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圆周运动
备考第9小时
【知识方法】
一、物理量之间的关系：
传动装置
（1）同一转轴的轮上各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比．
（2）当皮带（或链条、齿轮）不打滑时，传动皮带上各点以及用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，而角速度ω与半径r成反比．
（3）齿轮传动时，两轮的齿数与半径成正比，角速度与齿数成反比．
三、竖直面内的圆周运动(轻绳和轻杆模型)
轻绳模型 轻杆模型
实例 球与绳连接、水流星、翻滚过山车等 球与杆连接、球过竖直平面内的圆形管道、套在圆环上的物体等
图示
在最高点受力 重力，弹力F弹向下或等于零，mg＋F弹＝m 重力，弹力F弹向下、向上或等于零，mg±F弹＝m
恰好过最高点 F弹＝0，mg＝m，v＝，即在最高点速度不能为零 v＝0，mg＝F弹，在最高点速度可为零
【考点例题】
【例题1】火车转弯时，如果铁路弯道内外轨一样高，外轨对轮绝（如图a所示）挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力（如图b所示），但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（如图c所示），当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度小为v，以下说法中正确的是
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变
C．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【例题2】（2020 金安区）如图所示，有一陀螺其下部是截面为等腰直角三角形
的圆锥体、上部是高为h的圆柱体，其上面面半径为r，转动角速度为ω．现让旋转的陀螺
以某水平速度从距水平地面高为H的光滑桌面上水平飞出后恰不与桌子边缘发生碰掩，陀螺
从桌面水平飞出时，陀螺上各点中相对桌面的最大速度值为（已知运动中其转动轴一直保持
竖直，空气阻力不计）（　　）
A． B．
C．ωr D．r
【例题3】（2020·贵州）如图所示，质量分别为和的两小球，用细线连接悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平线上，细线与竖直方向夹角分别为与（）。突然剪断A、B间的细绳，小球的瞬时加速度大小分别为和，两小球开始摆动后，最大速度大小分别和，最大动能分别为和，则（　　）
A．一定小于 B．和相等
C．一定等于 D．一定小于
【例题4】（2020·湖南长郡）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上距离转轴某处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物块与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为θ，重力加速度为g，则
A．小物体由最低点运动至最高点的过程中摩擦力逐渐减小
B．小物体由最低点运动至最高点的过程中摩擦力逐渐增大
C．小物体由最低点运动至最高点的过程中摩擦力没有做功
D．小物体在最低点与最高点所受的摩擦力的大小可能相等
【例题5】（2022 溧阳）风速仪结构如图（a）所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器
接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡
住。已知风轮叶片转动半径为r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间△t内探
测器接收到的光强随时间变化关系如图（b）所示，则该时间段内风轮叶片（　　）
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
【例题6】（2020·定远）如图是德国物理学家史特恩设计的最早测定气体分子速率的示意图．M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒N的半径为R，内筒的半径比R小得多，可忽略不计．筒的两端封闭，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度ω绕其中心轴线匀速转动．M筒开有与转轴平行的狭缝S，且不断沿半径方向向外射出速率分别为v1和v2的分子，分子到达N筒后被吸附，如果R、v1、v2保持不变，ω取某合适值，则以下结论中正确的是（ ）
A．当时（n为正整数），分子落在不同的狭条上
B．当时（n为正整数），分子落在同一个狭条上
C．只要时间足够长，N筒上到处都落有分子
