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七年级数学一元一次方程应用题典型例题及练习
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
（2）设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系，列出方程．
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检验写答：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
检验后写出答案．（注意单位统一及书写规范）
第一类：与数字、比例有关的问题：
例1. 比例分配问题：比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和=总量。
甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？
例2. 数字问题：
1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示为：100a+10b+c．
2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
（1）有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
（2）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和比这个2位数的大6，求这个两位数。
第二类：与日历、调配有关的问题：
例3. 日历问题：探索日历问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题。
在日历上，三个相邻数（列）的和为54，求这三天分别是几号？
变式：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表用十字框框出5个数（如图）
1 3 5 7 9 11
13 15 17 19 21 23
25 27 29 31 33 35
37 39 41 43 45 47
……
（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；
（2）十字框框住的5个数之和能等于2020吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；
（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；
例4. 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
（1）某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？
（2）甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
（3）有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的，应从乙队调多少人到甲队？
第三类：配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
（1）某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
（2）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
（3）学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
第四类：行程问题——画图分析法。利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
（一）.行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
（二）.行程问题基本类型
（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
抓住两码头间距离不变、水流速和船速（静速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．
常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
（4）考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题：将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
（5）时钟问题： ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分或每分钟12分之1格。
② 分针的速度是6°/分或每分钟1格。
③ 秒针的速度是6°/秒或360°/分或1格/秒或60格/分。
所以，关于时钟问题，可从12开始转过的角度或转过的格数上找等量关系建立方程。
1.一般行程问题（相遇与追及问题）
1.行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
2.行程问题基本类型
（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距
例4.1.1：从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。
例4.1.2：某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
例4.1.3：一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？
例4.1.4：与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米？ ⑵ 这列火车的车长是多少米？
例4.1.5：一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）
例4.1.6：某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
例4.1.7：一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
例4.1.8：甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得 。
例4.1.9：两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。
⑴ 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？
⑵ 如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？
例4.1.10：甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。
2.环行跑道与时钟问题：
例4.2.1：在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
例4.2.2：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。
例4.2.3：在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角；
例4.2.4：某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？
3.行船与飞机飞行问题：
航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
例4.3.1：一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
例4.3.2：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
例4.3.3：小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。
例4.3.4：某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
第五类：工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
例5.1：一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
例5.2：某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务
例5.3：某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
例5.4：某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程
例5.5：已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？
例5.6：将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
第六类：商品利润问题【市场经济问题（利润赢亏问题）或储蓄利率问题】
（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：
商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品售价＝商品标价×折扣率
商品利润率＝×100%＝×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量
（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．即商品售价=商品标价×折扣率．
1.市场经济问题
例6.1.1：某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
例6.1.2：工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
例6.1.3：某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？
例6.1.4：某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
例6.1.5：甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
例6.1.6：某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？
例6.1.7：甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？
例6.1.8：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
2. 储蓄利率问题
1．顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.
