资源简介

电学中的平衡问题
备考第3小时
【知识方法】
一、三种电磁力
（一）电场力
1.定义式：E＝，单位：牛/库（N/C）或伏/米（V/m）。
2.真空中点电荷产生的电场中，场强的决定式：E＝。
3.匀强电场中，场强E与电势差U的关系式：E＝。
（二）安培力
1．安培力的方向
（1）左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内．让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向．
（2）安培力方向的特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B、I决定的平面．
2．安培力的大小
（1）当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F＝BILsinθ；
（2）当磁场和电流垂直时，安培力最大，为F＝BIL；
（3）当磁场和电流平行时，安培力等于零．
（三）洛伦兹力
1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。
2．洛伦兹力的方向
（1）判定方法：左手定则：磁感线垂直穿入掌心；四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；拇指指向洛伦兹力的方向。
（2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3．洛伦兹力的大小
（1）v∥B时，洛伦兹力F＝0．（θ＝0°或180°）
（2）v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB．（θ＝90°）
（3）v＝0时，洛伦兹力F＝0。
4．洛伦兹力的特点
（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。
二、电学中的平衡
1．带电体的平衡问题仍然满足平衡条件，只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力．力学中用到的图解法和正交分解法等仍然可以用在电场的平衡中．
2．如果带电粒子在重力场、电场和磁场三者组成的复合场中做直线运动，则一定是匀速直线运动，因为F洛⊥v.
3．涉及多个研究对象时，一般采用整体法和隔离法相结合的方法求解．当物体受到的力多于三个时，往往采用正交分解法列出分方向的平衡方程．
【考点例题】
【例题1】如图所示，两平行光滑金属导轨固定在绝缘斜面上，导轨间距为L，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端与水平直导体棒ab相连，弹簧与导轨平面平行并与ab垂直，直导体棒垂直跨接在两导轨上，空间存在垂直导轨平面斜向上的匀强磁场．闭合开关K后，导体棒中的电流为I，导体棒平衡时，弹簧伸长量为x1；调转图中电源极性使棒中电流反向，导体棒中电流仍为I，导体棒平衡时弹簧伸长量为x2.忽略回路中电流产生的磁场，则磁感应强度B的大小为（ ）
(x2＋x1)
B． (x2－x1)
C． (x2－x1)
D． (x1＋x2)
【例题2】如图所示，两个带电小球A、B穿在一根水平固定的绝缘细杆上，并通过一根不可伸长的绝缘细绳跨接在定滑轮两端，整个装置处在水平向右的匀强电场中，当两个小球静止时，两侧细绳与竖直方向的夹角分别为α＝30°和β＝60°，不计装置中的一切摩擦及两个小球间的静电力。则A、B两球的带电荷量q1与q2大小之比为(　　)
q1∶q2＝∶1
B．q1∶q2＝∶2
C．q1∶q2＝1∶
D．q1∶q2＝2∶
【例题3】（多选）如图所示，由粗糙的水平杆AO与光滑的竖直杆BO组成的绝缘直角支架，在AO杆、BO杆上套有带正电的小球P、Q，两个小球恰能在某一位置平衡．现将P缓慢地向左移动一小段距离，两球再次达到平衡．若小球所带电荷量不变，与移动前相比(　　)
A．杆BO对Q的弹力减小
B．杆AO对P的弹力减小
C．杆AO对P的摩擦力增大
D．P、Q之间的距离减小
【例题4】（多选）（2022·安徽高二期末）如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为0.5T的匀强磁场，一质量为0.2kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为m=0.1kg、带正电q=0.2C的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．现对木板施加方向水平向左，大小为F=0.6N的恒力，g取10m/s2．则滑块（　 　）
A．开始做匀加速运动，再做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动
B．一直做加速度为2m/s2的匀加速运动，直到滑块飞离木板为止
C．速度为6m/s时，滑块开始减速
D．最终做速度为10m/s的匀速运动
【例题5】（2020·全国高三）磁感应强度为B的匀强磁场中，水平面内有一根弯成的金属线POQ，其所在平面与磁场垂直，如图所示，光滑长直导线MN与金属线紧密接触，起始时，且MN⊥OQ，所有导线单位长度电阻均为r，当MN以速度v，平行于OQ向右匀速滑动时，求：
