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动量和能量综合
【知识方法】
1．动量观点和能量观点：这两个观点研究的是物体或系统运动变化所经历的过程中状态的改变，不对过程变化的细节作深入的研究，而只关心运动状态变化的结果及引起变化的原因，简单地说，只要求知道过程的始末状态动量、动能和力在过程中所做的功，即可对问题求解．
2．利用动量观点和能量观点解题应注意下列问题：
（1）动量守恒定律是矢量表达式，还可写出分量表达式；而动能定理和能量守恒定律是标量表达式，无分量表达式．
（2）动量守恒定律和能量守恒定律，是自然界中最普遍的规律，它们研究的是物体系，在力学中解题时必须注意动量守恒条件及机械能守恒条件．在应用这两个规律时，当确定了研究对象及运动状态的变化过程后，根据问题的已知条件和求解的未知量，选择研究的两个状态列方程求解．
（3）中学阶段凡可用力和运动解决的问题，若用动量观点或能量观点求解，一般比用力和运动的观点简便．
【考点例题】
【例题1】（2020·山东）如图所示，一质量M=0．8kg的小车静置于光滑水平地面上，其左侧用固定在地面上的销钉挡住。小车上表面由光滑圆弧轨道BC和水平粗糙轨道CD组成，圆弧轨道BC与水平轨道CD相切于C处，圆弧BC所对应的圆心角、半径R=5m，CD的长度。质量m=0.2kg的小物块（视为质点）从某一高度处的A点以大小v0=4m/s的速度水平抛出，恰好沿切线方向从B点进入圆弧轨道，物块恰好不滑离小车。取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气阻力不计。求：
(1)物块通过B点时的速度大小vB；
(2)物块滑到圆弧轨道的C点时对圆弧轨道的压力大小N；
(3)物块与水平轨道CD间的动摩擦因数。
【例题2】（2020·定远）如图甲所示，有一装置由倾斜轨道AB、水平轨道BC、竖直台阶CD和足够长的水平直轨道DE组成，表面处处光滑，且AB段与BC段通过一小圆弧（未画出）平滑相接．有一小球用轻绳竖直悬挂在C点的正上方，小球与BC平面相切但无挤压．紧靠台阶右侧停放着一辆小车，车的上表面水平与B点等高且右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，其中PQ段是粗糙的，Q点右侧表面光滑．现将一个滑块从倾斜轨道的顶端A处自由释放，滑至C点时与小球发生正碰，然后从小车左端P点滑上小车．碰撞之后小球在竖直平面做圆周运动，轻绳受到的拉力如图乙所示．已知滑块、小球和小车的质量分别为m1=3kg、m2=1kg和m3=6kg，AB轨道顶端A点距BC段的高度为h=0.8m，PQ段长度为L=0.4m，轻绳的长度为R=0.5m． 滑块、小球均可视为质点．取g=10m/s2．求：
（1）滑块到达BC轨道上时的速度大小．
（2）滑块与小球碰后瞬间小球的速度大小．
（3）要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则滑块与PQ之间的动摩擦因数μ应在什么范围内？（滑块与弹簧的相互作用始终在弹簧的弹性范围内）
【例题3】（2022·广东）如图所示，质量为的带有圆弧的滑块A静止放在光滑的水平面上，圆弧半径R=1.8m，圆弧的末端点切线水平，圆弧部分光滑，水平部分粗糙，A的左侧紧靠固定挡板，距离A的右侧S处是与A等高的平台，平台上宽度为L=0.5m的M、N之间存在一个特殊区域，B进入M、N之间就会受到一个大小为F=mg恒定向右的作用力。平台MN两点间粗糙，其余部分光滑，M、N的右侧是一个弹性卡口，现有一个质量为m的小滑块B从A的顶端由静止释放，当B通过M、N区域后碰撞弹性卡口的速度v不小于5m/s时可通过弹性卡口，速度小于5m/s时原速反弹，设m=1kg，g=10m/s2，求：
(1)滑块B刚下滑到圆弧底端时对圆弧底端的压力多大？
(2)若A、B间的动摩擦因数μ1=0.5，保证A与平台相碰前A、B能够共速，则S应满足什么条件？
(3)在满足(2)问的条件下，若A与B共速时，B刚好滑到A的右端，A与平台相碰后B滑上平台，设B与MN之间的动摩擦因数0＜μ＜1，试讨论因μ的取值不同，B在MN间通过的路程。
【参考答案】
【例题1】【答案】(1) 5m/s；(2) 3.8N；(3) 0.3。
