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22.3.1 实际问题与二次函数
导学案
学习目标：
1. 掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.
2. 会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.
3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决问题.
学习重难点：
重点：建立二次函数模型，解决实际问题中的最大（小）值问题.
难点：根据实际问题建立数学模型.
一、复习回顾
二次函数y=ax +bx+c当x=_____时，函数值y有最值，其最值为________________.
二、情境导入
你能用身边的一根铁丝围成一个矩形吗？如何才能使围成的矩形面积最大呢？
三、知识讲解
1.二次函数的最值
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t （0≤t≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？
解：∵a=-5,b=30,c=0.
∴当t=-=________=____________时，
h最大==____________=__________.
即小球运动的时间是___ 时，小球最高，小球运动中的最大高度是_____ m.
一般地，当a>0(a<0)时，批物线y= ax +bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说，当x=-时，二次函数y= ax +bx+c有最小(大)值
2.利用二次函数求几何图形的最大面积
用总长为60m的篱包围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化，当x是多少米时，场地的面积S最大
矩形场地的周长是60m. 一边长为x m.所以另一边长为(×60-x)m
场地的面积S=_____________，
即S=______________(0因此，当x= -=__________=______________时，
S有最大值=___________________________.
也就是说，当x是_______ m时，场地的面积S最大.
解决几何图形面积的最大或最小的问题
（1）确定面积的变化与哪些量的变化有关；
（2）利用图形的面积与这些变量之间的关系建立二次函数的模型，
（3）利用二次函数的性质以及自变量的取值范围确定面积的最大值或最小值.
四、例题精讲
1. 实际生活中的面积问题
例1张大伯准备利用一面长15m的墙和长38m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD,并在养殖场的一侧留出一个2m宽的门.
（1）求养殖场的面积y（m ）与BC边的长x（m）之间的函数关系式;
（2）.当BC边的长为多少时,养殖场的面积最大 最大面积是多少
分析 由BC的长和栅栏的总长表示AB的长，故可求出养殖场的面积y与BC边的长x的函数关系式，再由二次函数的性质和自变量的取值范围求出养殖场的最大面积.
方法总结
先由数学公式建立函数模型，再由函数的性质在自变量范围内求出最值.
变式训练：
已知:如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
（1）求S与x的函数关系式;写出自变量的取值范围.
（2）如果要围成面积为45m 的花圃，那么AB的长应是多少米
（3）能围成的面积比45m 更大的面积吗？如果能请求出最大面积并说明围法，如果不能，请说明理由.
2.二次函数与几何图形
例2如图,已知△ABC的面积为2400 cm，底边BC长为80cm.若点D在BC边上，已在AC边上F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD x(cm) .S□BDEF= y(cm ),求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，y有最值，最值是多少？
分析 (1)可分别设出△DCE 的边CD上的高为h和△ABC的边BC上的高为b，根据条件求出△ABC的边BC上高(含h的代数式)，再利用相似找出其他等量关系，然后设法用x表示□BDEF的边BD上的高；(2)BD在BC边上,最长不超过BC;(3)根据x的取值范围及求最值的方法解题.
方法总结
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系再代入数值,用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积.
变式训练
某家具厂有一种如图所示的木板余料,已知BC=24cm,BC边上的高AD=16cm,现在要这种余料上截出一块矩形木板EFGH,使E、F在BC上 ,G、H 分别在AC、AB上.
⑴设矩形的一边GH=xcm,那么HE边的长度如何表示
⑵设矩形EFGH的面积为ycm ,当x为何值时,y的值最大 最大值是多少
拓展探究
如图①是一个拱形桥，该拱形桥及河道截面的示意图如图②所示，该示意图由抛物线的一部分ABC(B是该抛物线的顶点)和矩形的三边AO，OD，CD组成．已知河底OD是水平的，OD＝10 m，CD＝8 m，点B到河底的距离是点A到河底的距离的1.5倍．以OD所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求点B的坐标及抛物线的表达式；
(2)一行人走在该拱形桥上面，他不小心把帽子掉进了河里的点M处(漂在河面上)，该行人在A处用一根2.5 m长的木棍恰好能钩到距离点E 1.5 m的帽子，求此时河水的高度．

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