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抛体运动
备考第8小时
【知识方法】
一、平抛基础
1．条件：（1）初速度沿水平方向；（2）只受重力作用．
2．性质：匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线．
3．研究方法：分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动两个分运动．
4．规律：
（1）水平方向：匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t，ax＝0．
（2）竖直方向：自由落体运动，vy＝gt，ygt2，ay＝g．
（3）实际运动：v，s，a＝g．
二、平抛规律
1．速度的变化规律
（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0．
（2）任意相等时间间隔△t内的速度变化量方向竖直向下，大小△v＝△vy＝g△t．
2．位移变化规律
（1）任意相等时间间隔内，水平位移相同，即△x＝v0△t．
（2）连续相等的时间间隔△t内，竖直方向上的位移差不变，即△y＝g△t2．
3．两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ．
推论Ⅱ：做平抛运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
4.两个突破口
(1)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值，且速度方向相同。
(2)若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值。
三、类平抛
1．特点：受力(或加速度)恒定，且与初速度垂直．类平抛运动的加速度方向不一定竖直向下，大小也不一定等于g.
2．研究方法：一般将类平抛运动沿初速度和加速度两个方向分解，规律与平抛运动类似．
【考点例题】
【例题1】（2020 高考模拟）如图所示，位于水平面上的斜面体ABC的高为h，倾角为θ＝30°，D、E、F三点将AB四等分，在斜面顶端水平抛出一个小球，小球抛出的初速度大小为（g为重力加速度），则小球在斜面上的落点位于（不计空气的阻力）（　　）
A．D、E间 B．E、F间
C．F、B间 D．D、E、F三点中的某一点
【例题2】（2022 荆州）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，B到斜面底边的竖直高度为h，则下列说法中正确的是（　　）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球以最小位移到达斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．若小球垂直击中斜面，则
【例题3】（2020 大连模拟）如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平拋出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则（　　）
A．a球一定先落在半圆轨道上
B．b球一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a球可能垂直落在半圆轨道上
【例题4】（2022 石家庄）如图所示，竖直平面内两个四分之一圆弧轨道的最低点相切，圆心分别为O1、O2，半径分别为R和2R，两个小球P、Q先后从A点水平抛出，分别落在轨道的B、C两点。已知B、C两点处于同一水平直线，在竖直方向上与A点相距0.6R，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　）
A．两小球在空中运动的时间相比较，小球P的较短
B．两小球从抛出到落在轨道上的速度变化量相比较，小球Q的较大
C．小球P与小球Q抛出时的速度之比为1：11
D．两小球落在轨道上的瞬间，小球P的速度与水平方向的夹角较小
【例题5】（2020 天河区）甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小和等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度当与乒乓球击打乙的球拍的速度”之比为（　　）
A． B． C． D．
【例题6】（2022 胶州市）2022年5月3日，CBA总决赛第四战实力强大的广东男篮再次击败新疆队，时隔6年再度夺得CBA总冠军。比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点。若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需（　　）
A．减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ
B．增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ
C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0
D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0
【例题7】（多选）（2022 镇江）如图所示，发球机从O处先后以相同的速率沿不同的方向斜向上发出两只相同的网球P和Q，它们的运动轨迹如图所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．在最高点时，P的速度比Q的大
B．P运动的加速度比Q的大
C．两只网球落地时速度大小相同
D．两只网球到达最高点所用的时间相同
【例题8】（多选）（2022·广东高三）如图，斜坡上a、b、c三点，，滑板运动员从a点正上方平台的O点以初速度v0水平飞出，若不计空气阻力，他恰好落在b点；当初速度变为v时，他恰好落在c点，则（　　）
A．
B．
C．分别落在b、c时两个的速度方向是平行的
D．落在b点比落在c点时速度方向与斜坡的夹角较大
