资源简介

22.1.4 确定二次函数的表达式
导学案
学习目标：
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.掌握函数上两点求函数的表达式.
3.掌握理解函数上任意三点求函数的表达式.
学习重难点：
重点：用待定系数法求二次函数的表达式.
难点：根据条件性质适当的方法求二次函数的表达式.
一、复习回顾
1.由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的表达式
2.二次函数的一般式:y=ax +bx+c，顶点式:y=a(x-h) +k.
二、情境导入
能求一次函数的表达式，如何求二次函数的表达式呢？
三、知识讲解
1.待定系数法定义:一般地,在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.
2.二次含数的三种不同表达式:
(1)-般式: y=ax +bx+c(a≠0)
(2)顶点式: y=a(x-h) +h(a≠0)
(3)交点式: y=a(x-x )(x-x )(a≠0)
3.用待定系数法求二次含数的表达式的步骤:
(1)设出合适的函数表达式，
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代人函数表达式中，得到关于待定系数的方程(组);
(3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出含数表达式
注意:求二次函数的表达式一般用待定系数法,但要根据不同条件设出恰当的表达式:
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax +bx +c(a≠0);
(2)若给出抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,通常可设顶点式y=a(x-h) +k(a≠0);
(3)若给出抛物线与x轴的交点、对称轴或与x轴的交点间的距离,通常可设交点式y=a(x-x )(x-x )(a≠0).
四、例题精讲
1.已知两点确定函数的表达式
已知两个点确定次函数表达式主要有 两种情况:①已知二次函数中某项的系数;②其中一个点是一次函数图象的顶点.
例1如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,6),对称轴为直线x=2,求二次函数的表达式并写出图象最低点的坐标.
分析 根据二次函数的对称轴为直线x=2,设出二次函数的顶点式，把点A与点C的坐标代入二次函数的顶点式。即可求出a与k的值，确定出二次函数表达式，进而找出函数图象最低点的坐标.
方法总结
用待定系数法求表达式，关键在灵活选择表达式，已知对称轴或顶点通常设表达式为顶点式：y=a（x-h） +k.
变式训练：
已知二次函数y=ax +bx,当x=1时,y=2;当x=-1时，y=4,则a、b的值是( )
A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1 C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=一1
2.已知三点确定函数的表达式
例2 已知二次函数的图象经过点A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）.
（1）求函数的表达式
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标.
（3）画出二次函数的图象.
分析：设出二次函数表达式，(1)已知二次函数的图象经过三点，把这三点的坐标分别代入二次函数的表达式中，即可得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求得a、b、c的值,进而得到二次函数表达式;(2)根据所求出的二次函数表达式，即可确定这个二次函数的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)用描点法即可画出这个二次函数的图象.
方法总结
在根据抛物线上的三个点确定其函数表达式时，不要忙于动笔求解，应该先认真审题，看这三个点的位置有无特殊之处，即根据这三个点能否得到抛物线的顶点或对称轴等，若能，则设二次函数的顶点式，可有效地简化解题过程.
变式训练
已知二次函数y=ax +bx+c,当x=1时,y=1;当x=2时,y=3;当x=4时,y= 13.求该二次函数的表达式.
3.利用交点式确定表达式
例3如图,已知抛物线y=ax +bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3.0)，且过点C(0,-3).
(1)求抛物线对应的函数表达式
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线对应的画数表达式。
分析:(1)利用交点式y=a(x-x )(x -x )得出y=a(x-1)(x -3),进而求出a的值， (2)根据“左加右减，上加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.
方法总结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，交点式求二次函数的表达式根据平移性质得出平移后抛物线对应的函数表达式是解题关键.
第(2)小题是一个开放性题,平移方法不唯一 ,只需将原顶点平移成横、纵坐标互为相反数即可.已知抛物线与x轴的交点坐标求其表达式时，一般采用二次函数的交点式：y=a(x-x )(x -x ).
变式训练
抛物线过A(2，8)，B(0，-4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此抛物线的解析式．
分析 设抛物线与x轴的交点分别为(x ，0)，(x ，0)，然后利用根与系数的关系以及“抛物线在x轴上截得的线段长为3”来列等式解之.
拓展探究
已知一个二次函数的图象经过在平面直角坐标系中一个正方形ABCD的两个顶点C、D和原点，如图，正方形的顶点A、B在x轴正半轴上，顶点C、D在第-象限,且正方形的边长为3，A点的坐标为(1 ，0) ,求这个二次函数的表达式.
分析 先根据正方形的性质求出C,D两点的坐标，于是此题就成了已知三点的坐标求二次函数表达式的问题,利用二次函数一般式来解决即先设其函数表达式为y=ax +bx+c，再将三个点的坐标代人表达式得以a、b、c为未知数的三元一次方程组,解之即可.

展开更多......

收起↑