资源简介

23.2.1 中心对称图形
导学案
学习目标：
1.理解解中心对称图形的概念.
2.理解中心对称的性质.
3.会画已知图形关于已知点成中心对称的图形.
学习重难点：
重点：中心对称的性质.
难点：探索图形之间的变换关系.
一、复习回顾
1.旋转的定义是:
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.
2.旋转的三要素是:
旋转角，旋转方向，旋转中心.
3.如图，正方形ABCD旋转后与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可做旋转中心的点有几个？.
解：3个.以C点为旋转中心；以D点为旋转中心；以CD的中点为旋转中心.
二、情境导入
把一个图形绕着某一点O转动一个特殊角（180°）的图形变换又有些什么特征呢？.
三、知识讲解
1.中心对称及其相关概念
观察图形
图1中的一个图案绕着点O旋转180°后两个图案互相重合;
图2中，把△OCD绕点O旋转180°后△OCD与△OAB重合.
像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry),这个点叫做对称中心(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
图2中，△OCD和△OAB关于点O对称，点C与点A是关于点O的对称点，点B与点D是关于点O的对称点.
2. 中心对称的性质
如图，三角尺的一个顶点是O，以点O为中心旋转三角尺，可以画出关于点O中心对称的两个三角形:
第一步，画出△ABC;
第二步，以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A'B'C' ;
第三步，移开三角尺.
因为中心对称的两个三角形可以互相重合，所以△ABC与△A'B'C'是全等三角形.
因为点A'是点A绕点O旋转180°后得到的，线段OA绕点O旋转180°得到线段OA'，所以点O在线段AA'上，且OA=OA'，即点O是线段AA'的中点.
同样地，点O也是线段BB和CC的中点.
归纳
中心对称的性质
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
中心对称的两个图形是全等图形.
性质解析
（1）对称中心在对应点的连线上；
（2）对称中心到对应点的距离相等.
作用
（1）利用对称中心的性质可以识别中心对称；
（2）如果两个图形的所有对应点连线经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称，该点为为对称中心.
3.中心对称与轴对称的区别与联系
中心对称是将两个图形绕一点旋转一百八十度后，与原图形重合，这是中心对称；
如果两个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.
都是两个图形之间的关系，变换前后两个图形全等.
四、例题精讲
1.作中心对称图形
例1 (1) 如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A'；
(2)如图,选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
方法总结
作中心对称图形的方法：根据对称中心找出特殊点的对称点，然后顺次连接即可.
变式训练
如图,已知AD是 ABC的中线,画出以点D为对称中心,与 ABC 成中心对称的三角形.
2.中心对称概念的理解
例2 下列说法中正确的是( )
A.两个能够互相重合的图形定成中心对称
B.成中心对称的两个图形一定能够互相重合
C.把一个图形绕着某一点旋转一定的角度，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形一定成中心对称
D.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，那么这两个图形关于这一点成中心对称
解析:两个能够互相重合的图形不一定成中心对称，故A选项错误;成中心对称的两个图形一定能够互相重合,故B选项正确;只有旋转180后重合才是中心对称,故C选项错误;如果两个图形的对应点连线经过某一点，这两个图不一定关于这一点成中心对称.故D错误.
方法总结
根据中心对称概念进行判断.
变式训练：
已知下列命题，其中正确的个数是( )
(1)成中心对称的两个图形一定不全等;(2)成中心对称的两个图形是全等图形;(3)两个全等的图形一定成中心对称.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.利用中心对称的性质找等量关系和对称中心例
例3 如图, ABC与 DEF关于点O对称,请你写出两个三角形中的对称点,相等的线段,相等的角.
方法总结
成中心对称的两个图形对应角相等，对应边相等；
找对称中心的方法：把一个图形旋转180°如果旋转后的图形与另一个图形对称，那么这点就是对称中心.
变式训练
如图所示:两个五角星关于某一点成中心对称,指出哪一点是对称中心 并指出图中A,B,C,D的对称点.
五、拓展探究
已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

展开更多......

收起↑