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匀变速直线运动的规律
备考第4小时
【知识方法】
一、基本公式的应用
1．符号的确定
在匀变速直线运动中，一般以v0的方向为正方向(但不绝对，也可规定为负)，凡与正方向相同的矢量为正值，相反的矢量为负值，这样就把公式中的矢量运算转换成了代数运算．
2．应用技巧
（1）物体做匀减速直线运动直至速度减为零，通常看成反方向的初速度为零的匀加速直线运动来处理，还是利用了运动的对称性.
（2）物体做匀减速直线运动，减速为零后再反向运动，如果整个过程中加速度恒定，则可对整个过程直接应用公式．
3．公式的选择技巧
(1)若题目相关物理量中无位移，一般选公式v＝v0＋at；
(2)若题目相关物理量中无时间，一般选公式v2－v＝2ax；
(3)若题目相关物理量中无末速度，一般选公式x＝v0t＋at2；
(4)若题目相关物理量中无初速度，一般选公式x＝vt－at2；
(5)若题目相关物理量中无加速度，一般选公式x＝t.
二、运动学图像
（一）六个必看
1．看“轴”，看两坐标轴代表的物理量及单位．
2．看“线”，看图象是直线还是曲线．
3．看“斜率”，看图线斜率代表的物理意义．
4．看“截距”，截距一般表示物理过程的初始情况．
5．看“面积”，明白图线和坐标轴所围面积的物理意义．
6. 看“拐点”，明确是哪些物理量在转折点处发生变化
如果以上六个方法不能满足做题要求，请写函数表达式。
（二）四注意
1.速度图线只有通过时间轴时速度方向才改变。
2.利用v t图象分析两个物体运动时，要注意两个物体的出发点是否相同。
3.物体的运动图象与运动过程的转化。
4.x t图象、v t图象、a t图象的区别和联系。
(1)误认为v t图象、x t图象是物体运动轨迹。
(2)在v t图象中误将交点认为此时相遇。
三、追及相遇问题
（一）三种典型
1.同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）．
①能追及，且只能相遇一次；
②当v1＝v2时，A、B距离最大；
2.速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）．
①当v1＝v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离；
②当v1＝v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；
③当v1＞v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离．
3.被追赶的物体做匀减速运动的追击．
①明确2个关系、1个条件；
②一定要注意追上前该物体是否已经停止运动．
（二）四方面注意
（1）理清两个关系、一个条件．时间关系：tA＝tB±t0；位移关系：sA＝sB±s0．速度条件：两者速度相等．它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动．
（3）解决问题时需要注意二者是否同时、同地出发；
（4）仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
【考点例题】
【例题1】（2022 金华）伽利略对“运动和力的关系”和“自由落体运动”的研
究，开创了科学实验和逻辑推理相结合的重要科学研究方法。图1、图2分别表
示这两项研究中实验和逻辑推理的过程，对这两项研究，下列说法正确的是
A．图1中完全没有摩擦阻力的斜面是实际存在的，实验可实际完成
B．图1的实验为“理想实验”，通过逻辑推理得出物体的运动需要力来维持
C．图2通过对自由落体运动研究，合理外推得出小球在斜面上做匀变速运动
D．图2中先在倾角较小的斜面上进行实验，可“冲淡”重力，使时间测量更容易
【例题2】(2022·福州市高三调研)甲、乙两个小球从不同高度做自由落体运动，同时落地。下列表示这一过程的位移—时间图象和速度—时间图象正确的是
A　　　　　B　　　　　 C　　　　　D
【例题3】（2022·吉林长春）从地面上以初速v0度竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动．则下列说法正确的是（ ）
A．小球加速度在上升过程中逐渐增加，在下降过程中逐渐减小
B．小球上升过程中的平均速度大于
C．小球抛出瞬间的加速度最大，到达最高点的加速度最小
D．小球抛出瞬间的加速度大小为
【例题4】（2022 浙江）如图所示，4个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，
一颗子弹（可视为质点）以速度v射人水球，在水球中沿水平方向做匀变速直线
运动，恰好穿出第4个水球时速度为零。则以下说法正确的是（　　）
