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运动的合成与分解
备考第7小时
【知识方法】
一、物体做曲线运动的条件
1．曲线运动的特点：
（1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向．
（2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
2．曲线运动的条件
（1）从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上．
（2）从运动学角度看：物体的速度方向跟它的加速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成和分解
1．分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
（1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“+”号，与正方向反向的量取“﹣”号，从而将矢量运算简化为代数运算。
（2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。
3．合运动和分运动的关系
（1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
（3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零 的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
模型一：小船渡河
三种情景
情景 图示 说明
时间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
位移最短 当v水当船在静水中的速度v1小于水流速度v2时，过河的最短位移为x，如图乙所示，船头指向上游与河岸的夹角为θ＝arccos，最短位移x＝d.
模型二：绳、杆末端速度分解
1.模型特点
用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。
2.解题思路和方法：
先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果（一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果）以确定两个分速度的方向（沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同）。
3.解决此类问题时应把握以下两点
①确定合速度，它应是小船的实际速度；
②小船的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转动。应根据实际效果进行运动的分解。
4.常见类型
【考点例题】
【例题1】（2020·河北高三）春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为（　　）
A．直线OA B．直线OB
C．曲线OC D．曲线OD
【例题2】（2022 诸暨）如图所示，有一小船正在渡河，水流速度为5m/s，在到达离对岸30m的P点时，其下游40m处有一危险水域，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小划行速度应是多大（　　）
A．3m/s B．3.75m/s
C．4m/s D．5m/s
【例题3】（2022 上饶）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是（　　）
A．P的速率为v B．P的速率为vcosθ2
C．绳的拉力等于mgsinθ1 D．绳的拉力小于mgsinθ1
【例题4】（2020·宜昌）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为
A． B．
C． D．
【例题5】（2020·全国高三）如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，C、D光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（ ）
A．vsinθ B．vcosθ C．vtanθ D．vcotθ
【例题6】（2020·定远）如图所示，两光滑直杆成直角竖直固定，OM水平，ON竖直，两个质量相同的有孔小球A、B(可视为质点)串在杆上通过长为L的非弹性轻绳相连，开始时小球A在水平向左的外力作用下处于静止状态，此时OB＝，重力加速度为g，现将外力增大到原来的4倍(方向不变)，则小球B运动到与O点的距离为时的速度大小为
A． B．
C． D．
【例题7】（2022·广东）在战争中，火箭炮常常被用来打击敌舰或敌机，如图甲所示，假设在距离炮手正前方的河中，有一只敌舰正以速度匀速沿下游开去，炮手立刻水平对准一个方向发射一枚速度的炮弹，恰好打中敌舰，如图乙所示。不计炮弹重力和空气阻力对运动的影响，，，下列观点正确的是（ ）
A．炮弹要偏向敌舰正前方10°发射 B．炮弹要正对敌舰发射
C．炮弹的飞行时间为4s D．敌舰被击中时已行驶了87m
【例题8】（多选）（2022·湖南师大附中）如图所示，倾角为θ=30°的斜坡上有一个静止的货箱，质量为M=5kg。绕过定滑轮的轻绳连接了汽车和货箱，且AB段轻绳和斜面平行。开始时，绳BC沿竖直方向，且BC=2m，汽车从此位置开始以v=2m/s的速度在水平面上匀速行驶，直到绳BC和水平方向夹角β=30°。货箱和斜面间的动摩擦因数为，取g=10m/s2，以下说法中正确的是（　　）
货箱沿斜坡向上做匀速直线运动
B．货箱沿斜坡向上做加速运动
C. 在上述过程中，汽车对绳做功60.0J
D．在上述过程中，汽车对绳做功132.5J