D．分子不可能落在N筒上某两处且与S平行的狭条上
【例题7】(多选)如图所示，一质量为m＝0.1 kg的小球以竖直向上的初速度v0＝10 m/s冲入一管道，该管道为圆管道，半径为R＝5 m。已知小球的入口与圆心在同一高度。经过管道后，它又沿着水平导轨进入另一个半径为r的圆轨道，且恰好能通过圆轨道的最高点。若所有衔接处均不损失机械能，不计摩擦，小球直径以及管道内径可忽略，圆管道和圆轨道底端均与水平导轨相切，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．小球到达管道最高点时对管道的压力为零
B．小球到达管道最高点时速度为5 m/s
C．小球到达管道最低点时对管道的压力为5 N
D．圆轨道半径r为4 m
【例题8】(多选)（2020·河北）如图所示，水平放置的圆筒可以绕中心轴线匀速转动，在圆筒上的直径两端有两个孔A、B，当圆筒的A孔转到最低位置时，一个小球以速度v0射入圆筒，圆筒的半径为R，要使小球能够不碰到筒壁首次离开圆筒，则圆筒转动的角速度可能为(已知重力加速度大小为g)(　　)
A．，n＝1,2,3，…
B．，n＝1,2,3，…
C．，n＝1,2,3，…
D．，n＝1,2,3，…
【例题9】（2020·全国高三）翼型飞行器有很好的飞行性能，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气阻力都受到影响，同时通过控制动力的大小而改变飞行器的飞行状态。已知飞行器的动力F始终与飞行方向相同，空气升力F1与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即F1=C1v2；空气阻力F2与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即F2=C2v2。其中C1，C2相互影响，可由运动员调节，满足如图（甲）所示的关系。运动员和装备的总质量为m=90 kg。（重力加速度取g=10m/s2）
(1)若运动员使飞行器以速度v1=10m/s在空中沿水平方向匀速飞行，如图（乙）所示。结合（甲）图计算，飞行器受到的动力F为多大
(2)若运动员使飞行器在空中的某一水平面内做匀速圆周运动，如图（丙）所示，在此过程中调节C1=5.0 N·s2/m2，机翼中垂线和竖直方向夹角为θ=37°，求飞行器做匀速圆周运动的半径r和速度v2大小。（已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
【例题10】如图所示，遥控电动赛车通电后电动机以额定功率P＝3 W工作，赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t(未知)后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，恰好在C点沿着切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，通过轨道最高点D后水平飞出，E点为圆弧形轨道的最低点。已知赛车在水平轨道AB部分运动时受到恒定阻力f＝0.5 N，赛车的质量m＝0.8 kg，轨道AB的长度L＝6.4 m，B、C两点的高度差h＝0.45 m，赛车在C点的速度大小vC＝5 m/s，圆弧形轨道的半径R＝0.5 m。不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)赛车运动到B点时的速度vB的大小；
(2)赛车电动机工作的时间t；
(3)赛车经过最高点D时对轨道的压力的大小。
【参考答案】
【例题1】【答案】C
【解析】火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得：mgtanθ=mv2/R，解得：R= v2/ gtanθ，故A错误；根据牛顿第二定律得：mgtanθ=mv2/R, 解得：v=，与质量无关，故B错误；若速度大于规定速度，重力和支持力的合力不够提供，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨．故C正确；若速度小于规定速度，重力和支持力的合力提供偏大，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨．故D错误．
【例题2】【答案】C
【解析】陀螺下部分高为h′＝r
下落h′所用时间为t，则
陀螺水平飞出的速度为v，则r＝vt
解得
陀螺自传的线速度为v′＝ωr
陀螺上的点当转动的线速度与陀螺的水平分速度的方向相同时，对应的速度最大，所以最大速度是：v＞ωr，故C正确，ABD错误
【例题3】【答案】A
【解析】A．剪断前，A球受力平衡，正交分解：,
联立方程解得：；
B球受力平衡，正交分解： ,
联立方程解析：；
连接A、B绳子的拉力，根据题意，所以，A正确；
B．剪断细绳后，A、B两小球均做圆周运动，剪断瞬间速度为0，向心力为0，说明在向心方向合力为0，在切向上重力分力提供加速度：
解得：
因为，所以，B错误；