A．子弹穿过每个水球的速度变化量相同
B．子弹在每个水球中运动的时间相等
C．子弹在水球中的速度随位移均匀减小
D．子弹穿出第3个水球的瞬时速度与穿过四个水球的平均速度相等
【例题5】(2022·黄冈)甲、乙两车在平直的公路上沿相同的方向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中阴影部分面积分别为S1、S2，下列说法正确的是(　　)
A．若S1＝S2，则甲、乙两车一定在t2时刻相遇
B．若S1>S2，则甲、乙两车在0～t2时间内不会相遇
C．在t1时刻，甲、乙两车的加速度相等
D．0～t2时间内，甲车的平均速度<
【例题6】（2022·安徽）有一长为L的列车，正以恒定的加速度过铁路桥，桥长为2L，现已知列车车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，那么，车尾过桥尾时的速度为（　　）
A．3v1-v2 B．3v2-v1 C． D．
【例题7】(多选)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，在0～50 s内汽车的加速度随时间变化的图象如图所示，下列说法正确的是
A．汽车行驶的最大速度为20 m/s
B．汽车在第50 s末的速度为零
C．在0～50 s内汽车行驶的总位移为850 m
D．汽车在40～50 s内的速度方向和在0～10 s内的速度方向相反
【例题8】（2022·定远）如图所示，AB为光滑竖直杆，ACB为构成直角的光滑L形直轨道，C处由一小圆弧连接可使小球顺利转弯（即通过转弯处不损失机械能）．套在杆上的两个小球自A点静止释放，分别沿AB轨道和ACB轨道运动，如果沿ACB轨道运动的时间是沿AB轨道运动时间的1．5倍，则BA与CA的夹角为
A．60° B．53° C．45° D．30°
(答案有错误)【例题9】（2020·全国）如图所示，在光滑的水平地面上，相距L＝16 m的A、B两物块均以速度v0＝16 m/s向右运动，随后两物块相继滑上倾角为30°的足够长的斜坡．已知A、B与斜坡间的动摩擦因数均为μ＝，地面与斜坡平滑连接，取重力加速度g＝10 m/s2.求A滑上斜坡后经过多长时间两物块相遇．
【例题10】(2022·合肥)强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在平直路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝4 m、货车车身长L2＝4 m，货车在甲车前s＝4 m。若甲车司机发现附近无其他车辆后开始加速从货车左侧超车，加速度大小为2 m/s2。假定货车速度保持不变，汽车车尾超过货车车头4 m后完成超车，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。
【参考答案】
【例题1】【答案】D
【解析】A、完全没有摩擦阻力的斜面是实际不存在的，故实验不可能实际完成，故A错误；B、图2的实验为“理想实验”，通过逻辑推理得出物体的运动不需要力来维持，故B错误；C、伽利略设想物体下落的速度与时间成正比，因为当时无法测量物体的瞬时速度，所以伽利略通过数学推导证明如果速度与时间成正比，那么位移与时间的平方成正比；由于当时用滴水法计算，无法记录自由落体的较短时间，伽利略设计了让铜球沿阻力很小的斜面滚下，来“冲淡”重力得作用效果，而小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多，所用时间长的多，所以容易测量。伽利略做了上百次实验，并通过抽象思维在实验结果上做了合理外推。故C错误，D正确；
【例题2】【答案】D
【解析】由自由落体运动的位移时间公式可知从不同高度释放甲、乙两个小球，它们同时落地，即它们的位移大小不同，在空中运动的时间也不同，选项A中两小球的位移不同，在空中运动的时间相同，选项B中两小球的位移相同，在空中运动的时间不同，选项A、B均错误；由自由落体运动的速度时间公式可知甲、乙两个小球在空中运动的加速度(重力加速度g)相同，即在v t图象中图线的斜率相同，但位移不同，开始运动的时刻不同，终止时刻相同，C错误，D正确。
【例题3】【答案】D
【解析】AC.上升过程，受重力和阻力，合力向下，根据牛顿第二定律，有：f+mg=ma，解得；由于是减速上升，阻力逐渐减小，故加速度不断减小；
下降过程，受重力和阻力，根据牛顿第二定律，有：mg-f=ma′，解得：；由于速度变大，阻力变大，故加速度变小；即上升和下降过程，加速度一直在减小，跑出瞬间加速度最大，落回地面加速度最小；故A项错误，C项错误.
B.速度时间图象与时间轴包围的面积表示位移，如图所示：
从图象可以看出，位移小于阴影部分面积，而阴影部分面积是匀减速直线运动的位移，匀减速直线运动的平均速度等于，故小球上升过程的平均速度小于；故B错误.