【例题9】（多选）（2022·广东高三）如图，篮球赛中，甲、乙运动员想组织一次快速反击，甲、乙以相同的速度并排向同一方向奔跑，甲运动员要将球传给乙运动员，不计空气阻力，则（ ）
A．应该让球沿着3的方向抛出
B．应该让球沿着2的方向抛出
C．两运动员对球的冲量大小和方向都是相同的
D．当乙接着球后要往身体收，延长触球时间，以免伤害手指
【例题10】（多选）（2020·四川博睿特外国语学校高三月考）如图所示，左右两侧水平面等高，A、B为光滑定滑轮，C为光滑动滑轮．足够长的轻绳跨过滑轮，右端与小车相连，左端固定在墙壁上，质量为m的物块悬挂在动滑轮上．从某时刻开始小车向右移动，使物块以速度v0匀速上升，小车在移动过程中所受阻力恒定不变．在物块上升的过程中（未到AB所在的水平面），下列说法正确的是
A．轻绳对小车的拉力增大
B．小车向右做加速运动
C．小车阻力的功率可能不变
D．小车牵引力做的功小于物块重力势能的增加量与小车克服阻力做功之和
参考答案
【例题1】【答案】D
【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动,则合外力沿Oy方向,在水平Ox方向做匀速运动,此方向上合力为零,所以合运动的加速度方向沿Oy方向,但合速度方向不沿Oy方向,孔明灯做曲线运动,结合合力指向轨迹内侧可以知道轨迹可能为OD,故D对；ABC错
【例题2】【答案】A
【解析】设小船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合位移方向如图所示，设合位移方向与河岸的夹角为α，则
tanα＝＝，即α＝37°，
小船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知，当船相对于静水的速度 v1垂直于合速度时，v1最小，由图可知，v1的最小值为v1min＝v2sinα＝5×m/s＝3m/s，A正确；
【例题3】【答案】B
【解析】AB，将小车的速度v进行分解如图所示，则有：
vp＝vcosθ2，故A错误，B正确；
CD、小车向右运动，θ2减小，v不变，则vp逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，由牛顿第二定律有：T﹣mgsinθ1＝ma，可知绳子对A的拉力为：T＞mgsinθ1，故C错误，D错误。
【例题4】【答案】B
【解析】棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示，合速度，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即，所以，故B正确．
【例题5】【答案】A
【解析】由题意可知，线与光盘交点参与两个运动，一是逆着线的方向运动，二是垂直线的方向运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有：；而线的速度的方向，即为小球上升的速度大小，故A正确．
【例题6】【答案】C
【解析】开始时A到O的距离：
以B为研究对象，开始时B受到重力、杆的支持力N和绳子的拉力T，如图，则：
tanθ＝；由几何关系：tanθ=；联立得：N=mg
以AB组成的整体为研究对象，在水平方向二者受到拉力F和杆对B的支持力N，由于水平方向受力平衡，所以F=N=mg
现将外力增大到原来的4倍（方向不变），则：F′=4F=3mg
B球向上运动时，小球B运动到O点的距离L时，由几何关系得，A到O点的距离：
OA′＝
A向右的距离：
B上升的距离：
此时细绳与竖直方向之间夹角的正切值：tanθ′=，
则得 cosθ′=0.6，sinθ′=0.8
由运动的合成与分解知识可知：A球的受到与B球的速度之间的关系为为：vBcosθ′=vAsinθ′
可得 vB=vA
以AB球组成的整体为研究对象，拉力和重力对系统做功，由动能定理得：
F′ △S mg△h＝
联立以上方程解得：vB＝
【例题7】【答案】A
【解析】ABC．炮弹和敌舰做匀速直线运动，击中敌舰的示意图：
根据图中几何关系：
解得：，由于敌舰的体积远大于炮弹的体积，虽然时间略大于，但是依然能够击中敌舰，炮弹偏向敌舰正前方的角度：
解得：，A正确，BC错误；
D．敌舰行驶的距离：,D错误。
【例题8】【答案】BD
【解析】AB．箱子在绳拉力作用下沿斜面向上运动，故箱子的速度等于绳子运动的速度。汽车向右匀速运动对绳子产生两个效果，一是沿绳把绳拉长，一是使绳子与水平面夹角变小，因此，汽车的运动对绳子而言是合运动，把速度v分解，其中沿绳方向的分速度设为v1，垂直绳子向上的分速度设为v2，
可得：v1=vcosβ,因β减小时cosβ增大，故v1逐渐增大，因而箱子沿斜面做加速运动，故B正确，A错误；
CD．由功能关系知，汽车对绳做功，使绳拉箱子沿斜面向上运动，实质上是对箱子做功.箱子在斜面上运动时，受重力做负功，受滑动摩擦力做负功，受绳子拉力做正功，根据动能定理：
汽车拉绳子向右运动，当时，m/s
绳子被拉长了：m
而:m
解得:J,故D正确，C错误。
【例题9】【答案】AD
【解析】AB．甲和乙相对静止，所以甲将球沿着对方抛出，即沿着3方向抛出，就能传球成功，A正确，B错误；
C．根据动量定理，合外力的冲量等于动量的变化量，可知两运动员接球时速度的变化量大小相等、方向相反，动量的变化量等大反向，所以两运动员对球的冲量等大反向，C错误；
D．当乙接着球后要往身体收，根据动量定理可知，相同的动量变化量下，延长作用时间，减小冲击力，以免伤害手指，D正确。
【例题10】【答案】AD
【解析】A．物块以匀速上升时，两边绳子的夹角变大，可知绳子的拉力变大，即轻绳对小车的拉力变大，选项A正确；
B．设绳子与竖直方向的夹角为θ，则由运动的合成知识可知，则随着物体的上升θ变大，车的速度减小，选项B错误；
C．小车在移动过程中所受阻力恒定不变，根据P=fv车可知小车阻力的功率减小，选项C错误；
D．由能量关系可知： ，因小车动能减小，则，即小车牵引力做的功小于物块重力势能的增加量与小车克服阻力做功之和，选项D正确；

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