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带电粒子在组合场中运动
——高考一轮备考
【知识方法】
1．组合场，指电场、磁场、重力场有两种场同时存在，但各位于一定的区域内且并不重叠，且带电粒子在一个场中只受一种场力的作用．
2．解题思路
(1) 分别研究带电粒子在不同场中的运动规律，在匀强磁场中做匀速圆周运动，在匀强电场中，若速度方向与电场方向在同一直线上，则做匀变速直线运动，若进入电场时的速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动.根据不同的运动规律分别求解.
(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理.
(3) 注意分析磁场和电场边界处或交接点位置粒子速度的大小和方向，把粒子在两种不同场中的运动规律有机地联系起来.
【考点例题】
【例题1】（多选）（2020·全国高三）如图是一种回旋式加速器的简化模型图，半径为R的真空圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，圆心O正下方P点处有一极窄的平行金属板，两板间加有脉冲电压（大小为U）用于加速某质量为m，电荷量为q的正电荷，粒子由金属板间右侧小孔飘入（初速度视为零），经加速后，水平向左射入磁场，当粒子加速到需要的速度时，通过磁屏蔽导流管MN将粒子沿导流管轴线引出。导流管可沿PQ直线平移，其N端始终在PQ线上，PQ与水平线EF之间的夹角为θ。，不计粒子重力、粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑相对论效应。则下列说法正确的是（ ）
A．为使粒子在经过平行金属板间时总能被加速，板间电场方向应随时间周期性变化
B．粒子能获得的最大速度
C．粒子加速完后导出时导流管MN与水平线EF之间的夹角为2θ
D．该加速器加速比荷相同的带电粒子时，从开始加速直至以最大速度引出，在磁场中运动的时间一定相同
【例题2】（多选）如图所示，两个边长为2L的正方形PQMN和HGKJ区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1和B2，两磁场区域中间夹有两个宽度为L、方向水平且相反、场强大小均为E的匀强电场，两电场区域分界线经过PN、GK的中点．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从G点由静止释放，经上方电场加速后通过磁场回旋，又经历下方电场沿NK二次加速后恰好回到G点，则下列说法正确的是
A．B2＝2B1
B．带电粒子第二次进入右边磁场后一定从MN边离开
C．第一次完整回旋过程经历的时间为
D．要实现两次以上的回旋过程，可以同时增大两磁场的磁感应强度
【例题3】（2020·全国高三）如图所示，在平面直角坐标系内，第I象限的等腰三角形MNP区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y<0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m带电荷量为q的带电粒子从电场中Q（-2h，-h）点以速度v0水平向右射出，经坐标原点O射入第I象限，最后以垂直于PM的方向射出磁场。已知MN平行于x轴，NP垂直于x轴，N点的坐标为（2h，2h），不计粒子的重力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)磁感应强度的大小；
(3)粒子在磁场中的运动时间。
【例题4】（2020·定远）如图所示，直线与y轴之间有垂直于xOy平面向外的匀强磁场B2，直线x＝d与间有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度，另有一半径R=m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B1=，方向垂直坐标平面向外，该圆与直线x＝d和x轴均相切，且与x轴相切于S点．一带负电的粒子从S点沿y轴的正方向以速度v0进入圆形磁场区域，经过一段时间进入磁场区域B2，且第一次进入磁场B2时的速度方向与直线垂直．粒子速度大小v0＝1.0×105m/s，粒子的比荷为=5.0×105C/kg，粒子重力不计．求：
(1)粒子在圆形匀强磁场中运动的时间t1；
(2)坐标d的值；
(3)要使粒子无法运动到x轴的负半轴，则磁感应强度B2应满足的条件
【例题5】用量子技术生产十字元件时用到了图甲中的装置:均半径为R的光滑绝缘圆柱体的横截面，它们形成四个非常细窄的狭缝a、b、c、d和一个类十字空腔，圆柱和空腔所在的区域均存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调节，质量为m、电荷量为q、速度为的带正电离子，从狭缝a处射入空腔内，速度方向在纸面内且与两圆相切。设离子在空腔内与圆柱体最多只发生一次碰撞，碰撞时间极短且速度大小不变；速度方向的改变遵循光的反射定律。
（1）若B的大小调节为，离子从何处离开空腔？并求出它在磁场中运动的时间t；
（2）为使离子从狭缝d处离开空腔，B应调至多大？
