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24.1.4 圆周角
导学案
学习目标：
1.掌握圆周角定理及其推论.
2.会用圆周角定理及其推论进行证明和计算.
3.掌握并运用圆内接四边形的性质.
学习重难点：
重点：圆周角定理及其推论.
难点：运用圆周角定理及其推论解决有关问题.
一、复习回顾
弧、弦、弦信距、圆心角之间有什么关系？
二、情境导入
在圆中，除圆心角外，还有一类特殊的角——圆周角，它又有什么性质呢？
三、知识讲解
1.圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.
2.圆周角定理
圆周角∠BAC与∠BOC对着同一条弧,它们之间存在什么关系呢 下面我们就来研究这个问题。
我们来分析第(1)种情况.如图(1)，
圆心O在∠BAC的一条边上.
A.
对于第(2)(3)种情况，可以通过添加辅助线(图(2)(3))，将它们转化为第(1)种情况，从而得到相同的结论.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
符号语言
∵∠A是所对的圆周角，∴∠A= ∠BOC
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径(如图).
符号语言
∵∠C、∠D是所对的圆周角，∴∠C=∠D.
∵∠C是AB是直径（或）所对的圆周角，∴∠C=90°.
∵∠C=90°，∴∠C所对的弦（或弧）是直径（或半圆）
敲黑板划重点
(1)因为圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
(2)在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等,异侧互补，如图,∠C,∠D,∠E都是弦AB所对的圆周角.∠C、∠D在弦AB的同侧，则∠C=∠D；∠D、∠E在弦AB的异侧，则∠D+∠E=180°.
3.圆内接四边形的性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
如图，连接OB、OD.
∵∠A所对的弧为，∠C所对的强为，
∴和所对的圆心角的和是周角.
∠A+∠C= ×360°=180°.
同理∠B+∠D=180°.
圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补
四、例题精讲
1.利用圆周角定理及推论进行计算或证明
例1如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°.求证: ABC是等边三角形.
方法总结
利于同弧所对的圆周角相等，在圆中起到转化角的关键作用.
变式训练
如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．50°
2.圆圆内接四边形的性质
例2如图,四边形ABCD内接于⊙O,并且AD是⊙O的直径,C是弧BD的中点,AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证:BC=EC.
方法总结
利用圆的内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等进行角的转换，在利用等角对等边得到线段相等.
变式训练
如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD·DC=PA·BC.
深入探究
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.
求证：(1)∠DAC＝∠DBA；
(2)点P是线段AF的中点．
我的收获
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