2．储蓄问题中的量及其关系为：
利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
例6.2.1：某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）
第七类：方案设计问题
1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
2、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
第八类：（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，
例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出
文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率…”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量
例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
第八类：（二）等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝
②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
③正方体(正六面体)的体积 V＝棱长3＝a3
例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
练习：）圆柱形水桶的底面周长12.56分米，高6分米．盛满一桶水后，把水倒入一个长方体水缸中，水缸还空着21.5%．已知长方体水缸宽4分米，长是宽的1.5倍，求水缸的高．
第八类：（三）杂题：
（1）年龄问题：抓住“年领差”不变作为等量关系，从而列出方程。
例4：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
例5：今年，小明一家三口的年龄之和是72岁，10年前，三人年龄的年龄之和是44岁，父亲比母亲大3岁．求小明家今年每人的年龄．
（2）比赛积分问题：
例6：某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了 道题。
（3）古典数学：
例7：有100个和尚100个馍，1个大和尚分3个馍，3个小和尚分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？
例8：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
一元一次方程应用题反馈训练
一.选择题
1. (2015·四川巴中)若单项式2x2ya＋b与－xa－by4是同类项，则a，b的值分别为 (　　)
A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝1
C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝－1
2．（广西南宁3分）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）
A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90
3．（海南3分）若代数式x+2的值为1，则x等于（　　）
A．1； B．﹣1； C．3 ；D．﹣3
4.（·湖北荆州·3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（　　）
A．120元； B．100元 ；C．80元 ；D．60元
5.（·内蒙古包头·3分）若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（　　）
A．﹣1 ；B．﹣；C．﹣5； D．
二.填空题
6. （·浙江省绍兴市·5分）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是　 　元．
7．（·黑龙江龙东·3分）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是　 　元．
8．（·湖北荆门·3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有　台．
三、解答题
9. （·湖北武汉·8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2) ．
10. （·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
11.（·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
12.．（海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
参考答案：
第一类：与数字、比例有关的问题：
例1. 解：设乙每天生产6x件，则甲每天生产8x件，丙每天生产5x件，依题意有
8x+5x=2×6x+12，解得x=12，8x=96，6x=72，5x=60．
答：甲每天生产96件，乙每天生产72件，丙每天生产60件．
例2（1）解：设这个三位数的百位数为x，则其十位数字为x+1，个位数字为2x．
则调后的百位数为2x，十位数字为x+1，个位数字为x，由此可得：
[100x+10（x+1）+2x]×2﹣49=100×2x+10（x+1）+x
[100x+10x+10+2x]×2﹣49=200x+10x+10+x，[112x+10]×2﹣49=211x+10，
224x+20﹣49=211x+10， 13x=39， x=3；
则十位数为3+1=4，个位数为3×2=6．所以这个三位数为：346．答：原数为346．
（2）解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+5），由题意，得：
x+x+5=[10x+（x+5）]+6，解得：x=4．则个位上的数字为：x+5=9．
所以这个两位数为49．答：这个两位数为49．
第二类：与日历、调配有关的问题：
例3.11，18，25.
变式：(1)5a； (2)a=404, 不能………404是偶数；
(3)a=73,能………五个数为：61，71，73，75，85。
例4.（1）24人；（2）甲380人，乙180人；（3）27人。
第三类：配套问题：
（1）12人生产螺栓，16人生产螺母；（2）25人生产大齿轮，60人生产小齿轮；（3）30间房屋，252名学生。
第四类：行程问题：
例4.1.1：解：等量关系：步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时
列出方程是：
例4.1.2：解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟
提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
例4.1.3：提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则 16×3x＋16×2x＝200＋280
例4.1.4：提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。
等量关系： ① 两种情形下火车的速度相等 ② 两种情形下火车的车长相等：在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
解：⑴ 行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒
骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒
⑵ 方法一：设火车的速度是x米/秒，则 26×(x－3)＝22×(x－1) 解得x＝4
方法二：设火车的车长是x米，则
例4.1.5：提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈
即 步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2
解：设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x＋60(x－1)＝60×2
例4.1.6：解：方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则
12x＝ x＝2 12 x＝12×2＝24(千米)
方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式）
x＝24 答：A、B两地的距离是24千米。
温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。
例4.1.7：解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，
前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。
此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。
解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得
x＝300 答：这列火车长300米。
方法二：设这列火车的速度是x米/秒，
根据题意，得20x－300＝10x x＝30 10x＝300 答：这列火车长300米。
例4.1.8：答案：
例4.1.9：解析：① 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的
相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！
② 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的
相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！
③ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的
追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！
解：⑴ 两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）
慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）
⑵ 设至少是x秒，（快车车速为20－8）则 （20－8）x－8x＝100＋150 x＝62.5
答：至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。
例4.1.10：解：设乙的速度是 x 千米/时，则
3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2 ∴ x＝5 2x＋2＝12
答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。
2.环行跑道与时钟问题：
例4.2.1：老师解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，
在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°
以下按追击问题可列出方程，不难求解。
解：设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x 解得
例4.2.2：解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则 240x－200x＝400 x＝10
② 设背向跑，x分钟后相遇，则 240x＋200x＝400 x＝
例4.2.3：解：⑴ 设分针指向3时x分时两针重合。
答：在3时分时两针重合。
⑵ 设分针指向3时x分时两针成平角。
答：在3时分时两针成平角。
⑶设分针指向3时x分时两针成直角。
答：在3时分时两针成直角。
例4.2.4：解：方法一：设准确时间经过x分钟，则 x∶380＝60∶(60－3)
解得x＝400分＝6时40分 6：30＋6：40＝13：10
方法二：设准确时间经过x时，则
例4.3.1：解：设船在静水中的速度是x千米/时，则3×(x－3)＝2×(x＋3)
解得x＝15 2×(x＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）答：两码头之间的距离是36千米。
例4.3.2：解：设无风时的速度是x千米/时，则3×(x－24)＝×(x＋24)
例4.3.3：解：设水流速度为x千米/时，则9(10－x)＝6(10＋x) 解得x＝2 答：水流速度为2千米/时.
