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24.1.2 垂直于弦的直径
导学案
学习目标：
1.理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
2.理解垂经定理及其推论.
3.能用垂经定理及其推论解决实际问题.
学习重难点：
重点：垂经定理及其推论.
难点：运用垂经定理及其推论解决有关问题.
一、复习回顾
前面学习那那些与圆及与圆有关的概念？
二、情境导入
前面，我们学习了与圆有关的一些概念，接下来研圆的性质.
三、知识讲解
1.圆的轴对称性
如图，CD是⊙O的任意一条直经，A为⊙O上点C、D以外的任意一点，过点A作AA'⊥CD于M,交⊙O于点A'.连接 OA，OA'.
在 OAA'中，
∵OA=OA'.
∴ OAA'是等腰三角形，
又∵AA'⊥CD,
∴AM=MA'.
即直线CD是AA'的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A.在圆上都有关于直线CD的对称点A'.因此⊙O关于直线CD对称.
归纳
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心.
2.垂经定理及其推论
从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，重足为M.
那么点A和点A'是对称点把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，
AM与A'M重合，、分别与A'C. A'D重合.
因此，AM=A'M, AC=A'C, AD=A'D.
即直径CD平分弦AA',并且平分、.
垂经定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂经定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言
，
，
注意
1.定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径,甚至可以是过圆心的直线或线段.
2推论中“平分弦”中的“弦”一定不能是直径，否则结论不一定成立.如图所示，当弦AB为直径时,直径CD平分弦AB,但结论不成立.
敲黑板划重点
1. 在垂径定理中共有5个量：
①CD过圆心，②CD⊥AB，③CD平分弦AB，④CD平分弧，⑤CD平分弧.任意知道其中两个量，可以得出另三个量.
2.利用垂经定理及其推论进行计算时，长涉及弦长a，弦心距d，半径r及弓形的高h.它们之间的关系是：=，r=d+h.
四、例题精讲
1.利用垂经定理及其推论计算或证明
例1已知:如图, ∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:
(1)圆心O到AQ的距离;
(2)线段EF的长.
方法总结
在解决与圆有关的求值或证明题中，常见的辅助线的作法有:连半径、作弦心距，若已知一个角的平分线过圆心，则通常过圆心向这个角的两边引垂线.
变式训练：
如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相交于C、D两点.求证：AC＝BD.
2. 垂经定理及其推论的应用
例2 如图，是直径为1m的圆柱形油罐,往里面注人一部分油后，截面如图所示，若油的最大深度为20cm,那么油面的宽度为多少
方法总结
通常先根据题意将实际问题转化为数学问题，即画出符合题意的几何图形，再构造直角三角形,利用垂径定理、勾股定理求解.
变式训练
如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是水位线.CD//AB,且AB=26m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE:CD=5:24.
(1)求CD的长;
(2)现汛期来临，水面要以每小时0.4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满
拓展探究
如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B,C两点,则弦BC的长的最小值为多少？
我的收获
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