【例题9】（2022 江阴市）如图甲所示，公园中喷泉从喷泉水面以相同的倾角和速度大小喷射而出，喷出的水下落击打水面形成层层涟漪甚为美观喷出的水的运动可视为一般的抛体运动，在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，我们可以仿照研究平抛运动的方法来研究一般的抛体运动喷泉喷出水的运动轨迹示意图如图乙所示，水上升的最大高度为h，落在水面的位置距喷水口的距离为d。重力加速度为g，忽略空气阻力求：
（1）喷泉中的水在空中运动的时间；
（2）喷泉中的水上升至最大高度时水平速度的大小vx；
（3）喷泉中的水喷出时的初速度大小v0。
【例题10】（2020·衡水）半径均为的四分之一圆弧轨道1和2如图所示固定，两圆弧轨道的最低端切线水平，两圆心在同一竖直线上且相距R，让质量为1kg的小球从圆弧轨道1的圆弧面上某处由静止释放，小球在圆弧轨道1上滚动过程中，合力对小球的冲量大小为，重力加速度g取，求：
（1）小球运动到圆弧轨道1最低端时，对轨道的压力大小;
（2）小球落到圆弧轨道2上时的动能大小。
【参考答案】
【例题1】【答案】B
【解析】小球做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，有：
x＝v0t ； y
斜面的倾角θ为位移与水平方向的夹角，有：tanθ
位移为：s，由于斜面长为2h，故可以判断小球落在E、F间，故B正确。
【例题2】【答案】B
【解析】A、过抛出点作斜面的垂线CD，如图所示：
当小球落在斜面上的D点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y
根据几何关系有：tanθ
联立解得：t，故A错误。
B、小球到达斜面的位移最小时，位移垂直斜面s＝hcosθ
平抛的竖直高度 y＝scosθ＝hcos2θ y
飞行时间tcosθ，
水平位移x＝ssinθ＝hcosθsinθ，x＝v0t
初速度，故B正确。
D、若小球垂直击中斜面时速度与竖直方向的夹角为θ，则 tanθ，得：t，故D错误。
C、若小球能击中斜面中点时，小球下落的高度设为h'，水平位移设为x。则由几何关系可得 tanθ，得：t，故C错误。
【例题3】【答案】C
【解析】将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A，初速度合适，可知小球做平抛运动落在A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上。
若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故C正确。
【例题4】【答案】C
【解析】A、两个小球P、Q在空中都做平抛运动，由h，得 t，可在，两小球在空中下落的高度相等，则它们在运动的时间相等，故A错误。
B、根据△v＝gt，t相等，知两小球从抛出到落在轨道上的速度变化量相等，故B错误。
C、小球P做平抛运动的水平位移 xB＝R0.2R，小球Q做平抛运动的水平位移 xP＝R2.2R，由平抛运动的规律有：xP＝vPt，xQ＝vQt，则得小球P与小球Q抛出时的速度之比为 vP：vQ＝1：11，故C正确。
D、小球P落在轨道上的瞬间速度与水平方向的夹角正切 tanα，小球Q落在轨道上的瞬间速度与水平方向的夹角正切 tanβ，可得，α＞β，小球P的速度与水平方向的夹角较大，故D错误。
【例题5】【答案】C
【解析】由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，
在甲处：vx＝v1sin45°
在乙处：vx＝v2sin30°
所以：．故C正确，ABD错误。
【例题6】【答案】D
【解析】篮球垂直击中篮板上A点，其逆过程就是平抛运动，当水平速度越大时，水平方向位移越大，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角则越小。若水平速度减小，水平方向位移越小，则落地速度变小，但与水平面的夹角变大。
若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，只有增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ，才能仍垂直打到篮板上A点，故D正确，ABC错误。
【例题7】【答案】AC
【解析】A、设任意一个小球初速度与水平方向的夹角为θ，两球水平方向上都做匀速直线运动，最高点速度为斜抛时的水平速度，vx＝v0cosθ，P球的θ较小，所以在最高点的速度vx较大，故A正确。
B、斜抛运动只受重力，故两球运动的加速度均为g，相等，故B错误。
C、设抛出点离地高度为h，斜抛运动过程中，机械能守恒，根据机械能守恒定律得：mmgh，则得：v，可知落地速度大小相等，故C正确。
D、网球到达最高点的时间t，P球的θ较小，所以到达最高点的时间短，故D错误。【例题8】【答案】BD
【解析】AB．假设高度为，斜面倾角为，，物体以做平抛运动，分解位移：
消去时间得：
同理物体以做平抛运动：
解出速度之比：
因为，所以，A错误，B正确；
CD．根据末速度的反向延长线过水平位移的中点，落在点，初速度与末速度方向的夹角，即偏转角：
同理：
所以，根据几何关系可知落在斜面上速度方向与斜坡的倾角等于偏转角与斜面夹角之差，所以落在b点比落在c点时速度方向与斜坡的夹角较大，C错误，D正确。
【例题9】
【解析】（1）水做斜上抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，h＝
空中运动的时间为：t＝2t1＝2
（2）水在水平方向上做匀速直线运动，有：
解得水上升至最大高度时水平速度的大小为：vx＝。
（3）竖直初速度为：
根据运动的合成可知，初速度为：＝
【例题10】【答案】（1）（2）62.5J
【解析】（1）设小球在圆弧轨道1最低点时速度大小为，根据动量定理有
解得
在轨道最低端，根据牛顿第二定律，有
解得
根据牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小为
（2）设小球从轨道1抛出到达轨道2曲面经历的时间为t，
水平位移：
竖直位移：
由勾股定理：
解得
竖直速度：
可得小球的动能

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