【解析】设物块通过B点时的速度大小为，由平拋运动的规律有：
代入数值解得：；
物块从B点到C点的过程中，由机械能守恒定律有：
代入数值可得：
设物块滑到C点时受到圆弧轨道的支持力大小为F，有：
代入数值解得：F=3.8N，
由牛顿第三定律可知N=F=3.8N；
(3)设物块到达轨道CD的D端时的速度大小为，由动量守恒定律有：
由功能关系有：
代入数值解得：。
【例题2】【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）设滑块与小球碰撞前瞬间速度为，由机械能守恒，
有①
得
（2）设小球在最高点的速度为v，由图乙可知小球在最高点时受到的拉力
由牛顿第二定律，有②
设小球碰撞后瞬间速度为，由机械能守恒，有③
联立①②③并代入数据，解得
（3）滑块与小球碰撞过程满足动量守恒：④
得碰撞后的速度方向向右
滑块最终没有滑离小车，滑块和小车之间必有共同的末速度
由滑块与小车组成的系统动量守恒：⑤
（I）若较大，则滑块可能不与弹簧接触就已经与小车相对静止，设滑块恰好滑到Q点，由能量转化与守恒有⑥
联立④⑤⑥得
（II）若不是很大，则滑块必然挤压弹簧，再被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由能量转化与守恒有⑦
④⑤⑦得
综上所述，得
【例题3】【答案】(1)30N；(2)S＞0.8m；(3)见解析
【解析】(1)设B滑到A的底端时速度为v0，根据机械能守恒定律得
小球在圆弧底端合力提供向心力有
联立各式并代入数据得v0＝6m/s；FN＝30N。根据牛顿第三定律可知滑块对圆弧底端的压力为30N。
(2)设AB获得共同速度为v1，以向右为正方向，由动量守恒定律得
代入数据解得：v1=4m/s；对A应用动能定理得
代入数据解得：S=0.8m，即保证A与平台相碰前A、B能够共速，S应满足S＞0.8m。
(3)设B到达卡口的速度v2＝5m/s，B将从平台右侧离开，此时B与M、N的动摩擦因数为μ1，由动能定理得
解得：μ1=0.1，即0＜μ≤0.1，B从卡口右侧离开，通过的路程S1＝L＝0.5m
如果B到达卡口的速度小于5m/s，B将被弹回，进入NM后做减速运动，到达M点速度恰好为零，设此时的动摩擦因数为μ2，则
解得μ2=0.8即0.1＜μ≤0.8，B从M左侧离开，通过的路程
如果0.8＜μ＜1，B经与卡口碰撞、往返多次后最终静止在N点，通过的路程S3，由动能定理得
解得动量守恒定律
【知识方法】
一、动量守恒定律
1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律．
2．表达式：
（1）p＝p′，系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′．
（2）m1v1+m2v2＝m1v1′+m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．
（3）△p1＝﹣△p2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向．
（4）△p＝0，系统总动量的增量为零．
3．适用条件
（1）不受外力或所受外力的合力为零．不能认为系统内每个物体所受的合外力都为零，更不能认为系统处于平衡状态．
（2）近似适用条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．
（3）如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则在这一方向上动量守恒．
4．解题步骤：
（1）明确研究对象（系统包括哪几个物体及研究的过程）；
（2）进行受力分析，判断系统动量是否守恒（或某一方向上是否守恒）；
（3）规定正方向，确定初末状态动量；
（4）由动量守恒定律列式求解；
（5）必要时进行讨论．
二、动量守恒定律应用的两类模型
（一）碰撞
1．碰撞：两个或两个以上的物体在相遇的极短时间内产生非常大的相互作用力，而其他的相互作用力相对来说可以忽略不计的过程．
2．弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做弹性碰撞，即EK1＝EK2（能够完全恢复形变）；