（1）闭合电路aOb中感应电流的大小和方向；
（2）驱使MN作匀速运动的外力随时间变化的规律；
（3）整个回路上产生的热功率随时间变化的规律。
【例题6】（2020·贵州省独山）如图所示，把一个倾角为θ的绝缘斜面固定在匀强电场中，电场方向水平向右，电场强度大小为E，有一质量为m、带电荷量为＋q的物体，以初速度v0从A端滑上斜面恰好能沿斜面匀速运动，求物体与斜面间的动摩擦因数．
【例题7】（2020·安徽六安一中高三）如图所示，两平行金属导轨间距L=0.5 m，导轨与水平面成θ=37°．导轨上端连接有E=6 V、r=1 Ω的电源和滑动变阻器．长度也为L的金属棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好，金属棒的质量m=0.2 kg、电阻R0=1 Ω，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，金属棒一直静止在导轨上．当滑动变阻器的阻值R=1 Ω时金属棒刚好与导轨间无摩擦力．g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．求：
（1）此时电路中的电流I；
（2）当滑动变阻器接入电路的电阻为4 Ω时金属棒受到的摩擦力大小．
【例题8】如图所示，平行金属导轨AGT和DEF足够长，导轨宽度L＝2.0 m，电阻不计，AG和DE部分水平、粗糙；GT和EF部分光滑、倾斜，倾斜角θ＝53°，整个空间存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T．金属杆M质量m1＝2.0 kg，电阻R1＝1 Ω，轻弹簧K一端固定于O点，O点在bb′中点的正上方，另一端系于金属杆M的中点，轻弹簧劲度系数k＝30 N/m，金属杆M初始在图中aa′位置静止，弹簧伸长量Δl＝0.2 m，与水平方向夹角α＝60°，ab＝bc＝a′b′＝b′c′.另一质量m2＝1.0 kg，电阻R2＝2 Ω的金属杆P从导轨GT和EF上的ss′位置静止释放，后来金属杆M开始滑动，金属杆P从开始下滑x＝3.0 m达到平衡状态，此时金属杆M刚好到达cc′位置静止，已知重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)金属杆P的最终速度大小；
(2)金属杆M在cc′位置静止时所受的摩擦力
参考答案
【例题1】【解析】弹簧伸长量为x1时，导体棒所受安培力沿斜面向上，根据平衡条件沿斜面方向有：mgsinα=kx1+BIL；
电流反向后，导体棒所受安培力沿斜面向下，根据平衡条件沿斜面方向：
mgsinα+BIL=kx2；
联立两式得：B=（x2-x1）
【答案】B
【例题2】【解析】分别对两小球受力分析，由力的平衡条件可知，两小球在水平方向的合力均为零，则小球A在水平方向上，有Tsin 30°＝Eq1，小球B在水平方向上，有T′sin 60°＝Eq2，T′＝T，则联立可解得q1∶q2＝1∶，C正确。
【答案】C
【例题3】【解析】　对Q受力分析，可得Fsinθ＝mQg，Fcosθ＝N，由于P向左移，θ变小，则两球之间的库仑力F变大，杆BO对Q的弹力N变大，根据F＝k可知两球间的距离变小，A错，D正确．把两个小球看成整体，竖直方向上杆AO对p球的弹力FN等于两球的重力之和，大小保持不变，水平方向杆AO对P的摩擦力f等于弹力N，则f变大，则B错，C正确．
【答案】CD
【例题4】【解析】由于滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为0.5，静摩擦力能提供的最大加速度为μg=5m/s2，所以当0.6N的恒力作用于木板时，系统一起以的加速度一起运动，当滑块获得向左运动的速度以后又产生一个方向向上的洛伦兹力，当洛伦兹力等于重力时滑块与木板之间的弹力为零，此时Bqv=mg，解得：v=10m/s，此时摩擦力消失，滑块做匀速运动，而木板在恒力作用下做匀加速运动，．可知滑块先与木板一起做匀加速直线运动，然后发生相对滑动，做加速度减小的变加速，最后做速度为10m/s的匀速运动．故AD正确，B错误．木块开始的加速度为2m/s2，当恰好要开始滑动时，f=μ（mg-qvB）=ma，代入数据得：v=6m/s，此后滑块的加速度减小，仍然做加速运动．故C错误．故选AD
【答案】AD
【例题5】（1），方向由ba；（2）（L0+vt）；（3）
【解析】（1）设经过时间t，则b点到O点的距离为L0+vt，长直导线MN在回路中的长度为L0+vt，此时直导线产生的感应电动势为E=B（L0+vt）v，整个回路的电阻R=（2+）（L0+vt）r，闭合电路aOb中感应电流的大小
I===
由楞次定律可判定回路中电流的方向由ba。
（2）驱使MN作匀速运动的外力F大小等于安培力，则
F=BI（L0+vt）=（L0+vt）
（3）整个回路上产生的热功率
P=I2R=（2+）（L0+vt）r=
【例题6】
【解析】物体做匀速直线运动，由平衡条件得：
在垂直于斜面方向上：N=mgcosθ+qEsinθ…①
在平行与斜面方向上：f+mgsinθ=qEcosθ…②
滑动摩擦力：f=μN…③
由①②③可得： ．
【例题7】（1）（2）
【解析】（1）根据闭合电路欧姆定律，当滑动变阻器的电阻为R1=1Ω时，电流