（3）当从狭缝d处射出的离子垂直极板从A孔进入由平行金属板M、N构成的接收器时，两板间立即加上图乙所示变化周期为T的电压。则认为多大时，该离子将不会从B孔射出？两板相距L（L>vT），板间可视为匀强电场。
【参考答案】
【例题1】【答案】BCD
【解析】A．因粒子每次过平行金属板间都是自右向左运动，为使粒子都能加速，粒子每次过平行金属板间时板间电场方向均应水平向左，故A错误；
BC．由题意，当粒子速度最大时，其做由圆的几何知圆周运动的最大半径，根据洛伦兹力提供向心力有解得，由圆的几何知识可知，导流管MN与水平线EF之间的夹角为2θ，故BC正确；
D．设加速电压为U，粒子加速n次后达到，由动能定理有
得，带电粒子在磁场中运动的周期，带电粒子在磁场中运动的时间
可知带电粒子比荷相同时在磁场中运动的时间相同，故D正确。
【例题2】【答案】BCD
【解析】带电粒子在电场中第一次加速有，在右边磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有 解得 带电粒子在电场中第二次加速有 带电粒子在左边磁场中做圆周运动回到G点，有，解得 ，故有 ，选项A错误；由带电粒子在电场中第三次加速有得， 则粒子第二次在右边磁场中做圆周运动的半径为，，故带电粒子一定从MN边射出磁场，选项B正确；把带电粒子在电场中两次加速的过程等效成一次连续的加速过程，则在电场中加速的时间为，在右边磁场中运动的时间为，在左边磁场中运动的时间为，故第一次完整的回旋时间为，选项C正确；因为磁感应强度B越大，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径越小，故可以同时增大两边磁场的磁感应强度，选项D正确．
【例题3】【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】(1)由几何关系可知粒子的水平位移为2h，竖直位移为h，由类平抛运动规律得
由牛顿第二定律可知
联立解得
(2)粒子到达O点，沿y铀正方向的分速度
则速度与x轴正方向的夹角α满足
即
粒子从MP的中点垂直于MP进入磁场，垂直于NP射出磁场，粒子在磁场中的速度
轨道半径
洛伦兹力提供向心力
解得
(3)带电粒子在磁场中圆周运动的周期
带电粒子在磁场中转过的角度为，故运动时间
【例题4】【答案】(1)2.6×10﹣6s(2)4m(3)0≤B2≤0.13T或者B2≥0.3T
【解析】(1)在磁场B1中
解得
画出轨迹恰为四分之一圆，
得
(2)在电场中类平抛运动
解得
又根据 x=v0t
解得
所以坐标d的值
(3)进入磁场B2的速度为：
当带电粒子出磁场与y轴垂直时，圆周半径
可得
所以 0≤B2≤0.13T．
当带电粒子出磁场与y轴相切时，圆周半径
可得 B2＝0.3T
所以 B2≥0.3T．
【例题5】【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）离子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力作向心力，所以有
所以
粒子做圆周运动的周期
因为离子在a点向上偏转，则离子从狭缝b离开空腔，它在磁场在运动的时间：
（2）因为离子在a点的圆心位于a点的上方，又有离子在空腔内与圆柱体最多只发生一次碰撞，碰撞时间极短且速度大小不变；速度方向的改变遵循光的反射定律，所以粒子必与圆柱体碰撞一次， 且碰撞位置在狭缝a、d的垂直平分线上，则如图所示：
则有
所以
又有
所以
（3）研究临界情况:离子刚好不从B孔射出，设离子进入电场后经过时间速度减为0，离子向下减速的位移为：
离子再向上先加速后减速的总位移为：
临界情况下
即：
解得
又由于
解得
所以，为使离子不从B孔射出，U0应满足的条件是：带电粒子在复合场中的运动
——高考一轮备考
【知识方法】
1.概述
带电粒子在复合场中的运动问题是电磁学知识和力学知识的结合，分析方法和力学问题的分析方法基本相同，不同之处是多了电场力、洛伦兹力．因此，带电粒子在复合场中的运动问题除了利用动力学观点、能量观点来分析外，还要注意电场和磁场对带电粒子的作用特点，如电场力做功与路径无关，洛伦兹力方向始终和运动方向垂直且永不做功等．
2.处理方法
(1)弄清叠加场的组成特点。
(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。
(3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。
②若受三种场力时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v的方向垂直。
③若三场共存时，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即。
④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
【考点例题】
【例题1】（2022·广元天立国际学校）如图所示，一电子束沿垂直于电场线与磁感线方向入射后偏向A极板，为了使电子束沿射入方向做直线运动，可采用的方法是(　　)
A．将变阻器滑动头P向右滑动
B．将变阻器滑动头P向左滑动
C．将极板间距离适当减小
D．将极板间距离适当增大