3．非弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能不守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞，即EK1＞EK2（不能够完全恢复形变）；
4．完全非弹性碰撞：碰撞过程中物体的形变完全不能恢复，以致两物体合为一体一起运动，即两物体在非弹性碰撞后以同一速度运动，系统机械能损失最大．
碰撞的特点：
1．相互作用时间极短．
2、相互作用力极大，即内力远大于外力，遵循动量守恒定律．
碰撞过程满足：
动量守恒；
（2）机械能不增加；
（3）速度要合理；
①若碰前两物体同向运动，则应有v后＞v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′．
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．
（二）反冲
1．定义：一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动，这个现象叫作反冲．
要点：①内力作用下；②一个物体分为两个部分；③两部分运动方向相反．
2．原理：遵循动量守恒定律
作用前：P＝0
作用后：P′＝mv﹣Mv′
则根据动量守恒定律有：P′＝P
即mv﹣Mv′＝0，故有：
3．反冲运动的应用和防止
防止：榴弹炮
应用：反击式水轮机、喷气式飞机、火箭
【考点例题】
【例题1】（2022·罗平）一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（ ）
A．动量守恒，机械能不守恒 B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能守恒 D．无法判定动量、机械能是否守恒
【例题2】（2020·宁夏）长为的轻绳，一端用质量为的圆环套在水平光滑的横杆上，另一端连接一质量为的小球。开始时，将小球移至横杆处（轻绳处于水平伸直状态，见图），然后轻轻放手，当绳子与横杆成直角时，小球速度沿水平方向且大小是，此过程圆环的位移是，则　　
， B．，
C．， D．，
【例题3】（多选）（2022·广东）如图所示，光滑水平面放置一个静止的质量为2m的带有半圆形轨道的滑块a，半圆形轨道的半径为R。一个质量为m的小球b从半圆轨道的左侧最高点处由静止释放，b到达半圆轨道最低点P时速度大小，然后进入右侧最高可到点Q，OQ连线与OP间的夹角=，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．滑块a向左滑行的最大距离为0.6R
B．小球b从释放到滑到Q点的过程中，克服摩擦力做的功为0.4mgR
C．小球b第一次到达P点时对轨道的压力为1.8mg
D．小球b第一次返回到P点时的速度大于
【例题4】（多选）（2020·重庆）如图，一固定且足够长的斜面MN与水平面的夹角，斜面上有一质量为3m、上表面光滑且下端有挡板P的长木板A沿斜面匀速向下运动，速度大小，现将一质量为m的小滑块轻轻地放在长木板上，当小滑块运动到挡板P时（与挡板碰前的瞬间），长木板的速度刚好减为零，之后小滑块与挡板发生第1次碰撞，以后每隔一段时间，小滑块就与挡板碰撞一次，小滑块始终在长木板上运动，已知小滑块与挡板的碰撞为弹性碰撞且磁撞时间极短，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　）
A．小滑块在长木板上下滑过程中，长木板的加速度大小为
B．小滑块放在木板上的瞬间，其与P的距离为
C．小滑块与挡板第1次碰撞后的瞬间，小滑块的速度大小为1.5m/s
D．小滑块与挡板第2次碰撞后的瞬间，小滑块的速度大小为1.5m/s
【例题5】（2022·江西）用轻弹簧相连的质量均为m＝2kg的A、B两物体都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,弹簧处于原长,质量M＝4kg的物体C静止在前方,如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动,在以后的运动中,求:
(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度.
(2)弹性势能的最大值.
