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22.1.4 二次函数y＝ax ＋bx+c的图象和性质
导学案
学习目标：
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax ＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h) +k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax ＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
3.会用函数一般式y＝ax ＋bx＋c的顶点坐标、对称轴解决问题.
学习重难点：
重点：会画二次函数y=ax +bx+c 的性质.
难点：掌握二次函数y=a(x-h) +k的性质并会应用.
一、复习回顾
抛物线y=a(x-h) +k（a≠0）有哪些性质？
二、情境导入
你能画出二次函数y= x -6x+21的图像吗？知道它的开口方向、对称轴和顶点吗？
三、知识讲解
1：抛物线y= x -6x+21的性质
将y= x -6x+21化成顶点式
y= x -6x+21
= （x -12x）+21
= （x -12x+6 -6 ）+21（配方）
= （x-6） +3
在下列坐标系中画出抛物线y= x -6x+21的大致图像
抛物线y= x -6x+21的开口方向_______、对称轴_________和顶点是________.
当x<6时，y随x的增大而减小，当x>6时，y随x的增大而增大.
问题2：二次函数y=ax +bx +c（a≠0）的性质
一般地，二次函数y=ax +bx +c（一般式）可以通过配方化成y=a(x- h) +k
即y=ax +bx +c=______________
∴二次函数y=ax +bx +c的对称轴是________，顶点是____________.
由y=ax +bx +c图像知
当a＞0，x＜_____时,y随x的增大而减小，x＜_____时y随x的增大而增大；当x=____时，有y最小=_____________.
当a＜0，x＜ 时,y随x的增大而增大，x＜_______时y随x的增大而减小. 当x=_______，有y最大=___________.
四、例题精讲
1.二次函数的一般式画成顶点式
例1把下列二次函数的一般式化成顶点式：y=2x -5x+3.
分析：二次函数的一般式化成顶点式有两种方法：配方法和公式法.
解法一：配方法
解法二：用公式法
方法总结
配方法在因式分解、整式运算及解一元二次方程中有广泛的应用，有助于提高数学能力，而公式法简便易掌握.
变式训练：
若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b=　　　,k=　　　　.
2. 一般式的平移
例2.将抛物线y=a +bx+c向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛场线y=x +2x+3，求a、b、c的值.
分析：此题可用逆向思维，由抛物线y=a +bx+c变到抛物线y=x +2x+3，不易求a、b、c的值，但反过来由抛物线y=x +2x+3平移成抛物线y=a +bx+c就可轻松求解.
方法总结
(1)逆平移，即把从未知平移到已知，转换为从已知平移到未知这一过程，其方法为:将平移方向改变为原方向的相反方向;本例中用到了:“将未知函数图象平移到已知含数图象”转化为:“将已知含数图象平移到未知含数图象”;“向右平移”转化为“向左平移”;“向下平移”转化为“向上平移”.
(2)一般式的二次函数图象的平移法:对于一般式的图象平移，是先将一般式化成顶点式,再利用“左加右减，上加下减”规则来求解.
(3)特别提醒:对于一般式的图象平移，一般式也可以不化成顶点式，只要熟记左加右减在所有的x上加减，上加下减在函数表达式的末尾加减即可.例如:
y=(x+3) +2(x+3)+3+2=x +8x+ 20.
变式训练
如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过2次简单变换后的一条抛物线对应的函数表达式是y=x +1,则原抛物线对应的函数表达式不可能是( )
A.y=x - 1 B. y=x + 6x+5 C.y=x +4x+4 D. y=x +8x+17
3.函数图象及性质
例3已知抛物线y= x 3x+5/2，求出它的顶点坐标和对称轴，并用五点法作出抛物线的大致图象.
分析：想将函数转换成顶点式，然后确定顶点的坐标，对称轴。五点法主要是：顶点、x轴的两个交点、y轴交点、y轴交点关于对称轴的对称点.
方法总结
若二次函数的图象与x轴、y轴有交点,则最好选取交点进行描点，特别是在画二次函数的大致图象时，应注意以下五点:
(1)开口方向;(2)对称轴;(3)顶点;(4)与x轴的交点;(5)与y轴的交点，这种画法先研究函数图象的特点,确定图象的大致形状之后，选点就有了依据，避免了盲目性.
变式训练
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A.函数有最小值 B.对称轴是直线x=
C. x＜ ，y随x的增大而减小 D. 当﹣1＜x＜2时，y＞0
4. 考查角度利用图象的位置判断字母系数的取值范围(高频考点)
例4 二次函数y=ax +bx+c的图象如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
分析：由抛物线开口向上，a＞0，由对称轴-b/(2a)＞0，可得b＜0，抛物线与y轴交点为负半轴，可知c＜0，再根据特殊点进行推理判断即可求解．
方法总结
二次函数y=ax +bx+c的各项系数的符号与图象位置间的关系:
(1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”;
(2)c决定抛物线与y轴的交点位置,简记为“上正下负原点0” ;
(3)a,b的符号共同决定对称轴x=-b/(2a)的位置,简记为:“左同右异y轴0”;
可以由各项系数的符号来决定图象的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号.
深入探究
分别在下列范围内求函数y＝x －2x－3的最值．
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
我的收获
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