【例题2】（2020·全国）磁流体发电的原理如图所示．将一束速度为v的等离子体垂
直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压．如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极．若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ．忽略边缘效应，下列判断正确的是（ ）
A．上板为正极，电流
B．上板为负极，电流
C．下板为正极，电流
D．下板为负极，电流
【例题3】（2020·定远）如图所示为一种获得高能粒子的装置一环形加速器，环形区域内存在垂直纸面向外的可变匀强磁场，质量为m、电荷量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动，A，B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，设粒子的初速度为零，在两极板间的电场中加速，每当粒子离开电场区域时，A板电势又降为零，粒子在电场多次加速下动能不断增大，而在环形区域内绕中心运动的半径不变(设极板间距远小于R)，粒子重力不计，下列关于环形加速器的说法中正确的是
A．加速器对带正电粒子顺时针加速，对带负电粒子加速需要升高B板电势
B．电势U越高，粒子最终的速度就越大
C．粒子每次绕行一圈所需的时间tn与加速次数n之间的关系为
D．环形区域内的磁感应强度大小Bn与加速次数n之间的关系为
【例题4】（多选）（2020·江苏高三）在一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N，做成了一个霍尔元件，在E、F间通入恒定电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，M、N间的电压为UH．已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图所示，下列说法正确的有（　　）
A．N板电势高于M板电势
B．磁感应强度越大，MN间电势差越大
C．将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，UH不变
D．将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势
【例题5】（多选）（2022·全国）电磁泵在生产、科技中得到了广泛应用．如图所示的电磁泵泵体是一个长方体，ab边长为L1，两侧端面是边长为L2的正方形；流经泵体的液体密度为ρ，在泵体通入导电剂后液体的电导率为σ(电阻率的倒数)，泵体所在处有方向垂直前表面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，把泵体的上、下两表面接在电压为U(内阻不计)的电源上，则( )
A．泵体上表面应接电源正极
B．通过泵体的电流I＝
C．增大磁感应强度可获得更大的抽液高度h
D．增大液体的电导率可获得更大的抽液高度h
【例题6】（多选）（2020·全国）质谱仪是一种测量带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源A产生电荷量相同而质量不同的离子束（初速度可视为零），从狭缝S1进入电场，经电压为U的加速电场加速后，再通过狭缝S2从小孔垂直MN射入圆形匀强磁场。该匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，半径为R，磁场边界与直线MN相切E为切点。离子离开磁场最终到达感光底片MN上，设离子电荷量为g，到达感光底片上的点与E点的距离为x，不计重力，可以判断（　　）
A．离子束带负电
B．x越大，则离子的比荷一定越大
C．到达处的离子在匀强磁场运动时间为
D．到达处的离子质量为
【例题7】（2020·厦门六中）如图所示，半径 R ＝3.6 m 的光滑绝缘圆弧轨道，位于竖直平面内，与长L＝5 m的绝缘水平传送带平滑连接，传送带以v ＝5 m/s的速度顺时针转动，传送带右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E＝20 N/C，磁感应强度B＝2.0 T，方向垂直纸面向外．a为m1＝1.0×10－3 kg的不带电的绝缘物块，b为m2＝2.0×10－3kg、q＝1.0×10－3C带正电的物块．b静止于圆弧轨道最低点，将a物块从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到最低点与b发生弹性碰撞（碰后b的电量不发生变化）．碰后b先在传送带上运动，后离开传送带飞入复合场中，最后以与水平面成60°角落在地面上的P点(如图)，已知b物块与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.1．（ g 取10 m/s2，a、b 均可看做质点）求：
（1）物块 a 运动到圆弧轨道最低点时的速度及对轨道的压力；
（2）传送带上表面距离水平地面的高度；
（3）从b开始运动到落地前瞬间， b运动的时间及其机械能的变化量．