（2）金属棒受重力mg、安培力F和支持力FN如图．
根据平衡条件可得，mgsinθ=F1cosθ
又 F1=BI1l
联立上式，解得磁感应强度
当滑动变阻器的电阻为R2=4Ω时，电流
又 F2=BI2l=1.5×1×0.5N=0.75N
mgsinθ=0.2×10×sin37°=1.2N
∴mgsinθ＞F2cosθ，故金属棒受到沿导轨平面向上的摩擦力Ff
根据平衡条件可得，mgsinθ=F2cosθ+Ff
联立解得：Ff=mgsinθ-F2cosθ=0.2×10×sin37°-0.75×cos37°=0.6N
【例题8】(1)6 m/s　(2)1.8 N，水平向左
【解析】(1)金属杆P最终匀速时，对P受力分析：
FA＝m2gsinθ
FA＝BIL
I＝
感应电动势　E＝BLvP
∴vP＝6 m/s
(2)当金属杆M运动到CC′时，根据对称性对金属杆M受力分析：
F＝kΔl
FA＝BIL
I＝
E＝BLvP
M静止在cc′
有：f＋Fcosα＝FAcosθ
∴f＝1.8 N
方向水平向左
　力学中的平衡问题
备考第2小时
【知识方法】
一、静态平衡
1．共点力作用下物体的平衡条件：物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)时，作用在物体上所有力的合力为零．
2．三力平衡：如果物体仅受三个力作用而处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反．
3．多力平衡：任一方向上合力为零；建立直角坐标系后，两个坐标轴上的合力均为零．
二、动态平衡
1．问题的特点
通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体状态在变化过程中可认为其速度、加速度均为零，始终处于平衡状态，这种平衡称为动态平衡。
2．解题常用方法
(1)“解析法”：如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)“图解法”：如果物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，并且还有另一个力的方向不变，此时可用图解法，画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况。
(3)“相似三角形法”：此法是图解法的特例，一般研究对象受绳(杆)或其他物体的约束，且物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，可以用力三角形与几何三角形相似的方法。
(4)“矢量圆”：该情况试题的特点是已知两个力的合力和夹角一定，求两个力的变化情况。
【例题精选】
【例题1】（2020·全国高三）岳阳某些农村一大家人过春节时常用简易灶做菜，如图甲所示，将一个球形铁锅用三个轻小石块支起用柴火烧菜，铁锅边缘水平，小石块成正三角形放在水平灶台上，石块到铁锅球心的连线与竖直方向的夹角均成30°，已知锅与菜的总质量为9kg，不计铁锅与石块间的摩擦，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是
灶台对每个石块的作用力均竖直向上
B．灶台受到每个石块的压力为90N
C．每个石块与铁锅之间的弹力大小为
D．灶台对每个石块的摩擦力为10N
【例题2】(2022·江西)如图所示，木板P下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O点，物体A、B叠放在木板上且处于静止状态，此时物体B的上表面水平。现使木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置，物体A、B仍保持静止，与原位置相比(　　)
A．A对B的作用力减小 B．B对A的支持力增大
C．木板对B的支持力增大 D．木板对B的摩擦力增大
【例题3】(2022·武汉)两个质量均为m的A、B小球用轻杆连接，A球与固定在斜面上的光滑竖直挡板接触，B球放在倾角为θ的斜面上，A、B均静止，B球没有滑动趋势，则A球对挡板的压力大小为(重力加速度为g)(　　)
A．mgtan θ B．
C． D．2mgtan θ
【例题4】（2020·全国高三）如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环。现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是
A．F1和F2都变大 B．F1变大，F2变小
C．F1和F2都变小 D．F1变小，F2变大
【例题5】(多选)(2017·全国卷Ⅰ·T21)如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【例题6】（2022·河南高三）如图所示，圆弧面AB与倾角为的斜面BC固定在水平面上，质量为m的物块与质量分布均匀的大球O通过绕过定滑轮的轻绳和与斜面平行的轻弹簧连接，弹簧的劲度系数为k，系统处于静止状态时，滑轮左侧的轻绳恰好沿水平方向，OO′与水平面夹角为α.重力加速度大小为g，不计一切摩擦.求：
(1)弹簧的伸长量x；
(2)圆弧面AB对大球O的弹力F的大小.
