资源简介

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突破2.1 直线的倾斜角与斜率
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
【倾斜角与倾斜程度】
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
知识点二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ；
②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ；
③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；
④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 .
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
知识点三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为 .
【名师提醒】
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
知识点四、直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
五、直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 1，那么它们互相 ，即.
三、题型突破
重难点题型突破1 求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
例1．（1）.（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是( )
A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角
C．和轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】D
【分析】根据直线倾斜角和斜率的概念逐项判断即可﹒
【详解】直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误；
直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误；
和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误；
每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确．
故选：D﹒
（2）．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【分析】利用直线的斜率结合直线在图象中的位置关系进行判断.
【详解】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
（3）．（2022·江苏·高二）（多选题）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】分别在和求得旋转后倾斜角即可.
【详解】直线倾斜角的取值范围为，
当时，旋转后得到的倾斜角为：；
当时，旋转后得到的倾斜角为：.
故选：AC.
【变式训练1-1】．（2020·全国·高二课时练习）已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．
【答案】
【详解】由kPQ＝－得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，
∴所得直线的斜率k＝tan60°＝.
【变式训练1-2】．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.
【详解】由斜率的定义知，.
故选：D.
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【答案】AD
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；
【详解】
平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；
若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错；
若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错；
若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确；
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.
重难点题型突破2 三点共线
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
例2．（2021·全国·高二课时练习）若三点共线，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】分析：根据三点共线，可知，由斜率的定义，代入点坐标化简可得关于的方程，解方程即可得到答案
详解：，
三点共线
，即，
解得
点睛：本题是一道关于三点共线的题目，利用直线的斜率相等进行解答，属于基础题，难度不大．
【变式训练2-1】．（2018·义乌市义亭中学）若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，从而可得关于的方程，故可求的值.
【详解】
因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
重难点题型突破3 直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内， k并不是随着α的增大而增大的.
例3．（1）（2021·宁夏银川二中高一期末）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】
如图，求出可得斜率的取值范围.
【详解】
由题设可得，
因为直线与线段相交，则或，
故选：D.
（2）．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
故选：B
（3）．（2022·江苏·高二）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．
【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：B．
【变式训练3-1】．（2021·江苏高二专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，求出直线、的斜率，数形结合可得出直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】
如下图所示：
直线的斜率为，直线的斜率为，
由图形可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率.
因此，直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线、的斜率可得所要求的斜率的取值范围.
【变式训练3-2】．（2022·全国·高二专题练习）（多选题）直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】AD
【分析】要使直线l与线段AB有公共点，则需或，根据两点的斜率公式计算可得选项.
【详解】解：要使直线l与线段AB有公共点，则需或，
而，，所以或，
所以k的取值可以为或4，
故选：AD
【变式训练3-3】．（2021·全国高二课时练习）已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
直线恒过点，
则直线的斜率为，直线的斜率为，
由图可知直线的斜率的取值范围是，
故选：C.
重难点题型突破4 直线平行
（1）在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
（2）判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于 1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例4．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)平行，理由见解析
(3)平行，理由见解析
【分析】（1）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系；
（2）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系；
（3）根据两直线与轴的位置关系及其在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系.
(1)
解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、，
则由、的方程可知，且，所以．
(2)
解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、．
因为、的方程分别可化为，，
所以，且，所以．
(3)
解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同，
所以．
例5．（1）．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，若直线与直线平行，则值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由两直线平行的条件求解，去除重合的情形即得．
【详解】由题意，，
时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．
故选：A．
（2）．（2021·福建厦门一中高二期末）已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A．或3 B．
C． D．1或
【答案】A
【分析】
由两直线平行，得到，求出，再验证，即可得出结果.
【详解】
∵两条直线和互相平行，
∴，解得或，
若，则与平行，满足题意；
若，则与平行，满足题意；
故选：A．
【变式训练5-1】．（2020·江苏金沙中学高二月考）（多选题）直线，，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据可得出关于实数的等式，可求得实数的值，然后逐一检验即可得出结果.
【详解】
直线，，，
则，整理得，解得或或.
当时，，，成立；
当时，，，成立；
当时，，，成立.
综上所述，或或.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.
【变式训练5-2】（2022·陕西汉中·高一期末）若直线与直线平行，则__________.
【答案】
【分析】利用两直线平行的充要条件即可.
【详解】由直线与直线平行，可得:
，
解得，
所以，.
故答案为：
重难点题型突破5 直线垂直
例6．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)垂直，理由见解析
(2)垂直，理由见解析
(3)垂直，理由见解析
【分析】（1）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论；
（2）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论；
（3）易得轴，轴，即可得出结论.
(1)
解：设两条直线，的斜率分别为，，则，，
因为，所以；
(2)
设两条直线，的斜率分别为，，则，，
因为，所以；
(3)
解：由两个方程，可知轴，轴，所以．
例7．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线垂直，则m=（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.
【详解】当时，，
由知，斜率为2，
所以直线与不垂直，不符合题意；
当时，，
因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：C.
（2）．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】C
【分析】把直线化简后即可判断.
【详解】直线可化为，
所以直线与直线的位置关系是重合.
故选：C
【变式训练7-1】．（2022·重庆八中高二期末）若直线与直线垂直，则_______.
【答案】##0.5
【分析】根据两直线垂直，斜率相乘等于求出参数的值
【详解】直线：的斜率为，直线：与直线：垂直时，
，解之得，
故答案为：.
【变式训练7-2】．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直
【答案】ABC
【分析】利用直线与直线相交、平行、垂直、重合的性质直接求解即可.