【例题8】（2022·河北）如图所示，平行板电容器的两极板、与水平地面成角，电势差为。建立平面直角坐标系，电容器极板边缘无限靠近坐标原点，在（，）处是一垂直轴的荧光屏。在区域有竖直向上的匀强电场，场强，在平面内以（，）点为圆心，半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，一质量，电量的带电粒子，从A（，0）点（即电容器两极板间距离的中点）由静止开始运动，它能沿轴作直线运动，到达坐标原点后进入电磁复合场，粒子最终打在荧光屏上点，,,，
（1）求两极板间电势差以及极板电性；
（2）粒子到达坐标原点O时的速度；
（3）粒子从A点到N点所用时间（该问结果保留一位有效数字）。
【参考答案】
【例题1】【答案】D
【解析】根据电路图可知：A板带正电，B板带负电，所以电子束受到电场力的方向向上，大小洛伦兹力方向向下，,电子向上偏，说明电场力大于洛伦兹力，要使电子束沿射入方向做直线运动，则要电场力等于洛伦兹力，所以要减小电场力；
AB、将变阻器滑动头P向右或向左移动时，电容器两端电压不变，电场力不变，故AB错误；
C、将极板间距离适当减小时，增大，不满足要求，故C错误；
D、将极板间距离适当增大时，减小，满足要求，故D正确．
【例题2】【答案】C
【解析】根据左手定则，正电荷受到的洛伦兹力方向向下，负电荷受到的洛伦兹力向上，因此下极板为电源的正极，根据平衡有，解得稳定时电源的电动势，则流过R的电流为，而，，则得电流大小为，C正确．
【例题3】【答案】D
【解析】A项：由左手定则可知，加速器对带正电粒子顺时针加速，带负电粒子逆时针加速即可，所以对带负电的粒子加速不需要升高B板电势，故A错误；
B项：由于粒子做半径不变的圆周运动，由公式，解得：，所以粒子最终的速度与U无关，故B错误；
C项：粒子绕行n圈获得的动能等于电场力对粒子做的功，设粒子绕行n圈获得的速度为，由动能定理得：，解得：，粒子绕行第n圈的时间为，所以，故C错误；
D项：粒子在环形区域磁场中，由公式，解得：，所以，故D正确。
【例题4】【答案】AB
【解析】A、根据左手定则，电流的方向向里，自由电荷受力的方向指向N端，向N端偏转，则N点电势高，故A正确；B、设左右两个表面相距为d，电子所受的电场力等于洛仑兹力，设材料单位体积内电子的个数为n，材料截面积为s，则 ①;I=nesv ②; s=dL ③;由①②③得：,令，则 ④;所以若保持电流I恒定，则M、N间的电压与磁感虑强度B成正比，故B正确；C、将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，则带电粒子不会受到洛伦兹力，因此不存在电势差，故C错误；D、若磁场和电流分别反向，依据左手定则，则N板电势仍高于M板电势，故D错误．故选AB.
【例题5】【答案】ACD
【解析】A．当泵体上表面接电源的正极时，电流从上向下流过泵体，这时液体受到的磁场力方向水平向左，故A正确；
B．根据电阻定律可知，泵体内液体的电阻
因此流过泵体的电流I＝UL1σ，故B错误；
C．增大磁感应强度B，液体受到的磁场力变大，可获得更大的抽液高度，故C正确；
D．若增大液体的电导率，可以使电流增大，液体受到的磁场力变大，可获得更大的抽液高度，故D正确。
【例题6】【答案】CD
【解析】带电粒子在加速电场中做匀加速直线运动，设加速后的速度大小为v，根据动能定理有：，解得：，然后匀速运动到E点进入有界磁场中，其运动轨迹如下图所示：
粒子从E点先沿虚线圆弧，再沿直线做匀速直线运动到N点。由左手定则，粒子是正电。故A错误；由，则，x越大则r越大，则比荷越小，故B错误；在△ENO中，解得:θ=60°，设带电粒子运动的轨迹圆的半径为r，根据数学知识有：，解得：，由，由几何关系圆弧圆心角α=120°，联立可得： ，故CD正确。
【例题7】【答案】
(1) , 方向竖直向下 (2) (3)见解析
【解析】（1）a物块从释放运动到圆弧轨道最低点C时，机械能守恒，
得：v C＝6 m/s
在C点，由牛顿第二定律：
解得：
由牛顿第三定律，a物块对圆弧轨道压力： ，方向竖直向下．
（2）a、b碰撞动量守
a、b碰撞能量守恒
解得（，方向水平向左．可不考虑）
b在传送带上假设能与传送带达到共速时经过的位移为s，
得： 加速1s后,匀速运动0.1s，在传送带上运动，所以b离开传送带时与其共速为
进入复合场后，，所以做匀速圆周运动
由
得：r＝＝5m
由几何知识解得传送带与水平地面的高度：
（3）b的机械能减少为
b在磁场中运动的
b在传送带上运动；b运动的时间为
【例题8】【答案】（1）0.04V；P板带负电（2）1m/s（3）0.4s
【解析】（1）粒子在电容器间做匀加速直线运动，受力分析如图所示，可得：
根据几何关系得：
联立解得
粒子过磁场向上偏转，故带正电，粒子在电容器中受力指向板，故板带负电
（2）粒子在电容器中，由牛顿第二定律得：
解得粒子加速度
由运动学公式得：
（3）粒子在电磁复合场中静电力：
与重力平衡，粒子先在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动打到N点，如图所示，
根据牛顿第二定律和向心力公式得
圆周运动半径：
可得：
所以：
故
粒子做圆周运动时间为：
从到用时：
故粒子从点到点所用时间：
。

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