【例题6】如图所示，在水平面左侧固定一斜面，斜面倾角为θ=37°，斜面高h=0.6m，水平面右侧固定一光滑半圆轨道，半圆轨道半径R=0.1m，斜面底部A点和半圆底部B点之间距离为L=1.2m。小物块和斜面以及地面间的动摩擦因数都为=0.2。一小物块从斜面项端从静止滑下，在A处无动能损失，经水平面与静止在B点的小球发生弹性碰撞，小球恰好能通过半圆轨道最高点。
(1)求小滑块刚达到B点时的速度；
(2)求小滑块和小球的质量之比。
【例题7】（2020·营口）光滑的水平面上静止放置着长度一定的长木板，质量相同的滑块甲和乙并排放在长木板上的a点，两滑块均可视为质点，to=0时刻给两滑块反向的初速度，方向如图所示，经过一段时间两滑块均刚好运动到长木板的两端与木板保持相对静止，已知长木板的质量为M=2 kg，两滑块的质量均为m=l kg，滑块甲和乙的初速度大小分别为v1 =2 m/s、v2=4 m/s，两滑块与长木板之间的动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速度g取10 m/s2。则：
(1)长木板的长度是多少？
(2)上述过程中，滑块乙与长木板之间因摩擦而产生的内能是多少？
【参考答案】
【例题1】【答案】A
【解析】在子弹打击木块A及弹簧压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，系统所受的外力之和为零，则系统的动量守恒。在此过程中，除弹簧弹力做功外还有摩擦力对系统做功，所以系统机械能不守恒，A正确，BCD错误。
【例题2】【答案】A
【解析】取此时环速为，根据环球水平方向动量守恒有：
由于机械能守恒，则：
联立解得：。
环球水平方向类同人船模型：
解得：
【例题3】【答案】AD
【解析】A．滑块a和小球b相互作用的过程，系统水平方向合外力为零，系统水平方向动量守恒，小球b到达Q点时，根据动量守恒定律得滑块a和小球b的速度均为零，有
2msa=msb
sa+sb=R+Rsin
解得sa=0.6R,故A正确；
B．根据功能关系得小球b从释放到滑到Q点的过程中，克服摩擦力做的功为
,故B错误；
C．当b第一次到达半圆轨道最低点P时，根据动量守恒定律有2mva=mvb
解得
由牛顿运动定律得
解得
对轨道的压力,故C错误；
D．小球从P点到Q点，根据功能关系可得克服摩擦力做的功为
由功能关系结合圆周运动的知识，得小球b第一次返回到P点的过程中克服摩擦力做的功
W′<0.2mgR
故小球b第一次返回到P点时系统的总动能
解得,故D正确。
【例题4】【答案】CD
【解析】A．长木板开始匀速下滑，由平衡条件得
解得
把小滑块放上长木板后，对长木板，由牛顿第二定律得
解得,故A错误；
BC．长木板上表面光滑，碰撞前小滑块做匀加速直线运动，小滑块加速运动时间
设小滑块与挡板第一次碰撞前小滑块的速度为v，则
滑块与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得
小滑块的位移为
木板的位移为
小滑块放在木板上的瞬间，其与P的距离为
故B错误，C正确；
D．碰撞后长木板速度再次减为零的时间
此时小滑块的速度为
解得
滑块与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
解得,故D正确。
【例题5】【答案】(1) vA=3m/s (2)EP=12J
【解析】（1）当弹簧的压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B、C的速度相等，由动量守恒定律得2mv=(2m＋M)v1
v1==3m/s，即A的速度为3m/s.
(2)由动量守恒定律得B、C碰撞时：mv=(m＋M)v2，
v2==2m/s
由能量守恒可得：
解得ΔEp=12J.
【例题6】【答案】(1)2m/s；(2)
【解析】(1)小滑块从静止到B点过程中利用动能定理
得：=2m/s
(2)小球恰好到达最高点，只有重力提供向心力
得=1m/s
小球从被碰撞到最高点过程应用动能定理
得m/s
在滑块和静止的小球碰撞过程中动量守恒，机械能守恒
得
代入数据得
【例题7】【答案】(1)9.5m；(2)7.5J
【解析】(1)设两滑块与长木板最终的共同速度为v，整个系统动量守恒，则由动量守恒和能量守恒可得
解得： ，
(2)设滑块甲距左端为，滑块甲从运动到左端所需时间为，在滑块甲运动至左端前，长木板静止，由牛顿第二定律和运动学公式可得
解得 ，
所以滑块乙距右端距离
滑块乙与长木板之间因摩擦而产生的内能

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