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2022-2023学年人教版八年级数学上册《第11章三角形》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．观察下列图形，其中是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
4．设三角形三边之长分别为3，8，a，则a的值可能为（　　）
A．11 B．9 C．5 D．3
5．下列说法中正确的是（　　）
A．三角形的三条中线必交于一点
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部
D．三角形的高线都在三角形的内部
6．正五边形的一个外角度数是（　　）
A．108° B．36° C．360° D．72°
7．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　）度．
A．45 B．60 C．75 D．105
8．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（　　）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
9．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A＝50°，则∠D＝（　　）
A．15° B．25° C．30° D．45°
10．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH垂直于BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：
①∠DBE＝∠F；
②2∠BEF＝∠BAF+∠C；
③∠FEG＝∠ABE+∠C；
④2∠F＝∠BAC﹣∠C．其中正确有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，在长方形门框ABCD上，加钉了木条EF来固定，从数学角度看，这样做的依据是　 　．
12．如图，∠1：∠2：∠3＝1：3：6，则∠4＝　 　．
13．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是 　 　．
14．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|+|b﹣c+a|+|a﹣b﹣c|＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且AD与CE交于点H，若∠B＝50°，则∠AHC的度数为 　 　°．
16．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：　 　．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．在△ABC中，BC＝8，AB＝1．
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
18．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，求∠1﹣∠2的度数．
19．如图，已知△ABC，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点．已知∠B＝45°，∠CAE＝∠D，∠DCE＝∠BAC．
（1）求∠ACE的度数：
（2）若∠BAC＝25°，求∠CED的度数．
20．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
21．在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
22．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，故A不是三角形；
B满足三角形的定义，故B是三角形；
C有2条线段相交，没有首尾顺次相接，所以不是三角形，故C不是三角形；
D有1条线段的观点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，故D不是三角形．
故选：B．
2．解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
3．解：A、图中没有三角形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；
B、图中均是三角形，具有稳定性，故此选项符合题意；
C、图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意；
D、图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．解：根据题意，得8﹣3＜a＜8+3，即5＜a＜11；
所以a的取值范围是5＜a＜11．观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
5．解：A、三角形的三条中线必交于一点，本选项说法正确，符合题意；
B、直角三角形有三条高，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的高线不一定都在三角形的内部，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
6．解：正五边形的一个外角为：360°÷5＝72°，
故选：D．
7．解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
故选：C．
8．解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选：C．
9．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠DCE＝∠ACE，∠DBC＝∠ABC，
又∵∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D＝∠A＝25°．
故选：B．
10．解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确；
③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵∠AEB＞∠FEG，
∴∠FEG＜∠ABE+∠C，故③错误；
④∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：在长方形门框ABCD上，加钉了木条EF，得到了△AEF，比较稳定，
从数学角度看，这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
12．解：∵∠1：∠2：∠3＝1：3：6，
∴∠2＝3∠1，∠3＝6∠1，
∵∠2+∠3＝180°，
∴3∠1+6∠1＝180°，
解得：∠1＝20°，
∴∠3＝120°，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1+∠4＝∠3，
∴∠4＝∠3﹣∠1＝100°．
故答案为：100°．
13．解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，
∴边数n＝360°÷60°＝6．
故答案为：6．
14．解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
15．解：∵∠B＝50°，∠CEB＝∠ADB﹣90°，
∴∠EHD＝180°﹣50°＝130°，
又∵∠EHD＝∠AHC，
∴∠AHC＝130°，
故答案为：130．
16．解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C．
∵∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d．
∴a+∠P＝b+c①．
同理：b+∠P＝a+d②．①式+②式，得.2∠P＝c+d，∴∠P＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分46分）
17．解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
18．解：如图．
由题意得，∠C＝∠D．
∵∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠D+∠2，
∴∠1＝∠C+∠D+∠2＝2∠C+∠2．
∴∠1﹣∠2＝2∠C＝92°．
19．解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
即∠ACE+∠DCE＝∠B+∠BAC，
而∠B＝45°，∠DCE＝∠BAC．
∴∠ACE＝∠B＝45°；
（2）∵∠DCE＝∠BAC＝25°，∠ACE＝45°，
∴∠ACD＝25°+45°＝70°，
∵∠D+∠CAE+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+∠ACD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠CAE＝∠D，
∴∠D＝×110°＝55°，
∴∠CED＝180°﹣25°﹣55°＝100°．
20．解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE AD＝EC AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，
所以S△ABE＝BE AD＝×5×4.8＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
21．解：（1）∵BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠CBP＝，∠BCP＝．
∴∠CBP+∠CBP＝．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
∴∠PBC+∠PCB＝．
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣＝90°+．
（2）∵∠P+∠PBC＝∠PCD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．
∵BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，
∴∠PCD＝，∠PBC＝．
∴∠P＝＝．
（3）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．
∵BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，
∴∠CBP＝，∠BCP＝．
∴＝．
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣＝90°﹣．
22．解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）在△BPC中，
∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°；
综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°+18°或m°﹣18°．

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