【例题7】（2022·江西高三）如图所示,质量为的木板B放在水平地面上,质量为的货箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在货箱上，另一端拴在地面绳绷紧时与水平面的夹角为．已知货箱A与木板B之间的动摩擦因数，木板B与地面之间的动摩擦因数．重力加速度g取．现用水平力F将木板B从货箱A下面匀速抽出，试求：（，）
（1）绳上张力T的大小；
（2）拉力F的大小．
【例题8】（2020·河北高三）一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度系数为k)、锁舌D(倾角θ＝30°)、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示。设锁舌D的侧面与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力Ffm由Ffm＝μFN(FN为正压力)求得。有一次放学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x。
(1)试问，自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向；
(2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小；
(3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则μ至少要多大？
【参考答案】
【例题1】【解析】对灶台受力分析，受重力、三个石块有垂直向上的支持力，如果石头光滑也是一样的，故可以没有摩擦力；根据平衡条件，竖直方向，有：3Ncos30°=mg；解得：；根据牛顿第三定律，灶台对每个石块的压力为，是垂直向下；故C正确，ABD错误；故选C
【答案】C
【例题2】【解析】由题意知A、B始终处于动态平衡状态，对A受力分析知A受重力和B对A的作用力而平衡，所以A对B的作用力与A的重力大小相等，故A错误。当将木板P绕O点缓慢旋转到虚线所示位置时，B的上表面不再水平，设B的上表面与水平面间的夹角为α，则B对A的支持力为GAcos α【答案】D
【例题3】【解析】根据题述，B球没有滑动趋势，说明B球不受摩擦力作用。竖直挡板光滑，A球不受摩擦力作用。把A、B看成整体进行受力分析，设挡板对A球的支持力为F，由平衡条件可得tan θ＝，解得F＝2mgtan θ，由牛顿第三定律可知，A球对挡板的压力大小为2mgtan θ，选项D正确。
【答案】D
【例题4】【解析】由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等。
木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，合力等于重力不变，所以绳子上的拉力变小。
【答案】C
【例题5】【解析】方法一：设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。
对重物受力分析如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，由正弦定理得：＝，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，选项D正确；同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，选项A正确。
方法二：利用矢量圆，如图重力保持不变，是矢量圆的一条弦，FOM与FMN夹角保持不变，
由图知FMN一直增大到最大，FOM先增大再减小，当OM与竖直夹角为β＝α－90°时FOM最大。
【答案】AD
【例题6】【解析】(1)物块受重力、斜面的支持力和弹簧弹力作用，物块处于静止状态，则弹簧弹力F1=mgsin
根据胡克定律有：F1=kx
解得：x=
(2)细绳对大球的拉力等于弹簧弹力，即F2=F1
大球受重力、圆弧面的支持力和细绳拉力作用处于静止状态，则：cosα=
解得：F=
【答案】(1) (2)
【例题7】【解析】(1)对物体A受力分析如图所示：
A静止，受力平衡，则在x轴上：Tcosθ=f1
在y轴上：N1=Tsinθ+mAg
又f1=μ1 N1
联立解得： T=100 N
f=80N
即绳上张力T的大小为100N．
(2)对物体B受力分析如图所示：
B处于静止，根据平衡条件可得：
在x轴上：F=f1+f2
在y轴上：N2=N1+mBg
又有：f2=μ2N2
联立解得：F=200 N
即拉力F的大小为200N．
【答案】（1）100N （2）200N
【例题8】【解析】（1）锁舌受力如图所示：由于锁舌由向左运动的趋势，所用锁舌所受到的最大静摩擦力，其方向向右。
（2）设锁舌受到锁槽的最大静摩擦力为，正压力为，下表面的正压力为，弹簧的弹力为，由平衡条件可得：
又有：
联立以上方程可得：
（3）无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，说明压力无穷大，即：
解得：
【答案】（1）方向向右（2）（3）

展开更多......

收起↑