【详解】直线的斜率为，过定点，
直线的斜率为，过点．
若直线与相交，则，而，
即可以成立，A正确；
若直线与重合，则，且，而，
可以有，B正确；
若直线与平行，则且，而，
可以有，C正确；
若直线与垂直，则，则，
与矛盾，直线与不可能垂直，D错误．
故选：ABC．
重难点题型突破6 直线平行与垂直在几何中的应用
例8．（2022·全国·高二课时练习）（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）求过点且垂直于直线的直线的方程．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由平行关系得到直线的斜率为，由直线方程的点斜式，化简即得解；
（2）由垂直关系得到直线的斜率，由直线方程的点斜式，化简即得解
【详解】（1）由题意，直线的斜率为
由直线方程的点斜式有：
即过点且平行于直线的直线的方程为：
（2）由题意，直线的斜率为
故与直线垂直的直线斜率
由直线方程的点斜式有：
即过点且垂直于直线的直线的方程为
例9．（2021·天津市静海区独流中学高二阶段练习）已知两直线：和：．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的等价条件列方程，解方程即可求解；
（2）根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解；
(1)
若，则，解得，
故所求实数的值为．
(2)
若，则，解得：，
故所求实数的值为．
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·安徽蚌埠二中高二月考（文））若直线倾斜角是（　　）
A．30° B．120° C．60° D．150°
【答案】B
【分析】
将直线的一般方程化为斜截式，由方程得出斜率，根据斜率公式求出倾斜角即可.
【详解】
直线的斜截式方程为：，所以斜率：；
由斜率公式：，解得：.
故选B.
【点睛】
本题考查直线方程的互化以及斜率公式，熟练掌握方程之间的互化，注意特殊角三角函数值以及倾斜角的取值范围.
2．（2020·山东省淄博第四中学高二期中）直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（　 　）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
∵
∴
根据如下图形可知，
使直线与线段相交的斜率取值范围是
故选：D.
3．（2021·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）若三点，，，（）共线，则的值等于___________.
【答案】##0.5
【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值.
【详解】由题意知，直线的斜率存在，则.
由得：，即，又，
∴.
故答案为：
4．（2019·安徽省蚌埠第三中学高二期中（理））已知直线
（1）若直线过点，且.求直线的方程.
（2）若直线过点A(2,0)，且，求直线的方程及直线,,轴围成的三角形的面积.
【答案】(1) ； (2) ；
【分析】（1）根据已知求得的斜率，由点斜式求出直线的方程.（2）根据已知求得的斜率，由点斜式写出直线的方程，联立的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积.
【详解】解：（1）∵∥，∴直线的斜率是
又直线过点，
∴直线的方程为，即
（2）∵，∴直线的斜率是
又直线过点，
∴直线的方程为即
由得与的交点为
∴直线,,轴围成的三角形的面积是
【点睛】本小题主要考查两条直线平行、垂直时，斜率的对应关系，考查直线的点斜式方程，考查两条直线交点坐标的求法，考查三角形的面积公式，属于基础题.
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突破2.1 直线的倾斜角与斜率
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
【倾斜角与倾斜程度】
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
知识点二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ；
②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ；
③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；
④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 .
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
知识点三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为 .
【名师提醒】
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
知识点四、直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
五、直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 1，那么它们互相 ，即.
三、题型突破
重难点题型突破1 求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
例1．（1）.（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是( )
A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角
C．和轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
（2）．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
（3）．（2022·江苏·高二）（多选题）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．（2020·全国·高二课时练习）已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．
【变式训练1-2】．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
重难点题型突破2 三点共线
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
例2．（2021·全国·高二课时练习）若三点共线，则实数的值为__________．
【变式训练2-1】．（2018·义乌市义亭中学）若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破3 直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内， k并不是随着α的增大而增大的.
例3．（1）（2021·宁夏银川二中高一期末）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
（2）．（2022·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
（3）．（2022·江苏·高二）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】．（2021·江苏高二专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】．（2022·全国·高二专题练习）（多选题）直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式训练3-3】．（2021·全国高二课时练习）已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破4 直线平行
（1）在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
（2）判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于 1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例4．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
例5．（1）．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，若直线与直线平行，则值为（ ）
A． B．1 C． D．2
（2）．（2021·福建厦门一中高二期末）已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A．或3 B．
C． D．1或
【变式训练5-1】．（2020·江苏金沙中学高二月考）（多选题）直线，，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（2022·陕西汉中·高一期末）若直线与直线平行，则__________.
重难点题型突破5 直线垂直
例6．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
例7．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知直线与直线垂直，则m=（ ）
A．-2 B． C．2 D．
（2）．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【变式训练7-1】．（2022·重庆八中高二期末）若直线与直线垂直，则_______.
【变式训练7-2】．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线与直线，则直线与直线的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直
重难点题型突破6 直线平行与垂直在几何中的应用
例8．（2022·全国·高二课时练习）（1）求过点且平行于直线的直线的方程；
（2）求过点且垂直于直线的直线的方程．
例9．（2021·天津市静海区独流中学高二阶段练习）已知两直线：和：．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·安徽蚌埠二中高二月考（文））若直线倾斜角是（　　）
A．30° B．120° C．60° D．150°
2．（2020·山东省淄博第四中学高二期中）直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（　 　）.
A． B．
C． D．
3．（2021·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）若三点，，，（）共线，则的值等于___________.
4．（2019·安徽省蚌埠第三中学高二期中（理））已知直线
（1）若直线过点，且.求直线的方程.
（2）若直线过点A(2,0)，且，求直线的方程及直线,,轴围成的三角形的面积.
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