D.空气阻力与其速率成正比，最终以v1匀速下降，有：mg=kv1；
小球抛出瞬间，有：mg+kv0=ma0；
联立解得：；故D正确.
【例题4】【答案】D
【解析】B、设水球的直径为d，子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动。因为通过最后1个、最后2个、以及后3个、全部4个的位移分别为d，2d，3d和4d，根据xat2知，所以时间之比为1：：：2，所以子弹在每个水球中运动的时间不同，由以上的分析可知，子弹依次穿过4个水球的时间之比为：（2）：（）：（1）：1，故B错误。
A、子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，则受力是相同的，所以加速度相同，由△v＝at可知，运动的时间不同，则速度的变化量不同；故A错误。
C、根据v2﹣v02=2ax知速度不是随位移均匀减小，故C错误。
D、由B的分析可知，子弹穿过前3个水球的时间与穿过第四个水球的时间是相等的，由匀变速直线运动的特点可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等，故D正确。
【例题5】【答案】D
【解析】速度—时间图象与坐标轴所围图形的面积表示位移，由于不知道最初甲、乙两车起点是否相同，因此，若S1＝S2，无法判断甲、乙两车是否在t2时刻相遇，选项A错误；同理，若S1>S2，甲、乙两车在0～t2时间内可能相遇，选项B错误；速度—时间图象的斜率表示加速度，在t1时刻，甲的加速度小于乙的加速度，选项C错误；在0～t2时间内，甲车的平均速度小于t1～t2时间内甲车的平均速度1，在t1～t2时间内甲车的速度—时间图线与坐标轴所围图形的面积小于做匀加速直线运动时速度—时间图线与坐标轴所围图形的面积，因此<1<，选项D正确。
【例题6】【答案】C
【解析】列车车头过桥头到车头过桥尾有：
车头过桥尾到车尾过桥尾有：
由以上两式可得， ．
【例题7】【答案】AC
【解析】解法一：在0～10 s内汽车做匀加速直线运动，10 s末汽车的速度v1＝a1t1＝20 m/s，汽车的位移为x1＝a1t＝100 m，在10～40 s内汽车做匀速直线运动，位移为x2＝v1t2＝600 m，在40～50 s内汽车做匀减速直线运动，a2＝－1 m/s2，第50 s末的速度为v2＝v1＋a2t3＝10 m/s，位移为x3＝v1t3＋a2t＝150 m，总位移为x＝x1＋x2＋x3＝850 m，汽车在40～50 s内的速度为正值，与在0～10 s内的速度方向相同，综上所述，选项A、C正确，B、D错误。
解法二：本题A、B、D选项也可根据a t图线与坐标轴所围的面积表示速度变化量来分析。最大面积为0～10 s内图线与坐标轴围成的面积，所以汽车的最大速度为20 m/s，A正确。0～50 s内图线与坐标轴围成的面积为20 m/s－10 m/s＝10 m/s，因此汽车在50 s末的速度为10 m/s，汽车在40～50 s内的速度均为正值，与在0～10 s内的速度方向相同，B、D错误。]
【例题8】【答案】B
【解析】设AB的长度为2L，小球沿AB做自由落体运动，运动的时间满足：，可解得…①，小球沿AC段运动时，，且，所需的时间tAC满足；，解得：，在C点小球的速度，以后沿BC做匀加速运动，其加速度为：，且，故：，其中，代入后解得：，即，B正确
【例题9】【答案】
【解析】设A球滑上斜坡后经过t1时间B球再滑上斜坡，则有：
A球滑上斜坡后加速度
设此时A球向上运动的位移为x，则
此时A球的速度为
B球滑上斜坡时，加速度与A相同，以A为参考系，B相对于A以
做匀速运动，设再经过时间t2它们相遇，有：．
【例题10】【答案】　(1)4 s　(2)不能
【解析】(1)设甲车经过时间t刚好完成超车，在时间t内
甲车的位移大小x1＝v1t＋at2
货车的位移大小x2＝v2t
根据题意有x1＝x2＋L1＋L2＋s＋s1
代入数值得t＝4 s。
(2)假设甲车能安全超车，在最短的时间4 s内
甲车的位移大小x1＝56 m
乙车的位移大小x3＝v3t＝60 m
由于x1＋x3＝116 m>110 m，故假设不成立，不能安全超车。

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