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第三章 函数的概念与性质
3.2.2 奇偶性 学案
一、学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会利用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
二、知识归纳
1.偶函数：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.
2.奇函数：一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称.
三、习题检测
1.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
2.已知函数是偶函数，其定义域为，则( )
A.， B.，
C.， D.，
3.函数的图像关于( )
A.y轴对称 B.x轴对称
C.坐标原点对称 D.直线对称
4.定义两种运算：，，则函数为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.奇函数且为偶函数 D.非奇非偶函数
5.下列函数为偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.（多选）下列关于函数的性质描述正确的是( )
A.的定义域为
B.的值域为
C.在定义域上是增函数
D.的图象关于原点对称
7.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则__________.
8.定义在上的偶函数在区间上是减函数，若，则实数m的取值范围为__________.
9.设函数是定义在R上的奇函数，当时， ，则________， _________.
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
答案以及解析
1.答案：A
解析：当时，，则，又因为函数为奇函数，所以，.故选A.
2.答案：B
解析：由是偶函数，得.又函数的定义域为，所以，则.故选B.
3.答案：A
解析：函数的定义域为，关于原点对称，
且，
函数为偶函数，图像关于y轴对称.故选A.
4.答案：A
解析：由定义知，由且，得或，即函数的定义域为，关于原点对称，从而，，故是奇函数.故选A.
5.答案：D
解析：对于A，令，则的定义域为，关于原点对称，，所以该函数为偶函数，但该函数在上单调递减，故A错误；对于B，令，则的定义域为R，关于原点对称，，所以该函数不是偶函数，故B错误；对于C，令，则的定义域为R，关于原点对称，，所以该函数为偶函数，但该函数在上单调递减，故C错误；对于D，令，则的定义域为R，关于原点对称，，所以该函数为偶函数，且在上单调递增，故D正确.故选D.
6.答案：ABD
解析：由，得且，此时，故A正确；当时，，当时，，故的值域为，故B正确；易知在定义域上不是增函数，故C错误；又，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D正确.故选ABD.
7.答案：-3
解析：因为函数是定义在R上的奇函数，当时，，所以.
8.答案：
解析：因为为偶函数，所以可化为，又因为是定义在上的减函数，所以，两边平方，得，又因为的定义域为，所以，解得，故.
9.答案：2；-10
解析：因为函数是定义在R上的奇函数，当时，，所以，解得，所以时，，所以.
10.解析：（1）易知的定义域为R，
任取，都有，故为奇函数.
（2）由，得，解得，即函数的定义域为，
任取，都有，故是偶函数.

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