例4.3.4：解：设A与B的距离是x千米，(请你按分类画出示意图，来理解所列方程)
① 当C在A、B之间时， 解得x＝120
② 当C在BA的延长线上时， 解得x＝56
答：A与B的距离是120千米或56千米。
第五类：工程问题
例5.1：解：设还需要x天完成，依题意，得 解得x=5
例5.2：解：设甲乙还要合作x小时才能完成任务，
根据题意得：×（x+1）+×（x+4）=1，去分母得：4（x+1）+5（x+4）=60，
去括号得：4x+4+5x+20=60，移项合并得：9x=36，解得：x=4，
则甲乙还要合作4小时才能完成任务．
例5.3：解： ， X=780
例5.4：解：1 - 6()=X X=2.4
例5.5：解：1 － ， X=11
例5.6：解：1- ， X= ， 2小时12分
第六类：商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
1.市场经济问题
例6.1.1：解：（1）设1个小餐厅可供名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以1680-2y=960（名）
（2）因为，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．
例6.1.2：解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x
解得：x=155（元）所以45+x=200（元）　
例6.1.3：解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72 解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时， 0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x
解得x=90 所以0.36×90=32.40（元）答： 90千瓦时，交32.40元．
例6.1.4：利润率= 40%= X=105 105*80%=84元
例6.1.5：解：设甲服装成本价为x元，则乙服装的成本价为（50–x）元，根据题意，可列： x(1+50%)90% - x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157 x=300
例6.1.6：解：(48+X)90%*6 – 6X=(48+X-30)*9 – 9X X=162 162+48=210
例6.1.7：解：[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%) x=20
例6.1.8：解：设这种服装每件的进价是x元，则：X(1+40﹪)×0.8-x=15 解得x=125
2. 储蓄利率问题
例6.2.1：解：设银行半年期的年利率是x，由题意得：250+250x=252.7，
解得：x=0.0108．答：银行半年期的年利率是1.08%．
第七类：方案设计问题
1. 解：方案一：因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，
总利润W1=4500×140=630000(元)
方案二：15天可以加工6×15=90吨，说明还有50吨需要在市场直接销售，
总利润W2=7500×90+1000×50=725000(元)；
方案三：现将x吨进行精加工，将（140-x）吨进行粗加工，，解得x=60.总利润W3=7500×60+4500×80=810000(元)
2. 解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000 x=25 50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2500（50-x）=90000 x=35 50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．可得方程
2100y+2500（50-y）=90000 4y=350，不合题意。故可选两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）①，可获利150×25+250×15=8750（元），若选择（1）②，
可获利150×35+250×15=9000（元）故为了获利最多，选择第二种方案．
第八类：（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
例1. 解：设去年该单位为灾区捐款x元，则：2x+1000=25000，
解得x=12000．答：去年该单位为灾区捐款12000元．
例2. 设油箱里原有汽油x公斤,由题意得,x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%
去分母整理得,9x+20=5x+6x ，∴ 2x=20 ，∴ x=10 。答：油箱里原有汽油10公斤.
