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23.1.1 旋转的概念与性质
导学案
学习目标：
1.能说出旋转的意义.
2.知道什么是旋转角、旋转中心.
3.知道旋转前后两个图形的形状和大小不变.
4.掌握旋转的性质，能分析、判断一些简单的旋转现象.
学习重难点：
重点：理解旋转的性质.
难点：利用旋转解决问题.
一、复习回顾
1.你能说出图形的平移吗？
2.图形的平移有哪些性质？
二、情境导入
在数学中，旋转也是图形变化的方法之一，应该怎样描述它呢 它又有什么性质呢
三、知识讲解
1.旋转的概念
钟表的指针在不停地转动，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
旋转概念
我们可以把上面问题中的指针，叶片等看作平面图形，像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转, 点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
概念解析
(1)旋转的三要素:旋转中心(确定旋转的中心位置);旋转角(确定旋转的幅度大小);旋转方向.
(2)旋转中心可以在图形的外部或内部，还可以在图形上，即它可以是平面内的任意一点.
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.
问题2：旋转的性质
如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞润，再另挖一个小洞O作为旋转中心。硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案( ABC).然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形( A'B'C'),移开硬纸板.
∵ A'B'C'是由△ABC绕点O旋转得到的.
∴OA=OA，∠AOA'=∠BOB'，△ABC≌ A'B'C'
旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等.
对应点与旋转中心所连线段的夹角等干旋转角.
旋转前、后的图形全等.
性质解析
(1)在旋转过程中,图形上的每一点都绕着同一个定点沿同一个方向旋转了相同的度数;
(2)旋转前后，每一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)由于旋转前、后的图形全等，因此它们的对应边、对应角相等.
四、例题精讲
1.认识平面图形的旋转
例1 如图，△ABC是等边三角形,D是BC的中点， ABD经过旋转后到达 ACE的位置，请你思考并回答下列问题:
(1)旋转中心是点___;
(2)AB旋转到了______的位置,AD旋转到了_________的位置，因为AB旋转了______度,所以旋转角是_______度，∠BAD的对应角是_______,∠B的对应角是__________;
(3)BD的对应边是_________.
分析 旋转不改变图形的形状和大小，直接观察图形即可解答.
方法总结
根据旋转的定义，利用旋转的“三要素”确定对应关系.
变式训练：
如图,△AOC旋转到△BOD,其中∠AOC= 120°,点A、O、D在同一直线上.
(1)指出旋转中心是哪一点.
(2)旋转了多少度
(3)指出对应角、对应线段及对应点.
2. 利用旋转的性质找相等的线段和角
例2 .如图，△AEC经旋转后与△BFD重合，确定图中的旋转中心和旋转角，指出图中相等的线段和相等的角．
分析：A、E、M、F、B共线，观察图形可知旋转中心，旋转角；再利用旋转的性质：旋转前后，对应边相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等的性质，确定图中相等的线段和相等的角．
方法总结
如果旋转中心不能通过图形看出，可以找两对对应点，分别相连，在作连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心.
变式训练
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到 ABC和 A'C'D,如图1所示.将 A'C'D的顶点A'与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A（A'）、B在同一条直线上,如图2所示.
观察图2可知:与BC相等的线段是____________, ∠CAC'=_________.

3.运用旋转的性质进行计算
例3四边形ABCD是正方形,点E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE= BF,连接AE、AF、EF.若BC=8,DE= 6,求△AEF的面积.
方法总结
利用旋转图形进行有关计算，一般是利用性质求出角相等，边相等，再利用三角形的定理、公式计算.
变式训练
如图所示,把一个直角三角形ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转,使得点A与CB的延长线，上的点E重合.
(1)三角形旋转了多少度
(2)连接CD,试判断△CBD的形状;
(3)求∠BDC的度数.
五、拓展探究
如图，P为正三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.
我的收获
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