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22.2 二次函数与一元二次方程
导学案
学习目标：
1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.
2.理解二次函数与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系.
3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决问题.
学习重难点：
重点：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
难点：理解一元二次方程与二次函数的关系的在实际问题中的应用.
一、复习回顾
一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况有三种情况：有两个相等实根、有两个相等实根、没有实数根.
二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.
二、情境导入
函数y=ax +bx+c（a≠0）与一元二次方程ax +bx+c（a≠0）之间有什么关系？
三、知识讲解
1.二次函数与一元二次方程的关系
如图，如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t－5t .
考虑以下问题：
(1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
(2)球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)球从飞出到落地需要用多少时间？
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t ，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h
的值.
解：(1)解方程
15＝20t－5t ，即t －4t＋3＝0
解得，t =1，t =3
∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m
你能结合上图指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
(2)解方程
20＝20t－5t ，即t －4t＋4＝0
解得，t =t =2
当球飞行2s时，它的高度为20m.
你能结合上图指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？
(3)解方程
20.5＝20t－5t ，即t －4t＋4.1＝0
∴ =(－4) －4×4.1＝－0.4＜0，所以方程无实数根. 因此球的飞行高度达不到20.5m.
(4)解方程
0＝20t－5t 即0＝20t－5t .
t ＝0，t ＝4
∴当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时球从地面发出，4s时球落回地面.
你能结合上图指出为什么在两个时间球的高度为0m吗？
已知二次函数y=ax ＋bx+c的值为k，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax ＋bx+c=k， 反过来，解方程ax bx+c=k又可以看作已知二次函数y=ax +bx+c-k的值为0，求自变量x的值.
2.抛物线y=ax +bx+c与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有，公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少 由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗
y=x +x-2，y=x -6x+9，y=x -x+1.
这些函数的图象如图所示.
由图可以看出:
(1)抛物线y=x +x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2、1.当x取公共点的横坐标时，含数值是0,由此得出方程x +x-2=0的根是-2、1.
(2)抛物线y=x -6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x -6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y=x -x+1与x轴没有公共点由此可知，方程x -x+1=0没有实数根.
一般地，从二次函数y=ax +bx+c的图象可知
(1)如果抛物线y=ax +bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax +bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴的位置关系与一元二次方程ax +bx+c=0根有三种：
当b -4ac>0，方程ax +bx+c=0有两个不等实数根，抛物线y=ax +bx+c与x轴有两个公交点；
当b -4ac=0，方程ax +bx+c=0有两个相等实数根，抛物线y=ax +bx+c与x轴有一个交点；
当b -4ac＜0，方程ax +bx+c=0没有实数根，抛物线y=ax +bx+c与x轴有一个交点；
反之也成立
3.拓展
（1）若一元二次方程ax +bx+c=0有两个解x 、x ，则将多项式ax +bx+c分解因式a（x-x ）（x-x ），所以y=ax +bx+c（a≠0）有两个交点（x ，0）、（x ，0），函数y=a（x-x ）（x-x ），我们把这种表达式角交点式.
（2）二次函数y=ax +bx+c的图象与直线y=kx+m的交点坐标就是方程组的解.
若方程组有两个解，则两个函数图象有两个交点；
若方程组有两一解，则两个函数图象有一个交点；
若方程组没有解，则两个函数图象没有交点.
（3）如果二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴有两个交点A（m，0）、B.（n，0），则AB=|m-n|=，我们把AB=叫做抛物线在x轴上的截距.
四、例题精讲
1.根据一元二次方程的根求抛物线与x轴的交点
例1 求抛物线y=3x -8x+4与x轴的交点坐标.
分析 要求抛物线y=3x -8x+4与x轴的交点坐标即需求y =0时对应的x的值;可令y=0，根据3x -8x+4=0的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标.
方法总结
将求抛物线与x轴的公共点这个几何问题转化为求一元二次方程的根的问题来解决，它充分体现了由形到数的转化思想.
变式训练：
二次函数y=-x +4x-3的图象叫x轴与A、B两点（A点在B点左边），交y轴与C点，则ΔABC的面积为（ ）
A.6 B.4 Ｃ.3 Ｄ.1
2.二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程根之间的关系(高频考点)
例2 已知二次函数ｙ＝ｘ －2ｍｘ+m +3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个交点
分析 (1)求出二次函数所对应的一元二次方程的根的判别式，证明根的判别式小于0.
(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质即可得出.
方法总结
抛物线与x轴的交点情况与一元二次方程根的情况都是由Δ=b - 4ac的正负性确定的，解决问题时围绕Δ来解决即可.
变式训练
已知二次函数y=2x -(m+1)x+m-1.
(1)求证:不论m为何值，函数的图象与x轴总有交点,并指出当m为何值时,只有一个交点;
(2)当m为何值时,函数的图象经过原点
(3)在(2)的条件下,求出y<0时x的取值范围及y>0时x的取值范围.
3.函数图象及性质
例3 利用函数图象求方程 x - 2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
方法总结
利用二分法求一元二次方程aｘ +bx+c=0的近似解的步骤:
(1)准确画出y=ax +bx +c(a≠0,a,b,c是常数)的图象;
(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间;
(3)令x取第(2)步中确定的两个数的平均数,计算y的值,根据y的值进一步判断方程的根在哪两个数之间;
(4)重复(2)(3)步骤，直到达到问题需要精确到的数位为止.
变式训练
二次函数ｙ＝ax +bx+c中,自变量x与函数y的对应值如下表:
(1)判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标.
(2)一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数）的两个根x 、x 的取值范围是下列选项中的哪一个．
①- ＜x ＜0，3/2＜x ＜5/2 ,②-1＜x ＜- ，2＜x ＜5/2
③- ＜x ＜0，2＜x ＜5/2 ,④-1＜x ＜- ，3/2＜x ＜2.
深入探究
利用函数的图象,求方程x +2x- 3=0的解
方法总结
利用函数图象求一元二次方程的根或近似解的步骤:
(1)将ax +bx+c=0化为ax =-bx+c的形式;
(2)在同一坐标系中画出y=ax 与y= -bx-c的图象;
(3 )观察图象:若两图象无交点，则一元二次方程ax +bx+c=0无实数根;若有交点，则交点的横坐标即为ax +bx +c =0的实数根.

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