C．小球摆到最低点时，速度最大，根据动能定理：
解得：
因为摆绳长、，所以，C错误；
D．最低点动能最大，根据动能表达式：
因为、，所以和关系不能确定，D错误。
【例题4】【答案】A
【解析】小物体做匀速圆周运动由静摩擦力、重力和支持力的合力提供，在最高点有
，
在最低点，
故小物体由最低点运动至最高点的过程中摩擦力逐渐减小，A正确，B错误；
从最低点到最高点，摩擦力方向与位移方向不垂直，即摩擦力做功，C错误；
在最高点若摩擦力方向背离圆心，则有，
解得，
不可能等于最低点的摩擦力，
若在最高点摩擦力方向指向圆心，则有，
解得，
也不可能等于最低点的摩擦力，D错误．
【例题5】【答案】B
【解析】根据图b可知，在△t内，通过的光照的时间越来越长，则风轮叶片转动的越来越慢，即转速逐渐减小，
在△t内挡了4次光，则T1．根据风轮叶片每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈可知：则风轮叶片转动的周期T，
则风轮叶片转动的平均速率，故B正确，ACD错误。
【例题6】【答案】A
【解析】微粒从M到N运动时间 ，对应N筒转过角度 ，即如果以v1射出时，转过角度： ，如果以v2射出时，转过角度： ，只要θ1、θ2不是相差2π的整数倍，即当 时（n为正整数），分子落在不同的两处与S平行的狭条上，故A正确，D错误；若相差2π的整数倍，则落在一处，即当 时（n为正整数），分子落在同一个狭条上．故B错误；若微粒运动时间为N筒转动周期的整数倍，微粒只能到达N筒上固定的位置，因此，故C错误．故选A
【例题7】【答案】CD
【解析】从出发点到管道的最高点，由机械能守恒定律得mv＝mgR＋mv，解得小球到达管道最高点时的速度v1＝0，即它刚好能够通过管道的最高点，选项B错误；小球到达管道最高点时速度为0，则可求得此时小球对管道的压力等于小球的重力，为1 N，选项A错误；由机械能守恒定律得mv＋mgR＝mv，解得小球到达管道最低点时速度v2＝10 m/s，在最低点，由牛顿第二定律得F－mg＝m，解得管道最低点对小球的支持力F＝5 N，再结合牛顿第三定律可知，选项C正确；小球刚好通过圆轨道最高点，则在最高点，小球速度v满足mg＝m，从出发点到圆轨道的最高点，由机械能守恒定律得mv2＋2mgr＝mgR＋mv，联立解得r＝4 m，选项D正确。
【例题8】【答案】ABC
【解析】A．若小球上升最大高度小于圆筒直径，小球从A孔离开，则竖直上抛时间为
，n＝1,2,3，…，,A正确；
B．若小球上升最大高度小于圆筒直径，从B孔离开，则有
n＝1,2,3，…，,B正确；
C．若小球上升最大高度大于直径，从B孔离开，小球经过圆筒时间为t，则有
2R＝v0t－
圆筒转动时间为t＝，n＝1,2,3，…
解得ω＝,C正确；
D．若小球上升最大高度大于直径，从A孔离开，则圆筒转动时间为
，n＝1,2,3，…
解得ω＝,D错误．故选ABC。
【例题9】【答案】(1)750N；(2)30 m，15 m/s。
【解析】(1)选飞行器和运动员为研究对象，由受力分析可知在竖直方向上mg=C1
得C1=3N·s2/m2
由C1，C2关系图象可得C2=2.5N·s2/m2
在水平方向上，动力和阻力平衡F=F2=C2
解得F=750 N。
(2)设此时飞行器飞行速率为v2，所做圆周运动的半径为r，F1与竖直方向夹角为θ，在竖直方向所受合力为零，
水平方向合力提供向心力
联立解得r=30m，v2=15m/s。
【例题9】【答案】(1)1.6m (2)m/s，90° (3)5600N
【解析】(1)车做的是平抛运动，很据平抛运动的规律可得：
竖直方向上：
水平方向上：
可得：.
(2)摩托车落至A点时其竖直方向的分速度：
到达A点时速度：
设摩托车落地时速度方向与水平方向的夹角为，则：
即，所以：
(3)对摩托车受力分析可以知道，摩托车受到的指向圆心方向的合力作为圆周运动的向心力，所以有：
当时，计算得出.
由牛顿第三定律可以知道人和车在最低点O时对轨道的压力为5600 N.
【例题10】【答案】(1)4 m/s　(2)3.2 s　(3)3.2 N
【解析】(1)赛车从B点到C点的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律有
h＝gt vy＝gt1
同时有v＝v＋v 解得赛车在B点的速度vB＝4 m/s。
(2)赛车从A点运动到B点的过程中，由动能定理得Pt－fL＝mv
解得t＝3.2 s。
(3)设圆弧轨道的圆心O和C点的连线与竖直方向的夹角为α，
则有tan α＝＝ 解得α＝37°
赛车从C点运动到最高点D的过程中，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mgR(1＋cos α)
设赛车经过最高点D处时轨道对小车的压力为FN，根据牛顿第二定律得
mg＋FN＝m 联立解得FN＝3.2 N
根据牛顿第三定律可得，赛车对轨道的压力大小为F′N＝3.2 N。

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