例3. 解：根据题意列出算式得：
[30×（0.8÷2）2π]÷[3×（0.4÷2）2π]
=（30×0.16π）÷（3×0.04π）
=4.8π÷0.12π
=4.8÷0.12
=40．
则已知的圆柱形钢坯可锻炼造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根．
练习：解：圆柱底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米）
水的体积：22×3.14×6=75.36（立方分米）
长方体的体积：75.36÷（1﹣21.5%）=96（立方分米）
长方体的高：96÷4÷（4×1.5）=4（分米）
答：长方体水缸的高是4分米．
例4. 解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
由题意，得2×（9+x）=15+x，18+2x=15+x，2x﹣x=15﹣18，
∴x=﹣3．答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
例5. 解：72﹣44=28（岁）；3×10=30（岁）；30﹣28=2（岁）；10﹣2=8（岁）；
由此可得孩子8年前出生，今年是8岁；
今年父亲是：（72﹣8+4）÷2=34（岁）；
今年母亲是：34﹣4=30（岁）．
答：今年父亲34岁，母亲30岁，小明8岁．
例6. 解：设这个人选错了x道题，根据题意得：
3（50﹣x﹣5）﹣x=103，解得x=8．答：这个人选错了8道题．
例7. 【考点】鸡兔同笼．【专题】传统应用题专题．
【分析】设有x个大和尚，那么小和尚就有100﹣x个，大和尚吃馒头个数就是3x个，小和尚吃馒头个数就是×（100﹣x）个，根据大和尚吃馒头个数+小和尚吃馒头个数=100个可列方程：3x+×（100﹣x）=100，依据等式的性质即可求解．
【解答】解：设有x个大和尚，3x+×（100﹣x）=100， 3x+×100﹣x=100
x+﹣=100﹣，x=，x=25，100﹣25=75（人）
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程．
例8. 设；小鸡有X只，兔子有88-X只。2x+4(88-X)=244， 2x=108，x=54。
那么小鸡就是54只，而兔子也就是88-54=34只。
反馈训练
1. 解析　由同类项的定义可得解得故选A.
2. 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设某种书包原价每个x元，可得：0.8x﹣10=90，故选A
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的售价．
3. 【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x+2=1，解得：x=﹣1，故选B
【点评】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．
4. 【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价=（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该商品的进价为x元/件，依题意得：（x+20）÷=200，解得：x=80．
∴该商品的进价为80元/件．故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）÷=200．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
5. 【考点】解一元一次方程；相反数．
【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵2（a+3）的值与4互为相反数，∴2（a+3）+4=0，∴a=﹣5，故选C．
6. 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：①当0＜x≤时，x+3x=229.4，解得：x=57.35（舍去）；
②当＜x≤时，x+×3x=229.4，解得：x=62，
此时两次购书原价总和为：4x=4×62=248；
③当＜x≤100时，x+×3x=229.4，解得：x=74，
此时两次购书原价总和为：4x=4×74=296．
综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
故答案为：248或296．
7. 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该件服装的成本价是x元，依题意得：300×﹣x=60，解得：x=180．
∴该件服装的成本价是180元．故答案为：180．
8. 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台，依题意得：x=﹣5，即20﹣x=0，解得：x=16．∴购置的笔记本电脑有16台．故答案为：16．
9. 【考点】解一元一次方程；【答案】x＝2
【解析】解：去括号得5x＋2＝3x＋6，移项合并得2x＝4，∴x＝2．
10. 【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．
（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311，
即： 320﹣9x=311，解得：x=1．答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．
11. 【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
列出方程，求解即可；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，
根据题意得，
解得：x=60．经检验，x=60是原方程的解．
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m+3m=2000，解得m=500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000（元）．
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
12. 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元．根据“购书价格=《汉语成语大词典》的标价×折率+《中华上下五千年》的标价×折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，
则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，
依题意得：50%x+60%（150﹣x）=80，解得：x=100，150﹣100=50（元）．
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%（150﹣x）=80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

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