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24.1.3 弧、弦、圆心角
导学案
学习目标：
1.理解圆的旋转不变性.
2.理解弧、弦、圆心角之间的关系.
3.能用弧、弦、圆心角之间的关系解决有关问题.
学习重难点：
重点：弧、弦、圆心角之间的关系.
难点：运用垂经定理及其推论解决有关问题.
一、复习回顾
圆是轴对称图形，他有多少条对称轴，圆也是中心对称图形，它的对称中心是什么？
二、情境导入
什么是圆心角 同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系
三、知识讲解
1.圆的旋转不变形.
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
2.圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角.如图∠AOB是所对的圆心角，是∠AOB所对的弧.
一条弧所对的圆心角只有一个.
3.弧、弦、圆心角之间的关系
如图，当圆心角∠AOB=∠A'OB'时，
我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转。使射线OA与OA'重合.
∵∠AOB=∠A'OB'.
∴射线OB与OB'重合
又∵OA=OA'. OB=OB'.
∴点A与A'重合，点B与B'重合.
因此，与重合，AB与A'B'重合。即=， AB=A'B'.
归纳
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
同样，还可以得到:
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
符号语言:
(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴=， AB=A'B'.
(2)∵=,∴∠AOB=∠A'OB', AB=A'B';
(3)∵AB=A'B',∴∠AOB=∠A'OB',∴=.
敲黑板划重点
(1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧(同为优弧或同为劣弧)、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(2)涉及弦心距的问题，往往需要过圆心向弦引垂线.
四、例题精讲
1. 弧、弦、圆心角之间的关系解决问题
例1如图,在⊙O中,C,D是直径AB上两点，且AC= BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在⊙O上.
(1)求证: = ;
(2)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 请说明理由.
方法总结
证弧、弦、圆心角及弦心距关系常用的作辅助线的方法
在同圆或等圆中,要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等,一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圓心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法.
变式训练
如图:在☉O中,弧=,∠ACB=60°.
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
2. 利用弧、弦、圆心角之间的关系判断相关结论
例2如图,在☉O中,AD=BC,比较与的大小.,并证明你的结论.
方法总结
在同一个圆中，弧、弦、圆心角中只要有一组量相等，就能推出另两组量相等，线段有和差，弧也有和差.
变式训练
如图,已知BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上, = ，∠AOB = 60°,求∠BDC的度数.
深入探究
如图，AB，CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且= ．
（1）请你写出与∠AOE相等的圆心角；
（2）连接AE，AD，DC，CB，BE，写出其中与线段AE相等的弦．
我的收获
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