，位置不同。
把抛物线y=ax 向上或下、向左或右平移，可以得到措物线y=a(x-h) +k.
平移的方向、距离要根据h、 k的值来决定.
批物线y=a(x- h) +k有如下特点:
(1)当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，
(2)对称轴是x=h.
(3)顶点是(h，k).
从二次含数y=a(x-h) +k的图象可以看出:
如果a>0，当xh时，y随的增大而增大；
如果a<0.当xh时，y随x的增大而减小.
3.二次函数y=a（x-h） +k的图象平移规律（其中m＞0）
y=a（x-h） +k向左平移m个单位，平移后的表达式为y=a（x-h+m） +k；
y=a（x-h） +k向右平移m个单位，平移后的表达式为y=a（x-h-m） +k；
y=a（x-h） +k向上平移m个单位，平移后的表达式为y=a（x-h） +k+m；
y=a（x-h） +k向下平移m个单位，平移后的表达式为y=a（x-h） +k-m.
简记“左加右减，上加下减”
四、例题精讲
1.图象的平移
例1将批物线y=3x 向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的批物线对应的函数关系式为( )
A.y=3(x+2) +3 B.y=3(x-2) +3
C. y=3(x+2) -3 D.y=3(x-2) +3
分析：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x 向上平移3个单位所得抛物线对应的函数关系式为y=3x +3，由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x +3向左平移2个单位所得抛物线对应的函数关系式为y=3(x+2) +3.
方法总结
将抛物线在平面直角坐标系中平移,关键就是顶点坐标在发生变化，抛物线的形状和大小不变.故紧扣顶点式 y=a(x- h) +k中h、k的变化即可.
变式训练：
如图,抛物线y=x 与直线y=x交于A点,沿直线y=x平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点恰好为A点,则平移后抛物线的解析式是( )
A.y=（x+1） -1 B. y=（x+1） +1
C. y=（x-1） +1 D. y=（x-1） -1
2.二次函数y=a(r-h) +k的图象的特点
例2 . 批物线y=3(x-1) +2的开口方向、顶点坐标、对称轴分别是（ ）
A.向下,(1,2),直线x=1 B.向上,(-1，2)，直线x=-1
C.向下，(-1，2)，直线x=-1 D.向上，(1，2).直线x=1
分析:抛物线y=3(x-1) +2的开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1.
方法总结
本题运用了性质判断法，运用二次函数的性质,结合图象进行判断.
变式训练
若抛物线y=(x-m) +(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A. m>1 B. m>0 C. m>- l D. -13.利用点的坐标或图象特征求面数表达式
例3 已知二次函数图象的顶点空标为(-2,-3),且图象过点(-3，-2)，求此二次函数的表达式.
分析:由于题目的已知条件中,有二次函数图象的顶点坐标,因此将二次函数的表达式设为顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0)比较简便.
方法总结
(1)若已知顶点坐标、对称轴、最值等条件,求二次函数的表达式,一般用二次函数的顶点式求比较方便；对于已知顶点求表达式时，注意若顶点在x轴上，则设其表达式为=a(x-h) ;若顶点为原点,则设其表达式为y=ax .
(2)易错警示:本例设表达式时，-定要注意y=a(x -h) +k 中h与k的符号,千万不要写成:y=a(x-2) -3.
变式训练
求与y=-2（x-4） -6的图象关于y轴对称的图象所对应的表达式.
4. 二次函数y=a(x- h) +k(a≠0)的性质的应用：比较函数值的大小
例4 A(-2，y ), B(1，y ),C(2，y )是抛物线y=-(x+1) +a上的三点，则y 、y 、y 的大小关系为( )
A.y >y >y B.y >y >y C.y >y >y D.y >y >y
分析:函数的关系式是y=-(x+1) +a, ∴函数图象的对称轴是直线=-1,点A关于对称轴的对称点A'的坐标是(0，y ),那么点A'、B、C都在对称轴的右侧，∵在对称轴右侧,y的值随x值的增大而减小，y >y > y .
方法总结
解决此类问题的两种思路，思路一：将三点的横坐标分别代入表达式，求出y 、y 、y 的值，再比较大小，但这种方法计算较困难，显然不是最佳方案；思路二：根据二次函数特征比较，利用增减性及点在抛物线上的大致位置，关键是这些点与对称轴位置关系来确定y 、y 、y 的大小，显然这种方法简单.
变式训练
求字母的取值范围
若二次函数y=（x-m） -1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A.m =1 B.m> 1 C.m≥1 D.m≤1
分析:二次函数y=(x-m) -1的图象开口向上，其对称轴为直线x=m,顶点坐标为(m,- 1)，在对称轴的左侧,y随x的增大而减小，所以x=1应在对称轴x=m的左侧或与对称轴重合，故m≥1.
深入探究
要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1 m处达到最高，且 最高为3 m，水柱落地处离广场中央 3 m，建立如图的直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求水管的长度．
(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5 m的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离 m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？
我的收获
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